蔡莉娜

摘 ?要：2020年全國各地區(qū)中考試卷對(duì)“圖形的變化”的考查整體上體現(xiàn)了突出重點(diǎn)、關(guān)注應(yīng)用、注重能力，符合《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的理念與要求. 文章以“圖形的變化”的部分典型試題為例，重點(diǎn)圍繞對(duì)圖形本質(zhì)、幾何直觀、數(shù)學(xué)應(yīng)用和數(shù)學(xué)文化四個(gè)方面的關(guān)注，對(duì)相關(guān)試題的命題思路進(jìn)行剖析.

關(guān)鍵詞：圖形的變化;命題分析;中考試題

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）將“圖形與幾何”分成圖形的性質(zhì)、圖形的變化、圖形與坐標(biāo)三大塊，其中“圖形的變化”主要包括圖形的軸對(duì)稱、圖形的旋轉(zhuǎn)、圖形的平移、圖形的相似和圖形的投影.“圖形的變化”是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一. 由于其在考查學(xué)生空間觀念、幾何直觀、推理能力和抽象能力等方面有著不可替代的作用，因此在歷年中考中一直占有重要地位.

一、考查內(nèi)容分析

從2020年全國各地區(qū)近百份中考數(shù)學(xué)試卷來看，在“圖形的變化”的命題中，不僅突出對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本思想方法的考查，還重視對(duì)能力要求的分層考查，這有利于檢測(cè)出不同能力層次的學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握、應(yīng)用及思維發(fā)展情況. 多道試題以幾何情境、現(xiàn)實(shí)情境和數(shù)學(xué)傳統(tǒng)文化等為載體進(jìn)行命制，凸顯了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，體現(xiàn)了圖形的變化的考查目標(biāo)和育人功能. 總體上看，2020年全國各地區(qū)中考數(shù)學(xué)試卷中“圖形的變化”試題的考查特點(diǎn)主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面.

一是突出重點(diǎn). 借助基本圖形及其相互的關(guān)系，突出考查核心內(nèi)容. 試卷從多角度考查了基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能與基本思想方法，體現(xiàn)了《標(biāo)準(zhǔn)》中的“面向全體學(xué)生”;從多層次考查學(xué)生的空間觀念、推理能力、運(yùn)算能力、應(yīng)用能力等，尊重學(xué)生的個(gè)性差異，體現(xiàn)了《標(biāo)準(zhǔn)》中的“適應(yīng)學(xué)生個(gè)性發(fā)展的需要”和“不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”. 試題展現(xiàn)了義務(wù)教育階段的基礎(chǔ)性、普及性和發(fā)展性的數(shù)學(xué)教育特征.

二是關(guān)注應(yīng)用. 通過設(shè)計(jì)不同情境的實(shí)際問題，彰顯數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用和工具性. 例如，多份試卷中出現(xiàn)了生活中的測(cè)量問題和線路最短長度的定位問題等試題，考查學(xué)生對(duì)已知幾何模型的理解和靈活調(diào)用相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，有著重要的現(xiàn)實(shí)意義，體現(xiàn)了《標(biāo)準(zhǔn)》中的“從實(shí)際背景中抽象出數(shù)學(xué)問題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、尋求結(jié)果、解決問題”.

三是注重能力. 試題編制關(guān)注知識(shí)的交會(huì)，既有明確的考查指向，又蘊(yùn)含著思維能力. 為了避免過多的模式化訓(xùn)練對(duì)測(cè)試結(jié)果效度的影響，設(shè)計(jì)挑戰(zhàn)性問題，以增強(qiáng)試題的綜合性與思想性. 例如，多份試卷中出現(xiàn)了不能套用現(xiàn)成模式解決的探究活動(dòng)，需要綜合運(yùn)用三角函數(shù)、相似三角形、圖形運(yùn)動(dòng)變換等知識(shí)解決問題，促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)間相互聯(lián)系的思考，考查學(xué)生的推理能力、抽象能力、探究能力和應(yīng)用能力等. 這類試題體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科獨(dú)特的育人功能，也體現(xiàn)了《標(biāo)準(zhǔn)》中的“培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和推理能力”，以及“關(guān)注學(xué)生的全面、持續(xù)、和諧發(fā)展”.

二、命題思路分析

1. 立足基礎(chǔ)，關(guān)注圖形本質(zhì)

《標(biāo)準(zhǔn)》明確指出，要掌握?qǐng)D形與幾何的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能.“圖形的變化”這部分內(nèi)容概念、性質(zhì)和定理較多，通常以三角形、四邊形等基本的直線型平面圖形為載體，以核心知識(shí)為紐帶，通過基本概念、基本性質(zhì)、基本計(jì)算等突出對(duì)圖形本質(zhì)屬性的考查.

（1）關(guān)注圖形變換中核心元素的變化規(guī)律.

