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        強(qiáng)化素養(yǎng)考查 導(dǎo)向方法教學(xué)

        2021-09-10 07:22:44孫鋒周樂(lè)
        關(guān)鍵詞:思想方法數(shù)學(xué)素養(yǎng)

        孫鋒 周樂(lè)

        摘 ?要:圖形與坐標(biāo)的內(nèi)容,本質(zhì)上是利用坐標(biāo)的代數(shù)與幾何屬性研究圖形的性質(zhì)及其運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律. 通過(guò)對(duì)2020年全國(guó)各地區(qū)118套中考試卷中關(guān)于“圖形與坐標(biāo)”內(nèi)容的命題研究,凸顯了這一本質(zhì)內(nèi)容的體現(xiàn). 從整體來(lái)看,試題注重對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的考查,導(dǎo)向以數(shù)學(xué)思想方法為“內(nèi)核”的課堂教學(xué).

        關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)素養(yǎng);思想方法;導(dǎo)向教學(xué)

        在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》(以下簡(jiǎn)稱(chēng)《標(biāo)準(zhǔn)》)中,“圖形與幾何”在第三學(xué)段的內(nèi)容分為圖形的性質(zhì)、圖形的變化、圖形與坐標(biāo)三大板塊.“圖形與坐標(biāo)”的內(nèi)容主要包括坐標(biāo)與圖形位置、坐標(biāo)與圖形運(yùn)動(dòng)等內(nèi)容. 其中,“坐標(biāo)與圖形的位置”是對(duì)小學(xué)“圖形與位置”的發(fā)展和進(jìn)一步深化. 主要是通過(guò)讓學(xué)生體會(huì)確定位置的方法,結(jié)合平面直角坐標(biāo)系進(jìn)一步建立起點(diǎn)的位置和坐標(biāo)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,這也是學(xué)習(xí)函數(shù)的重要基礎(chǔ). 而“坐標(biāo)與圖形的運(yùn)動(dòng)”則是將圖形的變換內(nèi)容與坐標(biāo)知識(shí)結(jié)合起來(lái),學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容不僅有助于掌握函數(shù)圖象的性質(zhì),也為后續(xù)學(xué)習(xí)向量、變換的矩陣等內(nèi)容提供了學(xué)習(xí)前提. 因此,圖形與坐標(biāo)作為認(rèn)識(shí)圖形的一種重要的途徑和手段,對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的發(fā)展有著重要的作用. 現(xiàn)結(jié)合《標(biāo)準(zhǔn)》要求,對(duì)2020年全國(guó)各地區(qū)中考試卷中“圖形與坐標(biāo)”類(lèi)試題的考查內(nèi)容、命題思路進(jìn)行定性和定量分析,并提供模擬試題.

        一、考查內(nèi)容分析

        通過(guò)抽取2020年全國(guó)各地區(qū)118套中考試卷進(jìn)行統(tǒng)計(jì)、分析,發(fā)現(xiàn)與“圖形與坐標(biāo)”有關(guān)的試題的設(shè)置與《標(biāo)準(zhǔn)》的要求基本一致,試題共325道.

        題型及題量方面,統(tǒng)計(jì)的325道題中,選擇題有74道,填空題有73道,解答題有178道. 其中,主觀(guān)題居多,且大部分試題都融合了其他板塊的知識(shí). 每套試卷中設(shè)置3道左右試題,但也有33套試卷中設(shè)置了4 ~ 5道試題,如黑龍江伊春卷、四川內(nèi)江卷、江蘇泰州卷、江蘇常州卷等.

        分值方面,在統(tǒng)計(jì)的所有試題中,2 ~ 4分值的有135道,5 ~ 7分值的有28道,8 ~ 10分值的有89道,11分及以上的有68道. 容易題、中等題、較難題都有涉及,其中很多試卷是將“圖形與坐標(biāo)”類(lèi)試題作為壓軸題.

