薛新建

摘? 要：將數(shù)學學習從知識傳授轉(zhuǎn)向關(guān)注學生發(fā)展，是《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》的理念之一. 高中生在數(shù)學學習中遇到的很多困難，歸根結(jié)底是由于其對概念的理解出了問題. 基于“條件概率”概念課的教學設(shè)計，將課堂關(guān)注的重心放在讓學生感受問題、提出問題、思考問題和解決問題上，使概念的生成變得自然，對概念的理解也更加全面、深刻.

關(guān)鍵詞：條件概率;教學設(shè)計;概念生成;素養(yǎng)導(dǎo)向

一、問題引入

概念是數(shù)學的細胞，反映了空間形式和數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)屬性，是導(dǎo)出數(shù)學定理和法則的邏輯基礎(chǔ)，概念的學習在數(shù)學學習中占有絕對重要的地位. 但是，在當前的概念課堂中，知識立意仍然大行其道，概念的給出生硬突兀，概念的同化全靠做題，部分教師仍然采用“一個定義，N項注意”的陳舊方式對學生進行概念的灌輸，遇到靈活的問題不能解決又抱怨學生能力低下，進而反復(fù)識背、反復(fù)遺忘，數(shù)學課堂陷入單調(diào)乏味、機械記憶的死循環(huán).

《普通高中數(shù)學課程標準（2017版）》（以下簡稱《標準》）的制定，就是要針對性解決目前教學中存在的這些問題. 以學生發(fā)展為本，立德樹人，提升素養(yǎng)，就是要把課堂從知識傳授轉(zhuǎn)向?qū)W生發(fā)展，既要引導(dǎo)學生理解基礎(chǔ)知識、掌握基本技能、感悟基本思想、積累基本活動經(jīng)驗，又要在這個過程中促進學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的提升. 關(guān)注概念的生成過程，體現(xiàn)素養(yǎng)導(dǎo)向作用成為概念課堂新的出路. 下面以“條件概率”概念課的設(shè)計為例，踐行這一理念.

二、條件概率理解中存在的問題

條件概率的概念及其計算是人教A版《普通高中課程標準實驗教科書·數(shù)學（選修2—3）》（以下統(tǒng)稱“教材”）第二章“隨機變量及其分布”第二節(jié)“二項分布及其應(yīng)用”第1課時的內(nèi)容. 本章的主要內(nèi)容是隨機變量及其分布列，是對隨機事件的水平數(shù)學化，也是概率知識的拓展和延伸. 本節(jié)課學習的重點是生活中應(yīng)用非常廣泛的一種概率模型——二項分布，條件概率作為本節(jié)的起始課，起著承上啟下的作用，其既是對已學概率內(nèi)容，包括隨機事件、基本事件、古典概型、幾何概型、事件關(guān)系、事件運算、排列組合等知識的綜合應(yīng)用和總結(jié)提升，體現(xiàn)了教材在核心數(shù)學概念和重要數(shù)學思想的安排上螺旋上升的特點，也是獨立事件和二項分布等知識的理論鋪墊和邏輯前提，體現(xiàn)了數(shù)學知識結(jié)構(gòu)的嚴謹性、延續(xù)性和統(tǒng)一性. 條件概率的概念在概率理論中占有十分重要的地位，教材通過簡單模型逐步探究，讓學生了解條件概率的初等定義，更抽象的定義留待學生在大學繼續(xù)學習.

目前學生對條件概率的理解普遍存在的問題有：（1）不清楚條件概率的問題背景，不理解既然可以轉(zhuǎn)化為古典（或幾何）概型求解，為什么還要提出條件概率的概念及其計算公式，帶著疑慮學習這個“可有可無”的數(shù)學概念，效果當然不理想. 因此，概念課的引入情境中要讓學生充分理解條件概率提出的必要性.（2）對條件概率問題中兩個隨機事件的發(fā)生與否不能清楚分辨，條件概率的本質(zhì)是一個隨機事件的發(fā)生對另一個隨機事件發(fā)生的概率的影響，課堂上必須提供一定量的案例讓學生加以總結(jié)、提煉和區(qū)分.（3）對條件概率三種計算公式的選擇和一種變形公式的運用感到困難，原因是公式引出過程中對比辨別的缺失. 因此，在公式提煉過程中要對其不同背景進行區(qū)分強化.（4）對條件概率和獨立事件的關(guān)系理解不到位，原因是學生遇到的條件概率問題中一個隨機事件的發(fā)生對另一個隨機事件發(fā)生的概率都是有影響的，而獨立事件問題中一個隨機事件的發(fā)生對另一個隨機事件發(fā)生的概率是沒有影響的，對兩者感覺上的“失聯(lián)”甚至“對立”反映了理性的缺失. 具體來說是條件概率提煉過程中獨立事件情形的缺失，這個缺失會對學生理解兩者的關(guān)系埋下隱患甚至誤導(dǎo)學生，這一點在教學設(shè)計之初就要加以預(yù)防和彌補.