例1 （江蘇·蘇州卷）如圖1，在[△ABC]中，[∠BAC=][108°]，將[△ABC]繞點(diǎn)[A]按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到[△ABC]. 若點(diǎn)[B]恰好落在邊[BC]上，且[AB=CB，]則[∠C]的度數(shù)為（ ? ?）.

（A）[18°] （B）[20°]

（C）[24°] （D）[28°]

【評(píng)析】此題以旋轉(zhuǎn)為主線，將旋轉(zhuǎn)、等腰三角形和三角形內(nèi)外角的性質(zhì)融合在一起. 在非標(biāo)準(zhǔn)圖形中，需要學(xué)生根據(jù)圖形的旋轉(zhuǎn)變換過程，明確其變換規(guī)律，從而辨析其中的對(duì)應(yīng)關(guān)系，突出對(duì)圖形本質(zhì)屬性的考查，關(guān)注通性、通法.

任何圖形經(jīng)過軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)和平移變換后，只是改變了圖形的位置，圖形的形狀和大小不會(huì)發(fā)生任何變化. 在不同的運(yùn)動(dòng)變換下，圖形具有各自不同的性質(zhì)，其核心元素有著不同的變化規(guī)律. 通過對(duì)這三種基本變換試題的編制，既能實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生對(duì)不同變換性質(zhì)掌握的評(píng)價(jià)，又能考查學(xué)生對(duì)基本圖形本質(zhì)的理解. 類似試題還有貴州黔東南州卷第5題、天津卷第11題等.

（2）關(guān)注圖形的“對(duì)應(yīng)關(guān)系”.

例2 （黑龍江·大興安嶺卷）圖2是一個(gè)幾何體的三視圖，依據(jù)圖中給出的數(shù)據(jù)，計(jì)算出這個(gè)幾何體的側(cè)面積是____________.

【評(píng)析】此題題干敘述簡潔、明了，通過圖形上標(biāo)識(shí)的數(shù)據(jù)，避免了冗長的文字表述，便于學(xué)生理解題意. 由題中的三視圖可推斷出原幾何體為圓錐，體現(xiàn)了視圖在“視”的基礎(chǔ)上的對(duì)應(yīng)特征，考查了學(xué)生對(duì)圖形觀察、識(shí)別、分析、判斷的基本能力，以及空間觀念，較好地體現(xiàn)了《標(biāo)準(zhǔn)》中對(duì)基本幾何體與三視圖之間關(guān)系的要求.

判斷三維（空間）的基本幾何體與二維（平面）幾何體的關(guān)系，它的解答往往依賴于學(xué)生的合情推理能力，由于推理過程不易于用數(shù)學(xué)語言表達(dá)出來，因此各地基本上采用選擇題或填空題的題型. 像這樣由視圖到立體圖形，或是由立體圖形到視圖是各地區(qū)中考數(shù)學(xué)試卷中對(duì)“圖形的投影”考查的常用方式. 類似試題還有北京卷第1題、新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)卷第2題、湖南懷化卷第15題等.

例3 （浙江·紹興卷）如圖3，三角板在燈光照射下形成投影，三角板與其投影的相似比為2∶5，且三角板的一邊長為[8 cm，] 則投影三角板的對(duì)應(yīng)邊長為（ ? ?）.

（A）[20 cm] （B）[10 cm]

（C）[8 cm] （D）[3.2 cm]

【評(píng)析】此題創(chuàng)設(shè)的情境比較自然、公平，以學(xué)生熟悉的三角板為背景進(jìn)行命制，拉近了與學(xué)生的距離. 以位似圖形的設(shè)置方式，將該問題轉(zhuǎn)化為相似三角形中對(duì)應(yīng)邊的比等于相似比，既考查了相似三角形的性質(zhì)，又考查了學(xué)生對(duì)圖形本質(zhì)屬性的把握，這樣的設(shè)計(jì)使得圖形具有了與幾何本質(zhì)聯(lián)系的意義. 類似試題還有重慶B卷第6題、黑龍江哈爾濱卷第10題、遼寧營口卷第6題等.

2. 借助數(shù)學(xué)內(nèi)在的關(guān)聯(lián)，關(guān)注幾何直觀

數(shù)學(xué)學(xué)科的嚴(yán)密性和系統(tǒng)性決定了數(shù)學(xué)知識(shí)間有著密切的聯(lián)系. 中考試題的命制特別重視從知識(shí)的相關(guān)性入手，強(qiáng)調(diào)知識(shí)間的邏輯關(guān)聯(lián)，注重綜合性，運(yùn)用數(shù)學(xué)思考，選用合理方法解答相關(guān)的試題. 試題加強(qiáng)了對(duì)學(xué)生讀圖、操作、探究、推理等能力的要求，彰顯了從知識(shí)理解到知識(shí)運(yùn)用的過程，全面考查了學(xué)生的各水平情況. 在各地中考數(shù)學(xué)試題中，重視考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法和綜合運(yùn)用幾何知識(shí)解決問題的能力，強(qiáng)調(diào)圖形變換的應(yīng)用，展現(xiàn)空間觀念，體現(xiàn)了對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的要求.