        內(nèi)容方面,單一考查“坐標(biāo)與圖形位置”的試題有23道,多以選擇題、填空題為主. 單一考查“坐標(biāo)與圖形變換”的試題有61道,其中,選擇題16道,填空題22道,解答題23道,大部分解答題分值在8分以下,難度不大. 除了以上84道試題外,其余多是綜合性較強(qiáng)的試題,有232道試題將點(diǎn)的坐標(biāo)與函數(shù)相結(jié)合進(jìn)行考查,93道試題中涉及了圖形面積問(wèn)題,83道試題中涉及了圖形位置或特征的判斷,51道試題中涉及了最值,7道試題中有新定義,4道試題是探究性問(wèn)題. 從以上分析可以發(fā)現(xiàn),對(duì)于這樣綜合性較強(qiáng)的試題,常常會(huì)融合函數(shù)、三角形、平行四邊形、矩形、圓等知識(shí),試題的設(shè)計(jì)主要涉及解析式、面積、最值、圖形特殊形狀或特殊位置等.

        坐標(biāo)作為圖形的研究工具,搭建起了數(shù)與形的橋梁,在幾何圖形和函數(shù)研究中有著重要的作用. 這部分內(nèi)容的試題中蘊(yùn)涵著豐富的數(shù)學(xué)思想,如數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想、變中有不變思想等,這有助于培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力、推理能力、幾何直觀(guān)能力、模型思想、空間觀(guān)念等素養(yǎng).

        二、命題思路分析

        根據(jù)命題指導(dǎo)思想,中考數(shù)學(xué)命題應(yīng)該重視對(duì)“四基”“四能”的均衡考查.2020年全國(guó)各地區(qū)的中考數(shù)學(xué)試題緊扣《標(biāo)準(zhǔn)》要求,關(guān)注學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和主要數(shù)學(xué)思想方法的考查,試卷在保持相對(duì)穩(wěn)定的基礎(chǔ)上進(jìn)行了適度創(chuàng)新. 命題者在設(shè)計(jì)題目時(shí),不僅選擇將教材中的部分題目進(jìn)行改編再創(chuàng)造,也將部分幾何和代數(shù)問(wèn)題有機(jī)結(jié)合,突出轉(zhuǎn)化、分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合、歸納、變與不變、方程等數(shù)學(xué)思想方法的有效運(yùn)用,較好地突出了試卷的選拔功能,增強(qiáng)了試卷的效度、信度和區(qū)分度. 以下結(jié)合典型例題進(jìn)行分析.

        1. 回歸教材,夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能

        命題者充分尊重《標(biāo)準(zhǔn)》要求,嘗試突出教材在教學(xué)中的引領(lǐng)作用. 試卷中有的試題源于教材中的例題或習(xí)題,再通過(guò)適度改編整合而成.

        (1)關(guān)于坐標(biāo)與圖形位置.

        例1 (江蘇·泰州卷)以水平數(shù)軸的原點(diǎn)O為圓心,過(guò)正半軸[Ox]上的每一刻度點(diǎn)畫(huà)同心圓,將[Ox]逆時(shí)針依次旋轉(zhuǎn)30°,60°,90°,[…],330°得到11條射線(xiàn),構(gòu)成如圖1所示的“圓”坐標(biāo)系,點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別表示為[A5,0°,] [B4,300°],則點(diǎn)C的坐標(biāo)表示為_(kāi)_______.

        此題是對(duì)北師大版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》(以下統(tǒng)稱(chēng)“北師大版教材”)八年級(jí)上冊(cè)第54頁(yè)例題“航?!眴?wèn)題的改編,教材中此題主要研究“方位角 + 距離”定位法. 命題者在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了新的背景,將“方位角 + 距離”定位法進(jìn)行適當(dāng)變化,類(lèi)比了平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)的表示方法,命制了在極坐標(biāo)系中求點(diǎn)的坐標(biāo)問(wèn)題. 很顯然,正確理解坐標(biāo)的意義是解此題的關(guān)鍵. 對(duì)于極坐標(biāo)系,即使學(xué)生之前沒(méi)有接觸過(guò),卻知道平面上確定一個(gè)點(diǎn)的位置需要兩個(gè)條件. 因此,仍然可以通過(guò)圖形與坐標(biāo)的本質(zhì),即“點(diǎn)與數(shù)的對(duì)應(yīng)”進(jìn)行解決. 命題者的目的很明確,主要考查學(xué)生在遇到新問(wèn)題時(shí)解決問(wèn)題的能力,著重考查了對(duì)知識(shí)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)能力和方法的遷移能力. 而《標(biāo)準(zhǔn)》把平面直角坐標(biāo)系的有關(guān)內(nèi)容安排在“圖形與幾何”的課程內(nèi)容里,就是為了更好地體現(xiàn)數(shù)與形之間的這種緊密聯(lián)系.

