王友偉

摘? 要：借助閱兵隊(duì)列訓(xùn)練視頻創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生以數(shù)學(xué)眼光看問(wèn)題. 先從具體等差數(shù)列入手，再通過(guò)方法遷移，得到一般的公式. 從數(shù)的角度進(jìn)行公式的推導(dǎo)，了解倒序相加法;從形的角度對(duì)公式進(jìn)行直觀解釋，對(duì)公式進(jìn)行深入理解. 經(jīng)歷提出問(wèn)題、探尋研究方法、擬定研究方案、實(shí)施探究等過(guò)程，落實(shí)“四基”、提高“四能”，發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：等差數(shù)列;前[n]項(xiàng)和;數(shù)學(xué)本質(zhì);研究方法;核心素養(yǎng)

一、教學(xué)內(nèi)容解析

數(shù)列是函數(shù)的延續(xù)和發(fā)展. 在蘇教版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)5（必修）》（以下統(tǒng)稱“教材”）中，通過(guò)列舉生活和數(shù)學(xué)中的大量實(shí)例，給出數(shù)列的實(shí)際背景，讓學(xué)生了解數(shù)列的概念，理解數(shù)列是一類特殊的函數(shù).“等差數(shù)列的前n項(xiàng)和”是繼數(shù)列、等差數(shù)列的概念之后學(xué)習(xí)的內(nèi)容，其研究方法能夠?yàn)楹罄m(xù)研究等比數(shù)列及其他數(shù)列提供幫助. 本節(jié)課的主要內(nèi)容是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)，而對(duì)于公式的變形及應(yīng)用，以及通過(guò)其他途徑來(lái)求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，將在后續(xù)的學(xué)習(xí)中進(jìn)行研究.

二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置

本節(jié)課教學(xué)目標(biāo)設(shè)置如下.

（1）經(jīng)歷探索等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的過(guò)程，掌握從特殊到一般的研究方法，體會(huì)轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論等數(shù)學(xué)思想，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

（2）了解倒序相加法，理解等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，能夠合理運(yùn)用公式解決問(wèn)題，提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，提升數(shù)學(xué)建模、邏輯推理等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

三、學(xué)生學(xué)情分析

本節(jié)課的授課對(duì)象是高二年級(jí)的學(xué)生，學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)課內(nèi)容之前，已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)列、等差數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式等基礎(chǔ)知識(shí)，了解了等差數(shù)列中的幾個(gè)量[a1，n，d，an]之間的關(guān)系.學(xué)生具有一定的歸納、推理能力及良好的思維習(xí)慣，部分學(xué)生擁有對(duì)特殊的等差數(shù)列求和的經(jīng)驗(yàn). 這些都為本節(jié)課的教學(xué)提供了知識(shí)遷移和方法類比的可能. 但學(xué)生仍未理解數(shù)列求和方法的本質(zhì). 因此，本節(jié)課的教學(xué)重在“說(shuō)理”，即讓學(xué)生從感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí).基于學(xué)情，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)，教學(xué)難點(diǎn)為探索求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的方法.

四、教學(xué)策略分析

本節(jié)課采用以下教學(xué)策略.

（1）創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象.

（2）引導(dǎo)學(xué)生從具體的等差數(shù)列入手，通過(guò)方法遷移，探究等差數(shù)列的前[n]項(xiàng)和公式.

（3）從數(shù)的角度進(jìn)行公式的推導(dǎo)，從形的角度對(duì)公式進(jìn)行直觀解釋.

（4）引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比、總結(jié)推導(dǎo)方法的特點(diǎn)，體會(huì)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美.

五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

1. 引導(dǎo)回顧，梳理知識(shí)

之前學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)列的概念，研究了一類特殊的數(shù)列——等差數(shù)列. 借助樹(shù)圖，回顧了已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的有關(guān)等差數(shù)列的知識(shí).

【設(shè)計(jì)意圖】以樹(shù)圖的形式幫助學(xué)生回顧知識(shí)、梳理框架，體會(huì)研究數(shù)學(xué)的一般方法——將未知轉(zhuǎn)化為已知進(jìn)行研究. 鞏固理解an，a1，n，d四個(gè)量中“知三求一”，為接下來(lái)分析問(wèn)題、探究方法做好鋪墊.

2. 創(chuàng)設(shè)情境，提出問(wèn)題

教師播放閱兵訓(xùn)練視頻，提示學(xué)生觀看視頻時(shí)思考能否用數(shù)列的觀點(diǎn)研究視頻中的畫面.