（1）在知識(shí)的縱橫聯(lián)系中關(guān)注幾何直觀.

例4 （浙江·臺(tái)州卷）把一張寬為[1 cm]的長方形紙片[ABCD]折疊成如圖4所示的陰影圖案，頂點(diǎn)[A，D]互相重合，中間空白部分是以[E]為直角頂點(diǎn)，腰長為[2 cm]的等腰直角三角形，則紙片的長[AD]（單位：[cm）]為（ ? ?）.

（A）[7+32] （B）[7+42]

（C）[8+32] （D）[8+42]

【評(píng)析】此題以學(xué)生熟悉的折紙活動(dòng)為背景進(jìn)行命制，需要結(jié)合已知條件和翻折的性質(zhì)進(jìn)行深入分析，通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造特殊三角形或特殊四邊形解決問題. 根據(jù)此題的解答情況，可以推斷出學(xué)生對(duì)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)等知識(shí)的整體掌握情況. 此題對(duì)學(xué)生的抽象概括能力提出了一定要求，對(duì)學(xué)生空間觀念的發(fā)展情況進(jìn)行了有效考查.

類似試題還有湖南常德卷第15題、江西卷第12題、重慶A卷第11題、山東威海卷第16題等.

例5 （福建卷）如圖5，△ADE由△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到，且點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在BC的延長線上，AD，EC相交于點(diǎn)P.

（1）求∠BDE的度數(shù);

（2）F是EC延長線上的點(diǎn)，且∠CDF = ∠DAC.

① 判斷DF和PF的數(shù)量關(guān)系，并證明;

② 求證：[EPPF=PCCF].

【評(píng)析】此題中各小題考查的重點(diǎn)有所不同，在考查學(xué)生幾何基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，把空間想象能力、邏輯推理能力較好地融入了其中. 設(shè)問由易到難、層層遞進(jìn)，給不同基礎(chǔ)的學(xué)生提供了不同層次的思維平臺(tái)，對(duì)不同認(rèn)知水平的學(xué)生分別進(jìn)行了考查，有一定的區(qū)分度. 第（1）小題考查的是利用旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)進(jìn)行簡單的幾何計(jì)算，考查了學(xué)生最基本、最通用的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能. 第（2）小題第①問給學(xué)生提供了一個(gè)探究的平臺(tái)，利用外角性質(zhì)，可以得到∠DPF = ∠PDF，由此判斷了DF和PF的數(shù)量關(guān)系，考查了學(xué)生觀察、想象、轉(zhuǎn)化等靈活運(yùn)用知識(shí)的能力;第②問需要學(xué)生調(diào)用高度的推理能力解決問題，思維含量大，所要證明的比例線段在現(xiàn)有的圖形中很難直接獲得，因此需要添加輔助線解決問題，而不同的切入點(diǎn)會(huì)產(chǎn)生不同的添加輔助線的方式. 例如，可以過點(diǎn)P作PH∥ED交DF于點(diǎn)H（如圖6），由[EPPF=DHHF]和△HPF ?≌ △CDF完成證明，也可以過點(diǎn)P作PG∥DC交DE于點(diǎn)G（如圖7），由[EPPC=EGDG， EGGP=EDDC]和△DEF ∽ △CDF完成證明. 不同的解法、合理的坡度，都是為了尊重學(xué)生個(gè)性的差異，這樣的問題設(shè)計(jì)具有一定的推廣性.

類似試題還有湖北荊州卷第22題、重慶A卷第26題等.

例6 （安徽卷）如圖8，[△ABC]和[△DEF]都是邊長為2的等邊三角形，它們的邊[BC，EF]在同一條直線[l]上，點(diǎn)[C，E]重合. 現(xiàn)將[△ABC]沿著直線[l]向右移動(dòng)，直至點(diǎn)[B]與點(diǎn)[F]重合時(shí)停止移動(dòng). 在此過程中，設(shè)點(diǎn)[C]移動(dòng)的距離為[x，] 兩個(gè)三角形重疊部分的面積為[y，] 則[y]隨[x]變化的函數(shù)圖象大致為（ ? ?）.

【評(píng)析】此題以學(xué)生熟悉的等邊三角形為背景進(jìn)行命制. 在圖形平移的過程中，重疊部分的面積與移動(dòng)的距離這兩個(gè)變量按照某種規(guī)律在進(jìn)行變化，從而出現(xiàn)了函數(shù)關(guān)系. 在三角形平移的過程中，重疊部分面積先增加后減少，因此先要找到分段點(diǎn)，然后分段進(jìn)行計(jì)算. 此題考查了學(xué)生運(yùn)用平移、等邊三角形和函數(shù)的相關(guān)知識(shí)解決問題的能力，較好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)間的聯(lián)系與綜合. 此題以選擇題的形式進(jìn)行命制較為合理，將學(xué)生對(duì)“重疊部分面積”表示可能性的估計(jì)作為選項(xiàng)，有效避免了各選項(xiàng)對(duì)學(xué)生解答試題的提示.