        (2)關(guān)于坐標(biāo)與圖形運(yùn)動(dòng).

        例2 (甘肅·白銀卷)如圖2,在平面直角坐標(biāo)系中,△OAB的頂點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為[A3, 3],[B4,0]. 把△OAB沿[x]軸向右平移得到△CDE,如果點(diǎn)D的坐標(biāo)為[D6, 3],則點(diǎn)E的坐標(biāo)為_(kāi)_______.

        此題是對(duì)北師大版教材八年級(jí)下冊(cè)第74頁(yè)習(xí)題3.3第3題的改編. 試題主要將教材中的五邊形改為了三角形,仍然考查了平移變換中“對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系”,屬于基礎(chǔ)題型. 類(lèi)似地,山東煙臺(tái)卷第17題改編自魯教版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊(cè)第94頁(yè)第2題,考查了坐標(biāo)中旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì).

        除了例2這樣多以選擇題或填空題設(shè)計(jì)的形式外,黑龍江伊春卷、黑龍江七臺(tái)河卷、湖北武漢卷、湖北孝感卷均以作圖題的形式考查坐標(biāo)與圖形變換這部分內(nèi)容,要求在方格紙中畫(huà)簡(jiǎn)單的幾何圖形,并將這些基本圖形進(jìn)行平移、旋轉(zhuǎn)等變換. 雖然考查形式不同,但是知識(shí)點(diǎn)和思想方法都有較大的一致性.

        2. 聚焦思維,注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用

        數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂,也是培養(yǎng)學(xué)生思維能力的導(dǎo)航燈. 許多地區(qū)的中考試題非常重視對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查.

        (1)坐標(biāo)與圖形性質(zhì)相聯(lián)系——轉(zhuǎn)化思想.

        圖形的性質(zhì)是對(duì)圖形中各種元素之間的關(guān)系,以及圖形之間關(guān)系的認(rèn)識(shí). 一方面,在平面直角坐標(biāo)系中研究圖形的性質(zhì),由形到數(shù),可以將形的性質(zhì)進(jìn)行量化,從而為以數(shù)解形提供環(huán)境;另一方面,將一些特殊圖形的性質(zhì)和平面直角坐標(biāo)系中固有的條件,如直角性質(zhì)、對(duì)稱(chēng)性進(jìn)行融合,可以給整個(gè)圖形增添元素,使圖形背景豐富起來(lái).

        例3 (江蘇·南京卷)如圖3,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P在第一象限,[⊙P]與[x]軸、[y]軸都相切,且經(jīng)過(guò)矩形AOBC的頂點(diǎn)C,與BC相交于點(diǎn)D. 若[⊙P]的半徑為5,點(diǎn)A的坐標(biāo)是[A0,8],則點(diǎn)D的坐標(biāo)是( ? ?).

        (A)[9,2] (B)[9,3]

        (C)[10,2] (D)[10,3]

        此題背景圖形的形成自然、巧妙,又為學(xué)生所熟悉,既有顯性的圓、矩形,也有隱形的正方形、三角形等圖形. 此題可以根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)和半徑長(zhǎng),求出圓心P到弦AC的距離,借助半徑這一輔助線(xiàn),求出弦CD的長(zhǎng)及圓心P到弦CD的距離,進(jìn)一步求出DB的長(zhǎng). 接著,可以借助相切這個(gè)條件,連接圓心和切點(diǎn),將隱形的正方形顯現(xiàn),從而求出OB的長(zhǎng),這樣點(diǎn)D的坐標(biāo)便浮出水面. 此題從定性分析到定量刻畫(huà),由形到數(shù),全面考查了學(xué)生對(duì)基本圖形的識(shí)別、基本性質(zhì)的掌握和基本方法的運(yùn)用,全面考查了學(xué)生的邏輯推理能力和幾何直觀(guān)、空間觀(guān)念等素養(yǎng).

        類(lèi)似地,黑龍江牡丹江卷第18題,需結(jié)合含60°角的菱形的性質(zhì)解題;江蘇常州卷第16題,需結(jié)合含120°角的平行四邊形的性質(zhì)解題;江蘇連云港卷第11題、甘肅天水卷第17題均需結(jié)合正方形的性質(zhì)解題;等等. 在這里,圖形的性質(zhì)起到了建立數(shù)量之間關(guān)系的必不可少的橋梁和紐帶作用,借助圖形的性質(zhì)由形到數(shù),突出轉(zhuǎn)化,受到眾多命題者的青睞.

