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        以形助數(shù) 以數(shù)解形

        2021-08-29 20:29:49楊州
        求知導刊 2021年32期
        關鍵詞:數(shù)學運算能力數(shù)形結合思想數(shù)學素養(yǎng)

        摘 要:數(shù)學學科的嚴密有序性、數(shù)學知識的內(nèi)在邏輯性、數(shù)學方法的多樣性是提升學生數(shù)學素養(yǎng)極其重要的因素。數(shù)學運算是數(shù)學素養(yǎng)的重要組成部分,也是學生學習數(shù)學、解決數(shù)學問題的一項基本技能。在數(shù)學課堂教學中,教師可以引導學生通過構建直觀的圖形來展現(xiàn)數(shù)學運算的演練和推導過程,以此簡化運算過程,提高解題效率。本文以湘教版數(shù)學教科書中的實際內(nèi)容為例,探討如何以形助數(shù)、以數(shù)解形,進而培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)。

        關鍵詞:數(shù)學素養(yǎng);數(shù)學運算能力;數(shù)形結合思想

        中圖分類號:G427? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻標識碼:A? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號:2095-624X(2021)32-0075-02

        引 言

        數(shù)學素養(yǎng)包括數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析、直觀想象六個方面,數(shù)學運算是數(shù)學素養(yǎng)的重要組成部分,也是初中生學習數(shù)學、解決數(shù)學問題的一項基本技能。數(shù)與形在一定條件下可以相互轉化,直觀的圖形有助于學生解決數(shù)學問題,直觀的圖形也需要數(shù)的支撐和表達。在數(shù)學教學過程中,為培養(yǎng)學生的數(shù)學運算能力,教師們常通過直觀的幾何圖形來展現(xiàn)數(shù)學運算的演練和推導過程,使學生理解代數(shù)與幾何的聯(lián)系,探究其內(nèi)在的運算規(guī)律和本質(zhì)特征。本文以湘教版義務教育數(shù)學教科書中的內(nèi)容為例,探討如何以形助數(shù)、以形解數(shù),解決初中數(shù)學運算的演練、推導和拓展運用等問題,以此培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)。

        一、整式乘法

        整式乘法是初中數(shù)學的基礎,也是學生基礎運算能力的體現(xiàn),特別是對多項式與多項式的乘法,更是學習過程中的易錯點。因此,教師在課堂教學中應建構幾何模型,搭建起數(shù)與圖形的橋梁,使解題過程更加直觀,以此若幫助學生理解運算的來龍去脈,掌握正確的運算方法,發(fā)展運算能力。

        例1.計算:(a+b)(m+n)

        通過圖形可以直觀地看到運算規(guī)律,從而歸納得到:多項式與多項式相乘,先用一個多項式的每一項分別乘以另一個多項式的每一項,再把所得的積相加。

        【拓展運用】

        二、乘法公式

        乘法公式在初中數(shù)學的計算過程中同樣有著舉足輕重的地位,無論整式乘法還是因式分解,都在反復地運用乘法公式進行運算。為避免機械重復,教師通常會發(fā)現(xiàn)一些運算的特點和規(guī)律,并將這些特點和規(guī)律總結提煉成計算公式,然后運用公式進行計算,使得數(shù)學的解題過程更簡單清晰,更不易出錯。

        例2.如圖3-1所示:將一個邊長為a的大正方形剪去一個邊長為b的小正方形,并將剩余部分沿虛線剪開,再將這兩個長方形拼成如圖3-2所示,從這兩個圖形來看,我們能建立怎樣的聯(lián)系?