類似試題還有湖南湘西州卷第17題、寧夏卷第26題等，其都是在圖形的運(yùn)動(dòng)變化的過程中，借助基本圖形的性質(zhì)和平移變換的性質(zhì)分析重疊部分面積的變化情況.

例7 （內(nèi)蒙古·通遼卷）如圖9（1），在△ABC中，AB = AC，∠BAC = 120°，點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)PC = x，PA + PE = y. 圖9（2）是y關(guān)于x的函數(shù)圖象，其中H是圖象上的最低點(diǎn). 那么a + b的值為____________ .

【評(píng)析】此題需要根據(jù)已知條件將兩張圖結(jié)合在一起思考，文字、圖象需要在問題的分析過程中互相轉(zhuǎn)化，考查學(xué)生從文字和圖象中獲取信息的能力. 根據(jù)圖9（2）呈現(xiàn)出的點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中y與x之間的函數(shù)圖象，推斷出函數(shù)值[33]表示的是當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)PA + PE的值，由此可求得[AB=23.] 在此基礎(chǔ)上將所要求的a + b的值轉(zhuǎn)化為求PA + PE的最小值問題. 學(xué)生在解決這個(gè)問題的過程中，需要經(jīng)歷觀察、思考、推理、操作等一系列數(shù)學(xué)活動(dòng)，感悟數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.

像這樣在知識(shí)的交會(huì)處設(shè)計(jì)問題的還有湖北荊門卷第12題等.

（2）在方法的聯(lián)系與融合中關(guān)注幾何直觀.

例8 （河南卷）將正方形[ABCD]的邊[AB]繞點(diǎn)[A]逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至[AB′，] 記旋轉(zhuǎn)角為[α]. 連接[BB′]，過點(diǎn)[D]作[DE]垂直于直線[BB′，] 垂足為點(diǎn)[E，] 連接[DB′，CE.]

（1）如圖10（1），當(dāng)[α=60°]時(shí)，[△DEB′]的形狀為____________，連接[BD，] 可求出[BB′CE]的值為____________;

（2）當(dāng)[0°<α<360°]且[α≠90°]時(shí)，

① （1）中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立？如果成立，試僅就圖10（2）的情形進(jìn)行證明;如果不成立，試說明理由;

② 當(dāng)以點(diǎn)[B′，E，C，D]為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，試直接寫出[BEB′E]的值.

【評(píng)析】此題是多種題型的復(fù)合，采用了“填空 + 證明 + 解答”的題型設(shè)計(jì)，三種題型選用恰當(dāng)，通過線段AB旋轉(zhuǎn)角度的不同構(gòu)造問題情境. 第（1）小題是在旋轉(zhuǎn)了特殊的角度后得到的結(jié)論，難度不大，這個(gè)問題的解答為第（2）小題提供了一定的支持，相當(dāng)于為學(xué)生搭設(shè)了“腳手架”. 由于第（1）小題論述的過程與更具有一般特征的第（2）小題第①問很類似，因此第（1）小題以填空的形式出現(xiàn)，只要求寫出結(jié)論，而后者則需要寫出完整的解答過程，以展示學(xué)生的思維過程. 這樣的設(shè)計(jì)既能考查學(xué)生解決問題的策略，又能考查學(xué)生對(duì)知識(shí)、方法的遷移能力和探究能力. 在此題的三道小題中，[BB′CE=2]始終成立，這一“不變性”源自“正方形[ABCD，AB=AB′，DE]垂直于直線[BB′]”這三個(gè)條件，因此總有[△B′DB]∽[△EDC，] 反映了有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)相似三角形的性質(zhì). 在解決最后一道小題時(shí)，由于以點(diǎn)[B′，E，C，D]為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形沒有現(xiàn)成的圖形，學(xué)生需要在嘗試操作、檢驗(yàn)和探究的過程中，猜想、推斷點(diǎn)[B′]與E的位置，結(jié)合前面的“不變性”，再對(duì)問題進(jìn)行整體性的思考與理解. 此題體現(xiàn)了從特殊到一般的探究過程，滲透了類比、化歸、分類討論等數(shù)學(xué)思想，體現(xiàn)了高階思維.

類似試題還有黑龍江鶴崗卷第26題、浙江嘉興卷第23題等.

例9 （江西卷）某數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組在學(xué)習(xí)了勾股定理之后，針對(duì)圖11中所示的“由直角三角形三邊向外側(cè)作多邊形，它們的面積S1，S2，S3之間的關(guān)系問題”進(jìn)行了以下探究.