        (2)坐標(biāo)與圖形變化規(guī)律相聯(lián)系——?dú)w納思想.

        研究圖形變化時(shí)幾何圖形的不變性是幾何學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容,特別是當(dāng)圖形有規(guī)律地發(fā)生變化時(shí),其對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)也會(huì)有規(guī)律地發(fā)生變化. 這類(lèi)問(wèn)題不僅考查了學(xué)生的探究能力,也很好地揭示了點(diǎn)與數(shù)的本質(zhì)特征.

        例4 (湖北·恩施州卷)如圖4,在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為:[A-2,0,] [B1,2,] [C1,-2].已知[N-1,0],作點(diǎn)N關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N1,點(diǎn)N1關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N2,點(diǎn)N2關(guān)于點(diǎn)C的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N3,點(diǎn)N3關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N4,點(diǎn)N4關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N5,…,依此類(lèi)推,則點(diǎn)N2 020的坐標(biāo)為_(kāi)_______ .

        此題把一個(gè)三角形放在平面直角坐標(biāo)系中,給出三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo),從而確定了這個(gè)三角形的位置和大小,然后通過(guò)連續(xù)的對(duì)稱(chēng)變換出現(xiàn)一系列對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N1,N2,N3,N4,…,并求點(diǎn)N2 020的坐標(biāo). 很顯然,求點(diǎn)N2 020的坐標(biāo)需要通過(guò)分析系列點(diǎn)的規(guī)律. 一方面,借助圖形分析,能確定點(diǎn)位置的循環(huán)周期是每6個(gè)點(diǎn)循環(huán)一次;另一方面,通過(guò)計(jì)算出點(diǎn)N6的坐標(biāo)為[N6-1,0],發(fā)現(xiàn)此時(shí)剛好回到最開(kāi)始的點(diǎn)N處,也能得到變化規(guī)律. 因此點(diǎn)N2 020的坐標(biāo)與點(diǎn)N4的坐標(biāo)相同,其坐標(biāo)為[N4-1,8].此類(lèi)問(wèn)題雖是規(guī)律探索類(lèi)問(wèn)題,但其本質(zhì)仍是數(shù)與形在變化中的不變性.

        類(lèi)似地,湖南衡陽(yáng)卷第18題也考查了具有循環(huán)周期的規(guī)律型問(wèn)題. 除了具有循環(huán)規(guī)律型問(wèn)題外,還??疾椴痪哂醒h(huán)規(guī)律型問(wèn)題,而是通過(guò)運(yùn)用不完全歸納法解決的規(guī)律探究型問(wèn)題.

        例5 (四川·內(nèi)江卷)如圖5,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)[A-2,0,] 直線(xiàn)[l]:[y=33x+33]與[x]軸交于點(diǎn)B,以AB為邊作等邊三角形ABA1,過(guò)點(diǎn)A1作[A1B1]∥[Ox],交直線(xiàn)[l]于點(diǎn)[B1],以[A1B1]為邊作等邊三角形[A1B1A2],過(guò)點(diǎn)[A2]作[A2B2]∥Ox,交直線(xiàn)[l]于點(diǎn)[B2],以[A2B2]為邊作等邊三角形[A2B2A3],依此類(lèi)推,則點(diǎn)A2 020的縱坐標(biāo)是________ .

        此題將等邊三角形置于平面直角坐標(biāo)系中,并結(jié)合一次函數(shù)考查點(diǎn)變換后的點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律. 此題需要學(xué)生通過(guò)一次函數(shù)的性質(zhì)先確定點(diǎn)B的坐標(biāo),再借助等邊三角形的相關(guān)性質(zhì)確定點(diǎn)A1的坐標(biāo),進(jìn)而繼續(xù)確定點(diǎn)B1,A2,B2,……的坐標(biāo). 然后,需要運(yùn)用不完全歸納法先求得點(diǎn)An的坐標(biāo). 此題融合了一次函數(shù)和圖形的性質(zhì),綜合考查了學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力,滲透了數(shù)形結(jié)合、從特殊到一般、變與不變的數(shù)學(xué)思想.

