摘 要：小學(xué)數(shù)學(xué)教材編排內(nèi)容是螺旋上升的，同一主題的知識在不同的學(xué)習(xí)階段會有不同的學(xué)習(xí)要求，也會有很多零散的習(xí)題分布在各個階段，但是這些習(xí)題之間存在某些關(guān)聯(lián)。在復(fù)習(xí)階段，教師應(yīng)整合這些相關(guān)的碎片練習(xí)，讓學(xué)生在復(fù)習(xí)課中學(xué)得更有深度。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);復(fù)習(xí)課;知識整合

中圖分類號：G427? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻標識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號：2095-624X（2021）32-0079-02

引? ?言

小學(xué)數(shù)學(xué)教材中沒有明確的概念界定，基本是讓學(xué)生通過比較直觀的感知理解相關(guān)概念。一些知識點是在學(xué)生逐漸深入學(xué)習(xí)的過程中不斷完善的。所以，在復(fù)習(xí)時，教師要勾連起這些不同時段的碎片知識，使學(xué)生在腦海中完善概念體系，從而達到深度理解的目的[1]。下文以六年級總復(fù)習(xí)“立體圖形的體積”一課為例，談?wù)勅绾握纤槠毩?xí)，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)更有深度。

一、關(guān)聯(lián)碎片，讓學(xué)生深度理解數(shù)學(xué)概念

在進行“立體圖形的體積”總復(fù)習(xí)時，在課程伊始，筆者設(shè)計了一個環(huán)節(jié)，讓學(xué)生更形象地理解立體圖形、平面圖像、點和線之間的關(guān)聯(lián)，并把這些碎片內(nèi)容關(guān)聯(lián)起來，從而使學(xué)生更深層次地理解立體圖形。設(shè)計環(huán)節(jié)如下。

課件出示一些“點”，教師：當我們把這些平面上的點用線圍起來就構(gòu)成了一些平面圖形。（課件出示相應(yīng)的長方形、正方形和圓）當我們把這些平面圖形疊加起來，并賦予一定的高度，就構(gòu)成了立體圖形。（課件相應(yīng)展示形成的長方體、正方體和圓柱體）立體圖形有了一定的高度，并占據(jù)了一定的空間，這就是立體圖形的體積。

這樣設(shè)計的意圖是讓學(xué)生連接起平面圖形與立體圖形之間的變化關(guān)系，深刻認識到平面圖形沒有高度，而立體圖形是有高度的，正因為立體圖形有了一定的高度，所以它要占據(jù)一定的空間，這就是立體圖形的體積。到了更高的學(xué)段，學(xué)生會進一步明白，這其實是二維和三維的關(guān)系。在小學(xué)總復(fù)習(xí)階段，教師通過連接學(xué)生以往零碎的知識碎片，設(shè)計了“連點成線、連線成面、由面到體”的環(huán)節(jié)，使學(xué)生更深層次地理解了為什么平面圖形研究的是面積，而立體圖形要進一步研究體積。

二、重組碎片，讓學(xué)生深度體驗數(shù)學(xué)方法

在“立體圖形的體積總復(fù)習(xí)”第二環(huán)節(jié)，筆者設(shè)計的是回顧各立體圖形體積的推導(dǎo)過程。這些立體圖形的體積公式并不是在一節(jié)課內(nèi)同時學(xué)習(xí)的，筆者在總復(fù)習(xí)時把這些圖形整合起來，讓學(xué)生進行整體回顧，體驗數(shù)學(xué)探究的一些基本方法。例如，筆者帶領(lǐng)學(xué)生用數(shù)格法探究長方體和正方體的體積計算方法，學(xué)生數(shù)了長方體所包含的1立方厘米的小正方體的個數(shù)，發(fā)現(xiàn)長方體的體積就等于長、寬、高的乘積;正方體是特殊的長方體，它的長、寬和高都是相等的，所以正方體的體積就等于棱長×棱長×棱長，即棱長的立方。圓柱的體積計算采用轉(zhuǎn)化法，即把圓柱轉(zhuǎn)化為長方體進行探究，長方體的底面積就是圓柱的底面積，長方體的高就是圓柱的高，所以圓柱的體積也等于底面積×高。圓錐的體積和與它等底等高的圓柱體積相關(guān)聯(lián)，所以筆者引導(dǎo)學(xué)生用實驗法進行推導(dǎo)，使其發(fā)現(xiàn)圓錐的體積等于與它等底等高圓柱體積的三分之一。教師把這些立體圖形體積的推導(dǎo)過程重組在一起，讓學(xué)生進行整體回顧復(fù)習(xí)，不僅讓學(xué)生復(fù)習(xí)了各立體圖形的體積計算公式，還讓學(xué)生再一次深度學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)中常用的探究方法。