類比探究：

（1）如圖12，在Rt△ABC中，BC為斜邊，分別以AB，AC，BC為斜邊向外側(cè)作Rt△ABD，Rt△ACE，Rt△BCF，若∠1 = ∠2 = ∠3，則面積S1，S2，S3之間的關(guān)系式為____________;

推廣驗(yàn)證：

（2）如圖13，在Rt△ABC中，BC為斜邊，分別以AB，AC，BC為邊向外側(cè)作任意△ABD，△ACE，△BCF，滿足∠1 = ∠2 = ∠3，∠D = ∠E = ∠F，則（1）中所得關(guān)系式是否仍然成立？若成立，試證明你的結(jié)論;若不成立，試說明理由;

拓展應(yīng)用：

（3）如圖14，在五邊形ABCDE中，∠A = ∠E = ∠C = 105°，∠ABC = 90°，AB =[23，] DE = 2，點(diǎn)P在AE上，∠ABP = 30°，PE[=2，] 求五邊形ABCDE的面積.

【評(píng)析】此題體現(xiàn)了探究問題的整體過程. 首先，在原有方法基礎(chǔ)上進(jìn)行類比;其次，在類比的基礎(chǔ)上做進(jìn)一步的推廣;最后，運(yùn)用推廣的方法與結(jié)論探究在新背景下問題解決的策略與方法. 綜觀整個(gè)過程，要求依序增加，需要學(xué)生抓住所用方法的本質(zhì)，通過觀察、歸納、類比、拓展等數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，綜合運(yùn)用勾股定理、相似三角形等知識(shí)進(jìn)行探究、推理、計(jì)算，蘊(yùn)含著用數(shù)學(xué)模式化功能發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論和方法的策略，有利于考查學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng). 此題設(shè)計(jì)巧妙，有繼承也有創(chuàng)新，體現(xiàn)了回歸教材和考查不同能力層次學(xué)生的特點(diǎn)，有較好的區(qū)分度. 在第（1）小題和第（2）小題的圖形中，學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)△ADB ∽ △BFC ∽ △AEC，從而利用相似三角形的性質(zhì)與勾股定理得到S1 + S2 = S3;而在第（3）小題的求解過程中，需要觀察條件與圖形特征，從剛剛獲得的新結(jié)論、新方法中得到啟示，添加相應(yīng)的輔助線，轉(zhuǎn)化成第（2）小題的形式. 學(xué)生解決此題，經(jīng)歷了“探究—?dú)w納—應(yīng)用”的過程，這個(gè)過程中既有合情推理，又有演繹推理，具有較高的思維含量.

以這樣的方式呈現(xiàn)試題，促進(jìn)了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行深度和廣度的思考，類似試題還有貴州安順卷第25題、廣東深圳卷第22題、山東煙臺(tái)卷第24題、江蘇淮安卷第26題等.

3. 借助現(xiàn)實(shí)情境，關(guān)注數(shù)學(xué)應(yīng)用

在試題載體的選擇上，2020年全國各地中考數(shù)學(xué)試題比較關(guān)注數(shù)學(xué)與社會(huì)、生活、經(jīng)濟(jì)、科技等方面的關(guān)聯(lián)，以恰當(dāng)?shù)默F(xiàn)實(shí)情境為背景，運(yùn)用數(shù)學(xué)思考，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，在一定程度上彰顯了數(shù)學(xué)的育人價(jià)值，體現(xiàn)了《標(biāo)準(zhǔn)》中所描述的“認(rèn)識(shí)到現(xiàn)實(shí)生活中蘊(yùn)涵著大量與數(shù)量和圖形有關(guān)的問題，這些問題可以抽象成數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)的方法予以解決”.

（1）融合生活特色的數(shù)學(xué)應(yīng)用.

例10 （浙江·金華卷）圖15（1）是一個(gè)閉合時(shí)的夾子，圖15（2）是該夾子的主視示意圖，夾子兩邊為[AC，BD]（點(diǎn)[A]與點(diǎn)[B]重合），點(diǎn)[O]是夾子轉(zhuǎn)軸位置，[OE⊥AC]于點(diǎn)[E，] [OF⊥BD]于點(diǎn)[F，] [OE=OF=1 cm，AC=][BD=6 cm，] [CE=DF，] [CE∶AE=2∶3.] 按圖示方式用手指按夾子，夾子兩邊繞點(diǎn)[O]轉(zhuǎn)動(dòng).

（1）當(dāng)[E，F(xiàn)]兩點(diǎn)的距離最大時(shí)，以點(diǎn)[A，B，C，][D]為頂點(diǎn)的四邊形的周長是____________.

（2）當(dāng)夾子的開口最大（即點(diǎn)[C]與點(diǎn)[D]重合）時(shí)，[A，B]兩點(diǎn)的距離為____________.