        類(lèi)似地,黑龍江黑河卷第17題、黑龍江七臺(tái)河卷第20題、湖北鄂州卷第10題、湖南懷化卷第16題等也需要運(yùn)用類(lèi)似方法進(jìn)行解決.

        在中考試卷中,此類(lèi)坐標(biāo)與圖形變化規(guī)律相聯(lián)系的題目常考常新,一直得到命題者的青睞,考查形式主要是選擇題和填空題,大多數(shù)題目都出現(xiàn)在了對(duì)應(yīng)題型的壓軸位置,全面考查學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力,滲透歸納思想.

        (3)坐標(biāo)與動(dòng)態(tài)問(wèn)題相聯(lián)系——數(shù)形結(jié)合思想.

        中考命題的設(shè)計(jì)不僅要以核心數(shù)學(xué)知識(shí)為基礎(chǔ),還要重點(diǎn)考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用和實(shí)際解決問(wèn)題的能力. 因此,許多省市的中考試卷命題者開(kāi)始重視對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的動(dòng)態(tài)隱性問(wèn)題的考查.

        例6 (江蘇·連云港卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,把與[x]軸交點(diǎn)相同的二次函數(shù)圖象稱(chēng)為“共根拋物線(xiàn)”. 如圖6,拋物線(xiàn)[L1:y=12x2-32x-2]的頂點(diǎn)為D,交x軸于點(diǎn)A,B(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)),交y軸于點(diǎn)C. 拋物線(xiàn)L2與L1是“共根拋物線(xiàn)”,其頂點(diǎn)為P.

        (1)若拋物線(xiàn)L2經(jīng)過(guò)點(diǎn)[2,-12],求L2對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式;

        (2)當(dāng)BP - CP的值最大時(shí),求點(diǎn)[P]的坐標(biāo);

        (3)設(shè)點(diǎn)Q是拋物線(xiàn)L1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且位于其對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè).若[△DPQ]與[△ABC]相似,求其“共根拋物線(xiàn)”L2的頂點(diǎn)P的坐標(biāo).

        此題屬于函數(shù)背景的幾何綜合題,需要借助函數(shù)為幾何計(jì)算與推理提供關(guān)鍵點(diǎn)的位置和運(yùn)算的依據(jù). 第(1)小題需要先從已知條件中求出點(diǎn)A,B的坐標(biāo),再結(jié)合給出的第三點(diǎn)的坐標(biāo)求出L2對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式;第(2)小題則需要抓住“共根拋物線(xiàn)”中與[x]軸交點(diǎn)這個(gè)結(jié)論進(jìn)行推理,從而得出共對(duì)稱(chēng)軸這個(gè)結(jié)論,再通過(guò)拋物線(xiàn)L1的對(duì)稱(chēng)軸得到點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑為一條定直線(xiàn),從而轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題中典型的線(xiàn)段差最大問(wèn)題進(jìn)行解決. 此問(wèn)題中條件隱藏較深,需要學(xué)生具有較強(qiáng)的分析問(wèn)題的能力和邏輯推理能力,解決問(wèn)題過(guò)程中很好地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想. 而第(3)小題進(jìn)一步給出條件“拋物線(xiàn)L1上的動(dòng)點(diǎn)Q”,考查相似三角形的存在性問(wèn)題,解決問(wèn)題過(guò)程中需要先得到“△ABC是直角三角形”這個(gè)隱含條件,再運(yùn)用相似的性質(zhì)進(jìn)行解決. 需要注意的是,通過(guò)解方程求出的值,需要結(jié)合圖形進(jìn)行取舍. 此題將直角三角形、定直線(xiàn)等條件隱藏在了函數(shù)解析式中,與函數(shù)知識(shí)結(jié)合起來(lái),將形隱于數(shù),在一定程度上將設(shè)置問(wèn)題的角度多樣化.