三、對比碎片，讓學(xué)生深度揭示數(shù)學(xué)規(guī)律

例如，圓柱體積教學(xué)中的一些習(xí)題都和長方形有關(guān)，即把一張長方形紙旋轉(zhuǎn)形成圓柱，或者利用卷一卷的方法形成圓柱。筆者在復(fù)習(xí)課中把這些練習(xí)組合在一起，讓學(xué)生進行集中對比，從而更深度地探究，總結(jié)其中的規(guī)律。

活動一：一張長方形紙可以通過哪些旋轉(zhuǎn)方式形成圓柱？

這個習(xí)題包含了以前的兩道練習(xí)，分別是：（1）繞著長方形的長邊或?qū)掃呅D(zhuǎn)，形成兩個不同的圓柱，哪一個體積更大？（2）分別以長方形的兩條對稱軸為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)形成兩個不同的圓柱，哪一個體積更大？現(xiàn)在，筆者把這兩個練習(xí)重組在一起，設(shè)計的意圖是讓學(xué)生感悟一張長方形紙可以通過不同的旋轉(zhuǎn)方式形成圓柱，接著讓學(xué)生探究兩組圓柱中哪一個體積更大？

方法1：假設(shè)法，假設(shè)原始長方形的長是6厘米，寬是4厘米，然后具體算出各圓柱的體積，進行比較。

第一組兩個圓柱的體積分別是：π×62×4=144π（cm3）和π×42×6=96π（cm3）;

第二組兩個圓柱的體積分別是：π×32×4=36π（cm3）和π×22×6=24π（cm3）。

由此發(fā)現(xiàn)，兩組圓柱中，都是以寬邊作為高的那個圓柱的體積要大一些。

方法2：直接算式對比法

如繞邊一組兩個圓柱的體積分別是：

圓柱的體積=π×長2×寬=π×長×長×寬

圓柱的體積=π×寬2×長=π×寬×寬×長

這樣對比可發(fā)現(xiàn)，以長方形長邊為底面半徑，繞著寬邊旋轉(zhuǎn)形成的圓柱體積更大。

同理，繞著對稱軸旋轉(zhuǎn)形成的兩個圓柱的體積分別是：

由此，學(xué)生也能很清楚地看出，以長方形長邊的一半為半徑，寬邊為高的圓柱體積較大。學(xué)生在對規(guī)律有了初步感知后，繼續(xù)研究用長方形紙卷出的圓柱，哪一個體積更大？

活動二：把一張長方形紙，卷成兩個大小不同的圓柱（見圖1），分別算出體積。怎樣卷圓柱的體積比較大？

在上述探究的基礎(chǔ)上，筆者引導(dǎo)學(xué)生先利用剛才的經(jīng)驗猜測哪一個圓柱的體積更大？有些學(xué)生猜“矮胖”的那個圓柱體積更大。然后，筆者引導(dǎo)學(xué)生選擇剛才的兩種方法之一進行進一步探究。

方法1：假設(shè)法，如假設(shè)長方形長邊31.4厘米，寬邊18.84厘米，計算對比。

第一個圓柱的體積是：r=31.4÷3.14÷2=5cm，V=π×52×18.84=471π（cm3）;

第二個圓柱的體積是：r=18.84÷3.14÷2=3cm，V=π×32×31.4=282.6π（cm3）;