【評(píng)析】此題以生活中的資源為素材，關(guān)注數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，增加了試題的趣味性與現(xiàn)實(shí)意義. 如何將這個(gè)實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，需要學(xué)生具備較強(qiáng)的抽象能力和知識(shí)遷移能力. 當(dāng)點(diǎn)[E，F(xiàn)]的距離最大時(shí)，[E，O，][F]三點(diǎn)共線，此時(shí)四邊形[ABCD]是矩形，求出矩形的長和寬即可解決問題. 當(dāng)夾子的開口最大時(shí)，點(diǎn)C與點(diǎn)D重合，EF∥AB，根據(jù)相似形中的基本事實(shí)“兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例”，得到[EFAB=CECB=25，] 由此可解決該問題. 在問題解決的過程中，需要學(xué)生根據(jù)試題要求確定旋轉(zhuǎn)過程中的某一狀態(tài)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問題. 此題將觀察、猜想、推理、計(jì)算融為一體，體現(xiàn)了“問題情境—數(shù)學(xué)模型—合理推斷”的數(shù)學(xué)應(yīng)用模式.

像這樣融合生活特色的試題出現(xiàn)在了多地的中考數(shù)學(xué)試卷中. 例如，浙江湖州卷第19題計(jì)算“熨燙臺(tái)支撐桿的長度”，浙江紹興卷第21題計(jì)算“遮陽棚的棚寬”，湖南常德卷第22題計(jì)算“自動(dòng)卸貨汽車卸貨時(shí)的支撐頂桿”，江蘇鹽城卷第26題計(jì)算“木門圖案周長”，江西卷第20題計(jì)算“手機(jī)平板支架中支撐板轉(zhuǎn)動(dòng)的角度”，浙江寧波卷第19題計(jì)算“三角車位鎖底盒長”等.

（2）融合地域特色的數(shù)學(xué)應(yīng)用.

例11 （湖南·婁底卷）如圖16的實(shí)景圖，由華菱漣鋼集團(tuán)捐建的早元街人行天橋于2019年12月18日動(dòng)工，2020年2月28日竣工，彰顯了國企的擔(dān)當(dāng)精神，展現(xiàn)了高效的“婁底速度”. 該橋的引橋兩端各由2個(gè)斜面和一個(gè)水平面構(gòu)成，如圖16的示意圖所示：引橋一側(cè)的橋墩頂端點(diǎn)E距地面5 m，從點(diǎn)E處測(cè)得點(diǎn)D俯角為30°，斜面ED長為4 m，水平面DC長為2 m，斜面BC的坡度為1∶4，求處于同一水平面上引橋底部AB的長.（結(jié)果精確到0.1 m，[2≈]1.41，[3≈]1.73.）

【評(píng)析】此題以當(dāng)?shù)氐孽r活素材——人行天橋引橋底部計(jì)算的問題為情境，具有一定的地方特色，當(dāng)?shù)貙W(xué)生讀題時(shí)具有親切感，能夠促進(jìn)學(xué)生在日常的學(xué)習(xí)生活中關(guān)注家鄉(xiāng)的發(fā)展，進(jìn)而引發(fā)家國情懷和責(zé)任擔(dān)當(dāng)?shù)木? 學(xué)生需要利用問題中所提供的信息，從實(shí)際問題抽象出幾何模型，根據(jù)俯角、坡度的意義，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形和矩形，從而運(yùn)用三角函數(shù)的知識(shí)與矩形的性質(zhì)解決問題. 此題考查了空間觀念和分析圖形、問題轉(zhuǎn)化的能力.

全國各地中考數(shù)學(xué)試卷中出現(xiàn)融合地方特色的數(shù)學(xué)題還有很多. 例如，河南卷第18題“測(cè)量登封市境內(nèi)元代觀星臺(tái)的高度”，四川成都卷第18題“測(cè)量當(dāng)?shù)仉娨曀母叨取?，湖北黃岡卷第22題計(jì)算“遺愛湖公園臨摹亭與遺愛亭之間的距離”，湖南岳陽卷第22題計(jì)算“市中心城區(qū)污水管道的長度”，湖南張家界卷第21題計(jì)算“航拍無人機(jī)拍攝南天一柱美景時(shí)的安全距離”等. 這些試題情境創(chuàng)設(shè)新穎，再加上素材熟悉，可以激發(fā)學(xué)生解答問題的興趣.

（3）融合時(shí)代特色的數(shù)學(xué)應(yīng)用.

例12 （貴州·遵義卷）某校為檢測(cè)師生體溫，在校門安裝了某型號(hào)測(cè)溫門. 如圖17為該測(cè)溫門截面示意圖，已知測(cè)溫門[AD]的頂部[A]處距地面高為[2.2 m，]為了解自己的有效測(cè)溫區(qū)間，身高[1.6 m]的小聰做了如下實(shí)驗(yàn)：當(dāng)他在地面[N]處時(shí)測(cè)溫門開始顯示額頭溫度，此時(shí)在額頭[B]處測(cè)得[A]的仰角為[18°;]在地面[M]處時(shí)，測(cè)溫門停止顯示額頭溫度，此時(shí)在額頭[C]處測(cè)得[A]的仰角為[60°]. 求小聰在地面的有效測(cè)溫區(qū)間[MN]的長度.（額頭到地面的距離以身高計(jì)，計(jì)算精確到[0.1 m，sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32.）]

【評(píng)析】此題以疫情期間需要測(cè)量體溫的真實(shí)情境為背景進(jìn)行命制，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注社會(huì)熱點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生的社會(huì)責(zé)任感. 在問題解決的過程中，需要學(xué)生借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形，很好地實(shí)現(xiàn)了獲取和解讀信息、調(diào)動(dòng)和運(yùn)用知識(shí)的關(guān)鍵學(xué)科素養(yǎng).