三、條件概率概念教學設(shè)計

1. 概念引入背景要深刻

引例? 由天氣預(yù)報知，明天廣州市降水的概率為18%，東莞市降水的概率為20%，根據(jù)經(jīng)驗，兩地同時降水的概率為12%. 試用字母表示這個情境中的隨機事件，并說出它們之間的關(guān)系.

【設(shè)計意圖】研究隨機事件概率之間的影響必須從研究事件出發(fā)，先理清事件之間的關(guān)系，這樣設(shè)計符合知識發(fā)生、發(fā)展的邏輯順序. 從學生學過的知識和貼近生活的例子出發(fā)創(chuàng)設(shè)問題情境，開啟本節(jié)課的思考、溫故啟新，符合最近發(fā)展區(qū)理論. 設(shè)計非古典（幾何）概型作為問題情境，讓學生在問題中切身感受引入條件概率概念的必要性.

問題1：如果明天一早起來發(fā)現(xiàn)東莞市已降水，那么廣州市降水的概率還是18%嗎？

【設(shè)計意圖】圍繞本節(jié)課的核心問題，即一個隨機事件的發(fā)生對另一個隨機事件發(fā)生概率的影響進行設(shè)問，在學生知識還不具備的條件下作為開放性問題，讓學生直觀感知生活中概率的大小及條件增加引起的概率變化，營造思維沖突，引發(fā)學生繼續(xù)探索的興趣. 條件概率的符號表達對學生來說是一個難點，本就抽象的概念加上陌生突兀的表達，會將學生的學習困難成倍放大. 把握問題引入的時機，先將附加條件的隨機事件原始、煩瑣的文字表示形式展示出來，再引導(dǎo)學生對其表示方法進行數(shù)學的簡化，體驗數(shù)學符號的簡潔美及數(shù)學語言的統(tǒng)一性.

在提問過程中，重點引導(dǎo)學生弄清問題中兩個隨機事件的發(fā)生與否，而符號表達的問題則可以借助之前把代數(shù)運算中的“加”和“乘”都引入概率，表示事件關(guān)系“并”和“交”的活動經(jīng)驗，引導(dǎo)學生運用“除”把附加條件的隨機事件表示為“[BA]”，符號“[|]”后列出條件，與描述法表示集合做法相同，讀作“事件[A]發(fā)生條件下的事件[B]”.

2. 概念生成維度要清晰

（1）由具體到抽象，發(fā)現(xiàn)共性.

概念的提取需要具體的情境和可操作的案例，在情境中體會概念的背景和引入理由，在案例思考和解析過程中提取條件和問題中的共性，組合出概念的雛形，再經(jīng)反復(fù)提煉和打磨并去情境化，才能形成概念. 學生在學習抽象的數(shù)學知識時，通常需要降低抽象層次的思維過程. 例如，將新的概念與已有的知識建立關(guān)聯(lián)，或者建立具體過程來重現(xiàn)抽象的結(jié)論. 作為課堂活動的組織者，教師要提供足夠典型的案例給學生，放手讓學生去感受、發(fā)現(xiàn)、總結(jié)、提煉，并在適當?shù)臅r候提出問題加以引導(dǎo).

題目1? 從3名男生和2名女生共5名學生中抽取2名學生，用事件[A]表示“抽到女生”，事件[B]表示“抽到的兩人都是女生”.

【設(shè)計意圖】設(shè)計三道各具代表的題目供學生思考，題目1體現(xiàn)從古典概型入手，回歸條件概率本源的思想，情境較引例更為簡單易懂，目的是讓學生更加清晰地體會條件的介入對基本事件空間的影響，從而發(fā)現(xiàn)其對概率的影響，為學生從概率表象深入探討數(shù)學本質(zhì)提供思路來源. 題目2進一步引導(dǎo)學生思考如下問題：條件介入會影響基本事件空間，但影響基本事件空間是否一定會影響事件發(fā)生的概率？針對性地設(shè)計為事件[A]的發(fā)生對事件[B]發(fā)生的概率無影響，意在把某個事件發(fā)生對其他事件發(fā)生概率的影響情況全面展示出來，使條件概率的概念拼圖更加完整，也為后續(xù)獨立事件概念的引入預(yù)埋伏筆. 題目3的幾何概型與前面兩個古典概型互為補充、相互印證，使案例形式更加豐富，同時為條件概率的概念由古典概型向更一般情形的推廣提供邏輯孕育點.

收集案例數(shù)據(jù)，列出下表.