        類(lèi)似地,湖北鄂州卷第24題也考查了中點(diǎn)問(wèn)題和相似三角形的存在性問(wèn)題;四川瀘州卷第25題考查了等腰直角三角形的存在性問(wèn)題;重慶A卷第25題考查了菱形的存在性問(wèn)題;等等. 不難發(fā)現(xiàn),動(dòng)態(tài)問(wèn)題中常常會(huì)研究滿(mǎn)足某些特定條件或特殊位置的情況,而這樣的特殊位置往往不止一個(gè),常常需要分類(lèi)討論. 在問(wèn)題解決時(shí),可以通過(guò)設(shè)出坐標(biāo),繼而列出方程,通過(guò)坐標(biāo)計(jì)算來(lái)量化這些特殊的位置,也需要通過(guò)分析得到的代數(shù)結(jié)果進(jìn)一步解釋圖形位置,然后再對(duì)分類(lèi)結(jié)果進(jìn)行取舍. 這種將坐標(biāo)作為橋梁的綜合型動(dòng)態(tài)問(wèn)題,將“數(shù)缺形時(shí)少直覺(jué),形少數(shù)時(shí)難入微”展現(xiàn)得淋漓盡致. 數(shù)與形之間的這種相互轉(zhuǎn)化,能幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣,對(duì)深入學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)具有重要的意義.

        三、復(fù)習(xí)建議

        通過(guò)對(duì)2020年全國(guó)各地區(qū)中考數(shù)學(xué)試卷中“圖形與坐標(biāo)”試題的分析,現(xiàn)對(duì)2021年的中考復(fù)習(xí)備考提出如下建議.

        1. 把握內(nèi)容本質(zhì),理解《標(biāo)準(zhǔn)》要求

        圖形與坐標(biāo)的內(nèi)容,本質(zhì)上是利用坐標(biāo)的代數(shù)與幾何屬性研究圖形本身的性質(zhì)或其運(yùn)動(dòng)變化后的規(guī)律,由此,深刻理解圖形本身的性質(zhì)與坐標(biāo)的“數(shù)”與“形”是學(xué)習(xí)本內(nèi)容的關(guān)鍵. 從《標(biāo)準(zhǔn)》的要求來(lái)看,主要用坐標(biāo)對(duì)基本圖形的坐標(biāo)進(jìn)行表示,但是在圖形的變化中,需要融合學(xué)科內(nèi)外知識(shí),對(duì)學(xué)生的幾何直觀(guān)、運(yùn)算能力、推理能力都有一定的要求.

        2. 注重情境分析,挖掘內(nèi)在聯(lián)系

        問(wèn)題情境的設(shè)置是考查學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平的重要手段,生活情境、數(shù)學(xué)情境、科學(xué)情境是三種不同的考查方式. 從近幾年考查的問(wèn)題情境設(shè)置來(lái)看,以生活或科學(xué)情境設(shè)置的題量逐年增加. 由此,要強(qiáng)化對(duì)不同情境與數(shù)學(xué)問(wèn)題本身的關(guān)聯(lián)研究,特別是對(duì)圖形與坐標(biāo)內(nèi)容本質(zhì)的理解. 例如,解決例1的關(guān)鍵在于,學(xué)生是否理解到,在平面內(nèi)圖形的位置確定需要兩個(gè)特定的要素,且這兩素間要具有量和形的關(guān)聯(lián).

        3. 凸顯知識(shí)關(guān)聯(lián),強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想方法

        初中階段研究了一系列基本平面圖形,而這些圖形與其他相關(guān)內(nèi)容結(jié)合后呈現(xiàn)了較多交會(huì)知識(shí)內(nèi)容,如多邊形與函數(shù)的結(jié)合,圖形變化后與新圖形的結(jié)合等. 在中考復(fù)習(xí)中,需要關(guān)注知識(shí)間的關(guān)聯(lián). 而對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的理解是掌握本內(nèi)容的關(guān)鍵,數(shù)形結(jié)合思想貫穿始終,建議通過(guò)對(duì)多種問(wèn)題進(jìn)行歸類(lèi)整理,從包含的知識(shí)、方法、運(yùn)動(dòng)變化方式等維度分析,要在已有基本圖形的認(rèn)知上建構(gòu)這幾個(gè)維度的關(guān)聯(lián),形成“大單元”的格局觀(guān),深度體驗(yàn)、深度審視內(nèi)容考查的方式、方法.