類似地，湖南郴州卷第21題將“為我國載人空間站研制的長征五號(hào)運(yùn)載火箭”入題，貴州安順卷第21題對(duì)脫貧攻堅(jiān)工作中建造的房屋予以了關(guān)注. 這些試題都較好地挖掘了問題情境的教育功能，體現(xiàn)了時(shí)代性.

4. 滲透數(shù)學(xué)史，關(guān)注數(shù)學(xué)文化

數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分，它是推動(dòng)人類文明前進(jìn)的重要力量. 在部分地區(qū)的中考數(shù)學(xué)試卷中，恰如其分地融入了數(shù)學(xué)史，關(guān)注了數(shù)學(xué)與思維、美學(xué)、社會(huì)等方面的聯(lián)系，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的人文精神.

例13 （湖南·衡陽卷）下面的圖形是用數(shù)學(xué)家名字命名的，其中既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（ ?）.

【評(píng)析】此題主要考查了中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念. 軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可完全重合;中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180°后圖形完全重合. 此題以數(shù)學(xué)史上幾個(gè)著名的圖形為背景，不僅呈現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象、簡潔的結(jié)構(gòu)美，更體現(xiàn)了數(shù)學(xué)是用人類高級(jí)的語言形式傳播思想的文化特征，激發(fā)了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的熱愛.

類似地，江蘇揚(yáng)州卷第14題選取的背景是古代運(yùn)用于建筑、器物、繪畫、標(biāo)識(shí)等方面的作品，浙江紹興卷第3題選取的是七巧板拼搭出來的圖案，這些優(yōu)美的圖案增加了試卷的可讀性和親和性.

例14 （上海卷）《九章算術(shù)》中記載了一種測(cè)量井深的方法. 如圖18所示，在井口[B]處立一根垂直于井口的木桿[BD]，從木桿的頂端[D]觀察井水水岸[C]，視線[DC]與井口的直徑[AB]交于點(diǎn)[E，] 如果測(cè)得[AB=1.6]米，[BD=1]米，[BE=0.2]米，那么井深[AC]為____________.

【評(píng)析】此題通過[ACBD=AEBE]便可求得[AC]的長，既考查了學(xué)生對(duì)相似三角形的應(yīng)用能力，又能讓學(xué)生受到古代數(shù)學(xué)文化的熏陶.《九章算術(shù)》是我國古代經(jīng)典的數(shù)學(xué)著作，包含有很多精彩的案例，蘊(yùn)涵了濃厚的數(shù)學(xué)思想. 中國古代的數(shù)學(xué)在很多領(lǐng)域居于世界領(lǐng)先地位，將中國古代數(shù)學(xué)素材融入到中考試題中，不僅考查了學(xué)生的學(xué)科知識(shí)，還體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的人文價(jià)值，培養(yǎng)了學(xué)生的民族認(rèn)同感.

類似地，四川瀘州卷第11題以“古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯提出的分線段‘中末比’”為背景，自然而然地在比例線段的相關(guān)知識(shí)中融入了數(shù)學(xué)史. 這類試題在潛移默化中滲透了學(xué)科德育，對(duì)初中數(shù)學(xué)教學(xué)有一定的導(dǎo)向作用.

三、教學(xué)啟示

1. 聚焦核心知識(shí)

“圖形的變化”的核心知識(shí)在初中階段的作用是毋庸置疑的，教學(xué)中要關(guān)注學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、定理的深刻理解. 以核心知識(shí)為中心，加強(qiáng)與相關(guān)知識(shí)的多維聯(lián)系，注重引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所學(xué)核心知識(shí)與方法的理解和感悟，同時(shí)通過建立知識(shí)之間的聯(lián)系，使學(xué)生能夠連點(diǎn)成線地將核心知識(shí)相互融合，理解知識(shí)內(nèi)部的關(guān)系，幫助學(xué)生建立良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

2. 夯實(shí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

在教學(xué)中，教師需要理清學(xué)生在學(xué)習(xí)“圖形的變化”這部分內(nèi)容和應(yīng)用這部分知識(shí)解決問題的過程中必須掌握的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，所必需獲得的基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn). 從學(xué)力結(jié)構(gòu)的“冰山模型”看，對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的掌握是顯性學(xué)力，基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的獲得則是隱性學(xué)力. 為此，教師要研究《標(biāo)準(zhǔn)》和初中數(shù)學(xué)教材，以此明確教學(xué)目標(biāo)與內(nèi)容，處理好顯性學(xué)力與隱性學(xué)力之間的關(guān)系. 同時(shí)，要研究練習(xí)的有效性，明確練習(xí)的目的，注重通性、通法，淡化技巧. 根據(jù)學(xué)情有針對(duì)性地選擇和組織習(xí)題，讓不同層次的學(xué)生“練”中有“思”、“思”中有“得”，尊重不同層次學(xué)生的認(rèn)知水平差異.