方法2：直接算式對比法。

以上兩種方法再次證明，用同一張長方形的紙卷圓柱，以長邊作為圓柱底面周長、寬邊為高卷出的圓柱體積比以寬邊作為圓柱底面周長、長邊為高卷出的圓柱體積更大，即“矮胖”的圓柱體積更大。

通過以上兩個活動，筆者整合碎片習(xí)題，幫助學(xué)生深度發(fā)掘一些數(shù)學(xué)規(guī)律，加深了學(xué)生對幾何圖形知識的理解，有助于培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力。

四、遷移碎片，讓學(xué)生深度感悟數(shù)學(xué)思想

在教學(xué)“立體圖形的體積總復(fù)習(xí)”一課中，筆者在問題解決環(huán)節(jié)做了以下設(shè)計。筆者先出示題組一中的第（1）題：一個棱長4分米的正方體水箱裝滿水，如果把這箱水倒入另一個長8分米、寬2.5分米的長方體水箱中，水深是多少分米？引導(dǎo)學(xué)生抓住題中的等量關(guān)系：正方體水箱中水的體積等于長方體水箱中水的體積，由此使學(xué)生應(yīng)用“方程”思想解決答這一道題。這樣通過抓住題目中的等量關(guān)系，用“方程”思想解答問題的練習(xí)，在小學(xué)數(shù)學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)，因此在復(fù)習(xí)課時，筆者希望通過這一小題的拋磚引玉，讓學(xué)生把這樣的碎片練習(xí)進行正遷移，學(xué)會解答這一類習(xí)題。所以，筆者設(shè)計了第（2）題：一個裝滿小麥的圓柱形糧囤，底面積是3.5平方米，高是1.8米。如果把這些小麥堆成高是1.5米的圓錐形麥堆，占地面積是多少平方米？要求學(xué)生運用同樣的數(shù)學(xué)思想來解決這個問題。

除了“方程”思想，在學(xué)習(xí)圖形知識中，“轉(zhuǎn)化”思想同樣重要。所以，筆者設(shè)計了第二組練習(xí)。筆者出示第（3）題：一個酒瓶深30厘米，底面內(nèi)直徑是10厘米，瓶里的酒深15厘米，把酒瓶塞緊后使其瓶口向下倒立，這時酒深25厘米（見圖2），酒瓶的容積是多少毫升？

筆者引導(dǎo)學(xué)生理解“酒瓶的容積=空氣的體積+瓶內(nèi)現(xiàn)有酒的體積”。酒的體積是一個圓柱的體積，而空氣的體積是不規(guī)則的，但是可以轉(zhuǎn)化為酒瓶倒置過后的空氣體積，列式：π×（10÷2）2×15 + π×（10÷2）2×（30-25） =π×52×（15+5） =500π（mL）

接著，筆者設(shè)計了第（4）題：將一個底面直徑是6厘米、高10厘米的圓錐形鉛錘完全浸沒在水中（見圖3），圓柱形玻璃杯的底面直徑是20厘米，當鉛錘從水中取出后，杯里的水會下降多少厘米？這一題同樣啟發(fā)學(xué)生運用轉(zhuǎn)化思想來進行解題，把玻璃杯里下降的水的體積轉(zhuǎn)化為圓錐的體積。列式：圓錐的體積 ×π×（6÷2）2×10 = 30π（cm3）;下降的水的高度 30π÷[π×（10÷2）2]=1.2（cm）。

結(jié)? ? 語

學(xué)生在不同的學(xué)段做得一些看似不同的練習(xí)，可以通過復(fù)習(xí)課有效整合成題組，在整合練習(xí)中重溫數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想，探究數(shù)學(xué)的規(guī)律、奧秘。這樣的復(fù)習(xí)課可以讓學(xué)生更有深度地進行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，同時對教師教學(xué)提出了更高的要求。

[參考文獻]

[1]紀何.小學(xué)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的指導(dǎo)策略[J].新課程，2021（26）：213.

作者簡介：王鳴荷（1979.8—），女，江蘇蘇州人，一級教師。