        4. 注重動(dòng)靜結(jié)合,把握變化本質(zhì)

        從《標(biāo)準(zhǔn)》的要求來(lái)看,“位置”與“運(yùn)動(dòng)”是學(xué)習(xí)本內(nèi)容的關(guān)鍵詞,而運(yùn)動(dòng)中的變與不變是掌握本內(nèi)容的難點(diǎn). 由此,在復(fù)習(xí)過(guò)程中,要對(duì)圖形的幾種基本變化性質(zhì)進(jìn)行深刻把握,特別是對(duì)變化前后圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的變化規(guī)律的理解,建議通過(guò)動(dòng)手實(shí)踐去真實(shí)感受“運(yùn)動(dòng)”的本質(zhì),培育學(xué)生的直觀(guān)感知素養(yǎng).

        四、模擬題欣賞

        1. 如圖7,將[∠AOB]放在邊長(zhǎng)為[1]的小正方形組成的網(wǎng)格中,若點(diǎn)A,O,B都在格點(diǎn)上,則[tan∠AOB]為( ? ?).

        (A) [12] (B)[2]

        (C)[3] (D) [13]

        參考答案:B.

        2. 在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)[A]沿[x]軸正方向平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)[B]. 點(diǎn)[B]關(guān)于[y]軸對(duì)稱(chēng)得到點(diǎn)[C-2,3],則點(diǎn)[A]的坐標(biāo)為( ? ?).

        (A)[3,-3] (B)[-3,3]

        (C)[1,3] (D)[-1,3]

        參考答案:C.

        3. 如圖8,在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),矩形[OABC]的頂點(diǎn)[O,A,C]均在坐標(biāo)軸上,點(diǎn)[B]坐標(biāo)為[B3,2],如點(diǎn)[B]沿過(guò)點(diǎn)[A]的直線(xiàn)翻折后剛好落在[x]軸上,則這條直線(xiàn)的方程為_(kāi)_______________?.

        參考答案:[x+y-3=0].

        4. 如圖9,一次函數(shù) y = 2x + 2 的圖象為直線(xiàn)l,菱形AOBA1,A1O1B1A2,A2O2B2A3,…按圖中所示的方式放置,頂點(diǎn)A,A1,A2,A3,…均在直線(xiàn)l上,頂點(diǎn)O,O1,O2,…均在x軸上,則點(diǎn)Bn的坐標(biāo)是 ________ .

        參考答案:[2n+2n-1-1,2n].

        5. 如圖10,在平面直角坐標(biāo)系[xOy]中,拋物線(xiàn)[y=-x2+bx+c]交坐標(biāo)軸于[A,B,C]三點(diǎn),且點(diǎn)[A]的坐標(biāo)為[A-3,0,] 點(diǎn)[B]的坐標(biāo)為[B0,3].

        (1)求拋物線(xiàn)的解析式;

        (2)若P為線(xiàn)段AB上一點(diǎn),∠APO = ∠ACB,求AP的長(zhǎng);

        (3)在(2)的條件下,設(shè)M是y軸上一點(diǎn),試問(wèn):拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)N,使得以A,P,M,N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形?若存在,求出點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在,試說(shuō)明理由.

        參考答案:(1)[y=-x2-2x+3;]

        (2)[22][;]

        (3)存在. 點(diǎn)N的坐標(biāo)為[-2,3,] [2,-5],[-4,-5].

        五、結(jié)束語(yǔ)

        中考試題對(duì)初中階段的教育教學(xué)具有較強(qiáng)的導(dǎo)向作用,隨著課程改革與評(píng)價(jià)方式改革的深入,對(duì)于學(xué)生核心素養(yǎng)考查的試題命制會(huì)有更高的要求. 因而,學(xué)生對(duì)于“圖形與坐標(biāo)”內(nèi)容的復(fù)習(xí),需要從圖形本身性質(zhì)及其變化規(guī)律去把握內(nèi)容要求,從“大單元”的視角去理解學(xué)科內(nèi)、外間的關(guān)聯(lián),從問(wèn)題背后所承載的數(shù)學(xué)思想方法把握教與學(xué).

        參考文獻(xiàn):

        [1]中華人民共和國(guó)教育部制定. 義務(wù)教學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)[M]. 北京:北京師范大學(xué)出版社,2012.

        [2]陳江輝. 一道中考填空題的命制歷程及拓展研究[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(中旬),2020(9):51-53.

        [3]陳耀忠,袁正千. 回歸教材、致敬學(xué)科經(jīng)典,穩(wěn)中求變、突出核心素養(yǎng):淺談2017年安徽數(shù)學(xué)中考[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)(初中版),2017(10):44-49.

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