3. 提升思維能力

教師要研究課堂教學(xué)中對(duì)學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)并掌握數(shù)學(xué)思考的基本方法，如歸納、類比、轉(zhuǎn)化、猜想與論證等，突出對(duì)邏輯推理、空間觀念等數(shù)學(xué)素養(yǎng)的掌握;指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)閱讀、數(shù)學(xué)交流與表達(dá)，會(huì)根據(jù)已有事實(shí)進(jìn)行數(shù)學(xué)推測(cè)和解釋，養(yǎng)成“推理有據(jù)”的習(xí)慣;指導(dǎo)學(xué)生反思自己的思考過程，提煉、概括思維過程與思想方法. 而問題是思維培養(yǎng)的利器，學(xué)生學(xué)習(xí)“圖形的變化”的過程實(shí)際上就是一個(gè)發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的思維過程. 在日常教學(xué)中，教師要研究數(shù)學(xué)課堂中關(guān)鍵問題的設(shè)計(jì)，讓學(xué)生有實(shí)質(zhì)性的數(shù)學(xué)思考，使學(xué)生的思維處于積極狀態(tài)，以提升學(xué)生的思維能力.

四、模擬試題

1. 如圖19，在△ABC與△ADE中，∠BAC = ∠D，要使△ABC與△ADE相似，還需滿足下列條件中的（ ? ?）.

（A）[ACAD=ABAE] （B）[ACAD=BCDE]

（C）[ACAD=ABDE] （D）[ACAD=BCAE]

參考答案：C.

2. 如圖20，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，其中點(diǎn)B，C分別與點(diǎn)D，E對(duì)應(yīng)，如果B，D，C三點(diǎn)恰好在同一直線上，那么下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ? ?）.

（A）∠ACB = ∠AED （B）∠BAD = ∠CAE

（C）∠ADE = ∠ACE （D）∠DAC = ∠CDE

參考答案：D.

3. 如圖21，小麗晚上站在路燈AB下的C處時(shí)，測(cè)得影子CD的長為1米;繼續(xù)往前走3米到達(dá)E處時(shí)，測(cè)得影子EF的長為2米. 已知小麗的身高是1.5米，那么路燈AB的高度是（ ? ?）.

（A）7.5米 ? （B）6米

（C）5米 （D）3米

參考答案：B.

4. 如圖22，從圖形甲到圖形乙的運(yùn)動(dòng)過程可以是（ ? ?）.

（A）先翻折，再向右平移4格;

（B）先逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，再向右平移4格;

（C）先逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，再向右平移1格;

（D）先順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，再向右平移4格.

參考答案：A.

5. 如圖23，在長方形ABCD中，AB = 8 cm，BC = 10 cm，現(xiàn)將長方形ABCD向右平移[x]cm，再向下平移[x+1]cm后到長方形[A′B′C′D′]的位置，長方形ABCD與長方形[A′B′C′D′]重疊部分的面積是S，那么S與[x]的函數(shù)關(guān)系式是____________ .

參考答案：[S=x2-17x+70].

6 平行于梯形兩底的直線截梯形的兩腰，當(dāng)兩交點(diǎn)之間的線段長度是兩底的比例中項(xiàng)時(shí)，我們稱這條線段是梯形的“比例中線”. 在梯形ABCD中，AD∥BC，AD = 4，BC = 9，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，CD上，且EF是梯形ABCD的“比例中線”，那么[DFFC]的值為 ____________?.

參考答案：[23].

7. 如圖24，有一菱形紙片ABCD，∠A = 60°，將該菱形紙片折疊，使點(diǎn)A恰好與CD的中點(diǎn)E重合，折痕為FG，點(diǎn)F，G分別在邊AB，AD上，連接EF，那么cos ∠EFB的值為____________ .

參考答案：[17].

8. 在正方形[ABCD]中，點(diǎn)O是正方形ABCD的中心，[E]是對(duì)角線[AC]上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)[E]與點(diǎn)[A，C]不重合），線段DE繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F落在射線BA上，射線DF與射線CA交于點(diǎn)G.

（1）如圖25，當(dāng)點(diǎn)E在線段CO上時(shí)，

① 寫出EC與BF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

② 求證：[AB · DG=EF · CG.]

（2）當(dāng)AB = 2AF時(shí)，求∠DGE的正切值.

參考答案：（1）①[BF=2EC];② 略.

（2）[13]或3.

參考文獻(xiàn)：

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[3]章建躍. 章建躍數(shù)學(xué)教育隨想錄[M]. 浙江：浙江教育出版社，2017.