【設(shè)計意圖】以問題串啟發(fā)引導(dǎo)學生從案例中提取不同問題情境中共性的部分. 問題2讓學生體會事件[A]的發(fā)生導(dǎo)致基本事件空間發(fā)生改變，計算[PBA]的基本事件空間就是事件[A]的基本事件空間，揭示條件概率計算公式的價值，即在原基本事件空間中即可直接計算條件概率;問題3啟發(fā)學生思考事件[A]的發(fā)生對事件[B]發(fā)生概率的影響情況;問題4以[PAB]與[PBA]的不同取值引導(dǎo)學生思索導(dǎo)致兩者不同的原因即是事件[A]的發(fā)生與否，回歸數(shù)學本質(zhì). 問題串并不直接提出，而是要把發(fā)現(xiàn)規(guī)律的機會先交給學生，放手讓學生分析表格并提出問題探尋原因，對于沒有提出的問題，教師再行補充.

（2）由抽象到概括，提取精華.

問題5：比較[PA，PAB]與[PBA，] 你有什么猜想？試證明你的猜想.

【設(shè)計意圖】條件概率計算公式的概括可以和問題2 ～ 問題4一并交給學生去探究，學生自行探究出規(guī)律成就感更強、印象更深刻、運用更自如. 這個問題的重點在推導(dǎo)證明，是本節(jié)課發(fā)展數(shù)學抽象和邏輯推理核心的最佳植入點和生長點，要充分發(fā)掘利用.

需要指出的是：（1）這個證明只是例證，只證明了古典概型的情況，幾何概型的情況留給學生自行證明，更一般的情形受知識所限只能留待大學里去完成;（2）這個證明過程中[nBn=nABnA]相等的前提是“不改變基本事件定義”，如果重新定義了基本事件，上述證明過程就行不通了，但計算公式[PBA=nBn]仍然是可行的，甚至是高效的. 重新定義基本事件是在不同基本事件空間計算條件概率的分水嶺，[PBA=][PABPA]提出的意義也在于此，即不對基本事件空間作出改變即可進行條件概率的計算.

問題2 ～ 問題4提出的規(guī)律各自揭示了條件概率理解的一個方面，這些碎片化的理解概括起來就是問題5提出的條件概率公式，公式是對自然語言進行的符號化提煉，也是對各種規(guī)律的量化表達和更具一般性的推廣，是值得概括的精華.

（3）由概括到應(yīng)用，提升思想.

練習1：已知袋子中有3個紅球和3個白球，從中不放回地依次抽取2個球，計算在第一次抽到紅球的條件下，第二次也抽到紅球的概率.

練習2：拋擲兩枚骰子觀察向上的點數(shù)，已知出現(xiàn)點數(shù)3，計算兩枚骰子點數(shù)之和為奇數(shù)的概率.

練習3：前述引例.

通過題組練習，總結(jié)條件概率的計算方法如下圖所示.

條件概率概念的提出為概率問題提供了高辨識度的數(shù)學模型，新的問題情境可以強化完善概念的內(nèi)涵和外延，提煉方法的同時提升思維和植入思想. 例如，上述練習中就深刻體現(xiàn)了模型化思想和轉(zhuǎn)化與化歸的思想.

3. 概念同化關(guān)聯(lián)要緊密

概念生成后還需要進行概念的同化，要利用已有認知結(jié)構(gòu)去理解新的概念、接納新的概念，并將其轉(zhuǎn)化成認知結(jié)構(gòu)的一部分. 從條件概率概念的推出過程可以知道，條件概率具有一般概率的性質(zhì).（1）有界性：[0≤PBA≤1;]（2）可列可加性：如果[B]和[C]是兩個互斥事件，則[PB?CA=PBA+PCA;]（3）[PBA=][PABPA]變形后得到[PAB=PAPBA，] 這是計算兩個具有前后依賴關(guān)系的事件的交事件概率的重要方法. 性質(zhì)（1）（2）將條件概率歸于一般概率，性質(zhì)（3）為交事件概率的計算提供了新的思路，在這個公式出現(xiàn)之前，交事件概率的計算只能先對事件進行運算得到新的事件，再通過古典概型或者幾何概型進行計算，現(xiàn)在就可以利用公式[PAB=PAPBA]將目標概率進行轉(zhuǎn)化計算，使原有的概率知識結(jié)構(gòu)得到進一步拓展.

4. 概念升華梯度要分明

題目4? 某兒童商場舉行年終客戶滿意度調(diào)查活動，對于參與滿意度調(diào)查的市民制定如下紀念品抽獎方案：首先參與拋擲“幸運硬幣”環(huán)節(jié)，拋擲結(jié)果正面向上的市民參與布偶類紀念品的抽獎，其中小型布偶價值15元，抽中概率為[23，] 大型布偶價值30元，抽中概率為[13;] 拋擲結(jié)果反面向上的市民參與積木類紀念品的抽獎，其中堆積式積木價值30元，抽中概率為[49，] 拼插式積木價值45元，抽中概率為[49，] 組裝式積木價值60元，抽中概率為[19.] 市民王先生參與調(diào)查后進行抽獎，求王先生獲得獎品價值[X]的分布列.