【設(shè)計(jì)意圖】借助閱兵隊(duì)列訓(xùn)練視頻，在激發(fā)學(xué)生愛(ài)國(guó)熱情的同時(shí)，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，從數(shù)學(xué)角度思考問(wèn)題.

視頻中的隊(duì)列變化畫面如圖1所示，對(duì)應(yīng)抽象成點(diǎn)陣，如圖2所示.

問(wèn)題1：對(duì)于如圖2所示的點(diǎn)陣，你能用數(shù)列的觀點(diǎn)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生嘗試尋找隊(duì)列的人數(shù)與數(shù)列的關(guān)系，內(nèi)化等差數(shù)列中的首項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)、公差等概念，引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量抽象出來(lái)并用符號(hào)進(jìn)行表示，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，以及從實(shí)際問(wèn)題中進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象的能力. 學(xué)生選擇從最簡(jiǎn)單的等差數(shù)列——常數(shù)列入手，通過(guò)對(duì)常數(shù)列求和的體驗(yàn)，為接下來(lái)研究“公差不為0的等差數(shù)列求和時(shí)，將不同數(shù)相加轉(zhuǎn)化為相同數(shù)相加”做好鋪墊.

將圖1（3）的左下區(qū)域抽象為點(diǎn)陣，如圖3所示，以此為例進(jìn)行研究.

問(wèn)題2：對(duì)于圖3，你能用數(shù)列的觀點(diǎn)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】繼續(xù)內(nèi)化等差數(shù)列中的首項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)、公差等概念，在學(xué)生提出問(wèn)題后順勢(shì)而為，引出本節(jié)課的課題——等差數(shù)列的前n項(xiàng)和. 同時(shí)，通過(guò)“提出問(wèn)題—明確方向—分析問(wèn)題”這一系列的操作，讓學(xué)生感受到研究等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的必要性.

3. 組織活動(dòng)，探索方法

問(wèn)題3：設(shè)如圖3所示的點(diǎn)陣區(qū)域的總?cè)藬?shù)為S21，如何求這個(gè)區(qū)域的總?cè)藬?shù)？

嘗試用多種方法，學(xué)生分組討論，5分鐘后小組匯報(bào).

S21 = 3 + 4 + … + 22 + 23.

預(yù)設(shè)方案1：從數(shù)的角度研究.

預(yù)設(shè)方案3：從形的角度研究，如圖4所示.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)問(wèn)題2引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的研究過(guò)程. 通過(guò)組織活動(dòng)，讓學(xué)生自主探究、小組討論，形成方案后匯報(bào)交流. 部分學(xué)生有過(guò)解決此類問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，容易想到配對(duì)，但是對(duì)配對(duì)的真正目的不是很理解，所以這個(gè)問(wèn)題中設(shè)定了奇數(shù)項(xiàng)的等差數(shù)列求和，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)配對(duì)時(shí)可能出現(xiàn)不是整數(shù)對(duì)的情形，也為接下來(lái)的奇偶項(xiàng)的討論和倒序相加法做好鋪墊.

預(yù)設(shè)方案4：從形的角度研究，切掉左邊的兩列，如圖5所示.

預(yù)設(shè)方案5：從形的角度研究，切掉左邊的三列，如圖6所示.

【設(shè)計(jì)意圖】圖6左半部分對(duì)應(yīng)一個(gè)常數(shù)列，學(xué)生直觀感知到相同的數(shù)相加可以轉(zhuǎn)化為乘法，呼應(yīng)了前面的配對(duì)思想.在學(xué)生已經(jīng)掌握了“補(bǔ)”的方法后再提出這一問(wèn)題，比較自然地引出了“割”的方法，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)從幾何角度給出不同的解釋，也為推導(dǎo)等差數(shù)列前[n]項(xiàng)和公式的第二種形式進(jìn)行鋪墊.

這一環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)，讓學(xué)生充分感受到可以從數(shù)和形兩個(gè)角度對(duì)等差數(shù)列進(jìn)行求和，經(jīng)歷自主推導(dǎo)公式的過(guò)程，感受配對(duì)的實(shí)質(zhì)是將等差數(shù)列轉(zhuǎn)化為常數(shù)列，從而將加法轉(zhuǎn)化為乘法，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化.