        分析:圖3-1中陰影部分的面積為:;圖3-2中陰影部分的面積為:(a+b)(a-b);

        由此可得:a2-b2(a+b)(a-b),我們稱之為平方差公式。

        例3.如圖4所示的正方形。

        正方形的面積為(a+b)2,也是如圖所分割成的4個部分面積、、、之和。

        因此:,我們稱之為完全平方公式。

        【拓展運用】

        計算:(a+b+c)2

        分析:構建如圖5所示的正方形。由此可得正方形的面積為(a+b+c)2,也相當于按照如圖所分割成的9個部分面積之和。

        ∴(a+b+c)2 =a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc。

        學生經(jīng)歷了乘法公式的演練、推導過程,深刻地理解了公式的本質(zhì)特征,并能熟練地運用乘法公式靈活、正確地進行計算。

        三、勾股定理

        勾股定理是一個基本的幾何定理,它是指直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學定理,是用代數(shù)思想解決幾何問題的重要工具,也是數(shù)形結合的紐帶。勾股定理在西方被稱為畢達哥拉斯定理,相傳是古希臘數(shù)學家兼哲學家畢達哥拉斯于公元前550年發(fā)現(xiàn)的,其實,根據(jù)我國最早的一部數(shù)學著作《周髀算經(jīng)》記載,早在公元前11世紀,我國數(shù)學家商高就發(fā)現(xiàn)并應用了這一數(shù)學定理,并提出了“勾三、股四、弦五”,比畢達哥拉斯早了至少500年。

        下面主要來探討兩種常用的證明方法,以加深學生對勾股定理的理解,讓學生進一步體驗數(shù)形結合思想,形成基本的運算能力和抽象思維能力[1]。

        例4.圖6-1是2002年在北京召開的第二十四屆國際數(shù)學家大會會徽,圖6-2是應用了三國時期吳國的數(shù)學家趙爽在證明勾股定理時創(chuàng)制的“勾股圓方圖”。圖6-1是由四個全等的直角三角形再加上一個小正方形組成的,每個直角三角形的兩條直角邊分別為a、b,斜邊為c,則中間的小正方形邊長為b-a,由此可得出下關系:

        這是我國古代數(shù)學家最早對勾股定理的證明,方法別具匠心,極富創(chuàng)新意識,既嚴密又直觀,體現(xiàn)了“形數(shù)統(tǒng)一”的重要思想方法,在世界數(shù)學史上具有重要貢獻。

        例5.圖7是由2個直角邊分別為a、b,斜邊為c的直角三角形和1個直角邊為c的等腰直角三角形構成的直角梯形。(美國總統(tǒng)加菲爾德利用面積法來證明,即利用3個三角形的面積與1個梯形的面積相等的關系來證明。)

        勾股定理揭示了直角三角形的三邊關系,在直角三角形中,若已知直角三角形的任意兩邊長,我們就可以求出第三條邊的長。

        【拓展運用】

        在四邊形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13, 求四邊形ABCD的面積.

        分析:作輔助線AC,使得四邊形ABCD變成兩個三角形,即△ABC,△ACD(見圖8)。要想求出四邊形ABCD的面積,可以轉化為求△ABC和△ACD的面積之和。

        解:連接AC

        結? ?語

        利用以形助數(shù)、以數(shù)解形的方法來解決初中數(shù)學運算的演練、推導和拓展運用,是數(shù)學學習過程中必要的解題策略。數(shù)與形在一定的條件下可以相互轉化,一些數(shù)學的運算問題往往隱藏著幾何文化背景,需要借助它所蘊藏的幾何圖形性質(zhì)和蘊含的文化故事,使復雜的數(shù)量關系變得更加直觀,運算變得更加簡便。因此,數(shù)形結合在初中數(shù)學中有重要地位,它不僅是一種重要的解題方法,更是一種重要的思維方法。

        [參考文獻]

        [1]俞求是.中國古代勾股定理發(fā)現(xiàn)過程的猜想和探究[J].中學數(shù)學雜志,2018(02):62-64.

        基金項目:本文系2020年貴州省教育科學規(guī)劃課題“核心素養(yǎng)下數(shù)形結合思想在初中數(shù)學解題中的應用研究”(課題編號:2020B079)的研究成果。

        作者簡介:楊州(1976.8—),男,貴州思南人,高級教師。

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