解：用[A]表示硬幣正面向上，[A]表示硬幣反面向上，用[B1，B2]分別表示抽到小型布偶和大型布偶，用[C1，C2，C3]分別表示抽到堆積式積木、拼插式積木和組裝式積木.

分布列略.

【設(shè)計意圖】對事件關(guān)系的綜合考查和條件概率的變形應(yīng)用，是在概念同化基礎(chǔ)上對概念應(yīng)用的升華，也是對學生數(shù)學抽象和邏輯推理素養(yǎng)的全面提升，設(shè)計作為本節(jié)課的思維拔高點.

5. 概念強化形式要多樣

題目5? 解決下列條件概率問題.

（1）已知袋中有3個紅球和3個白球，從中有放回地依次抽取2個球，計算在第一次抽到紅球的條件下，第二次也抽到紅球的概率.

（2）拋擲兩枚骰子觀察向上的點數(shù)，已知兩枚骰子點數(shù)之和為奇數(shù)，計算出現(xiàn)點數(shù)3的概率.

（3）生態(tài)小故事：中國政府于1982年在安徽宣城投資興建了安徽省揚子鱷繁殖研究中心，圍繞揚子鱷的種群分布和數(shù)量、棲息地、食性、繁殖、冬眠、洞穴、活動規(guī)律等廣泛開展研究. 陳壁輝等人對揚子鱷種群數(shù)量和分布、揚子鱷的形態(tài)學和生態(tài)學等方面進行了系統(tǒng)的研究，并于1985年出版了專著《揚子鱷》，他們發(fā)現(xiàn)揚子鱷蛋殼外粘稠物質(zhì)可以防止卵脫水和外界水分過多地進入卵內(nèi)，使孵化率達到80%，若粘稠物質(zhì)受生態(tài)環(huán)境惡化影響遭到破壞，就將大幅度降低孵化率. 潘繼紅等人研究發(fā)現(xiàn)，一些幼鱷是由變形桿菌引起的肝病致死或是由枸櫞酸桿菌、假單胞桿菌和變形桿菌合并感染肺而致死的. 揚子鱷繁殖研究中心的王仁平等在死亡幼鱷的胃腸中發(fā)現(xiàn)有大量的線蟲. 因此，線蟲感染可能也是導(dǎo)致幼鱷死亡原因之一. 上述諸多生態(tài)原因造成了每顆鱷卵孵化并成活率僅為40%. 若在無污染環(huán)境下有村民在水塘發(fā)現(xiàn)一只剛孵化的幼鱷，問這只幼鱷成活下來的概率有多大？

題目6? 補充條件形成條件概率問題并作答.

題目7? 舉出生活中兩個條件概率的實例.

【設(shè)計意圖】題目5設(shè)計三道小題對標課堂練習，檢測學生對條件概率三種計算公式的掌握情況，意在落實課堂內(nèi)容、強化基本方法;題目6設(shè)計為結(jié)構(gòu)不良題型，給予學生更多發(fā)揮空間，正確提出條件概率的問題，對于學生掌握條件概率的概念大有裨益，不同學生可以根據(jù)掌握情況提出不同層次的條件概率問題并作出解答，進而得到不同層次的發(fā)展;題目7引導(dǎo)學生把數(shù)學學習回歸生活，用數(shù)學眼光觀察世界，用數(shù)學思維思考世界，用數(shù)學語言表達世界.

四、結(jié)束語

概念是學習的基礎(chǔ)，抓住概念才能抓住問題的本質(zhì). 概念教學是高中數(shù)學教學中非常重要的一環(huán). 概念的引入要注意問題情境的構(gòu)思，學生感受到思維沖突才能真正理解概念的價值，概念的生成和同化要關(guān)注過程，要交給學生自己去發(fā)現(xiàn)、去提煉，要把教學重心從教師“如何教”轉(zhuǎn)移到學生“如何學”上，激發(fā)學生的數(shù)學學習興趣，促進不同學生得到相應(yīng)的提升. 概念的升華和強化要著力體現(xiàn)數(shù)學學科核心素養(yǎng)的導(dǎo)向作用，教師要深入理解數(shù)學學科核心素養(yǎng)的內(nèi)涵、價值、表現(xiàn)、水平及其相互聯(lián)系，抓住課堂中數(shù)學學科核心素養(yǎng)的孕育點和生長點展開教學，落實“四基”，這樣才能使學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)得到發(fā)展.

參考文獻：

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