4. 引導(dǎo)歸納，建立模型

問(wèn)題4：如何推導(dǎo)出等差數(shù)列[an]的前n項(xiàng)和？

追問(wèn)1：對(duì)于一個(gè)等差數(shù)列[an]，要已知哪些量才可以求出前n項(xiàng)和？

【設(shè)計(jì)意圖】復(fù)習(xí)時(shí)已經(jīng)明確an，a1，n，d四個(gè)量可以“知三求一”，追問(wèn)1可以繼續(xù)內(nèi)化這個(gè)知識(shí)點(diǎn). 當(dāng)學(xué)生遇到“已知an，d，n”的情形，經(jīng)過(guò)引導(dǎo)和討論，學(xué)生能夠從多個(gè)角度理解其等同于“已知a1，d，n”的情形，使接下來(lái)的研究途徑更加合理.

【設(shè)計(jì)意圖】研究具體數(shù)列的求和后，學(xué)生將探究過(guò)程中使用的方法遷移到一般的等差數(shù)列[an]中，繼續(xù)內(nèi)化倒序相加法，并利用追問(wèn)讓學(xué)生進(jìn)一步理解“為什么要配對(duì)”“為什么能配對(duì)”，并闡述原因.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)使用“割”的方法，從形的角度給出了公式的直觀解釋，也讓學(xué)生感受到等差數(shù)列的求和問(wèn)題其實(shí)可以轉(zhuǎn)化為“求[1+2+…+n]的值”的問(wèn)題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的思想.

追問(wèn)5：你能發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)公式之間的關(guān)系嗎？

追問(wèn)6：對(duì)比上述推導(dǎo)Sn的方法，你覺(jué)得哪種方法更簡(jiǎn)潔？

【設(shè)計(jì)意圖】已知a1，d，n推導(dǎo)Sn本質(zhì)上就是“求[1+2+…+n]的值”. 從而引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)最簡(jiǎn)潔的還是倒序相加法.經(jīng)過(guò)這樣的比較分析，讓學(xué)生理解等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是形式化的表達(dá)，推導(dǎo)公式的目的是應(yīng)用的簡(jiǎn)潔，追求簡(jiǎn)潔是數(shù)學(xué)研究的基本原則.

5. 數(shù)學(xué)運(yùn)用，鞏固深化

【設(shè)計(jì)意圖】例1是對(duì)等差數(shù)列的前[n]項(xiàng)和公式的直接應(yīng)用. 通過(guò)對(duì)例題的解決，使學(xué)生鞏固對(duì)公式的認(rèn)識(shí)，會(huì)根據(jù)題設(shè)條件合理地選用公式求值. 同時(shí)，明白選擇公式的原則是追求簡(jiǎn)潔.

重點(diǎn)講解圖9中的深色區(qū)域，即圖10（從不同的角度看，得到不同的等差數(shù)列）.

【設(shè)計(jì)意圖】例2與問(wèn)題1呼應(yīng)，回歸實(shí)際問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度分析問(wèn)題，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí).

練習(xí)：在等差數(shù)列[an]中，設(shè)[an]的前n項(xiàng)和為Sn.

（1）已知a1 = 3，a50 = 101，求S50;

（2）已知a1 = 3，d =[12]，求S10.

【設(shè)計(jì)意圖】再次鞏固對(duì)公式的理解. 公式的應(yīng)用其實(shí)就是從一般到特殊的過(guò)程.

6. 總結(jié)反思，升華理解

回顧與反思：這節(jié)課你有哪些收獲？學(xué)到了哪些知識(shí)？體會(huì)了哪些思想？

【設(shè)計(jì)意圖】本節(jié)課采用開(kāi)放式課堂小結(jié)，引導(dǎo)學(xué)生回顧學(xué)習(xí)過(guò)程，從知識(shí)、方法、思想幾個(gè)角度進(jìn)行總結(jié)，積累經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)學(xué)生反思升華、感悟思想、提升素養(yǎng).

7. 分層作業(yè)，因材施教

（1）鞏固運(yùn)用：教材第47頁(yè)習(xí)題第1 ～ 5題.

（2）拓展思考：若等差數(shù)列的通項(xiàng)公式[an=fn]是關(guān)于n的函數(shù)，你能從函數(shù)角度研究其前n項(xiàng)和Sn嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】分層布置作業(yè)，面向全體學(xué)生，繼續(xù)深化等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用. 同時(shí)，為學(xué)生提供運(yùn)用函數(shù)觀點(diǎn)研究Sn的平臺(tái).

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國(guó)教育部制定. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.