陸一烽

關(guān)鍵詞 課堂探究;數(shù)學(xué)文化;數(shù)學(xué)問(wèn)題;理性思維

中圖分類(lèi)號(hào) G633.6

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 A

文章編號(hào) 2095-5995（2021）12-0050-03

一、在課堂教學(xué)中融入數(shù)學(xué)文化的意義

作為教材的重要組成部分，數(shù)學(xué)文化是數(shù)學(xué)教學(xué)不可或缺的重要內(nèi)容。中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化，是一座取之不盡、用之不竭的寶藏，例如《九章算術(shù)》更相減損術(shù)、秦九韶算法、割圓術(shù)、楊輝三角、勾股定理、坐標(biāo)法與吳文俊的機(jī)器證明等，都蘊(yùn)含著深刻的價(jià)值觀念與文化精神追求?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》中指出：“數(shù)學(xué)文化是指數(shù)學(xué)的思想、精神、語(yǔ)言、方法、觀點(diǎn)，以及它們的形成和發(fā)展;還包括數(shù)學(xué)在人類(lèi)生活、科學(xué)技術(shù)、社會(huì)發(fā)展中的貢獻(xiàn)和意義，以及與數(shù)學(xué)相關(guān)的人文活動(dòng)。”新課程標(biāo)準(zhǔn)倡導(dǎo)數(shù)學(xué)文化應(yīng)融入課程內(nèi)容，并通過(guò)學(xué)業(yè)水平考試與高考命題來(lái)考查學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)文化的掌握情況。

實(shí)際上，在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中往往存在數(shù)學(xué)文化內(nèi)容“好看而沒(méi)有用”的現(xiàn)象。數(shù)學(xué)素養(yǎng)的核心是思維，要提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)本質(zhì)上就是發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。因此，高中數(shù)學(xué)教學(xué)真正融入數(shù)學(xué)文化要基于課堂探究，以發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力為前提;同時(shí)還需要讓學(xué)生在經(jīng)歷用數(shù)學(xué)看待問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程中形成數(shù)學(xué)意識(shí)和積極的情感、態(tài)度、價(jià)值觀。

二、在課堂教學(xué)中融入數(shù)學(xué)文化的實(shí)踐

（一）試題呈現(xiàn)

2021年無(wú)錫高三數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)卷第15題是一道以中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化為背景的填空題。試題如下：

我國(guó)南北朝時(shí)期的祖暅提出“冪勢(shì)既同，則積不容異”，即祖啦原理：夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總是相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等（如圖1）。在xOy平面上，將雙曲線的一支x²/4-y²=1（x>0）及其漸近線y=1/2x和直線V=0，y=2圍成的封閉圖形記為D，如圖2中陰影部分。記D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體為Ω，利用祖啦原理試求Ω的體積為_(kāi)______。

該題文化氣息濃郁，耐人尋味，對(duì)考查學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng)有著積極的意義。但從閱卷情況來(lái)看，該題的市均分非常低，不到1分。通過(guò)對(duì)學(xué)生的調(diào)查，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生解答該題時(shí)面臨的困難主要在于：雖然高一時(shí)了解過(guò)祖暅原理，題目中也有祖咂原理的描述，但是在解題時(shí)不知道該如何運(yùn)用。

（二）追根溯源

（三）課堂探究

既然教材留下了探究的空間，而學(xué)生又往往缺少自主探究的積極性，那么教師則應(yīng)該做好引路人和合作者。筆者認(rèn)為，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師的一個(gè)主要作用就是要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)探究。

1.提出問(wèn)題

在課堂教學(xué)時(shí)，教師要先明確探究的問(wèn)題。以新版蘇教版教材為例，“倒沙實(shí)驗(yàn)”表面上是讓學(xué)生驗(yàn)證球體積公式，其實(shí)質(zhì)到底是什么？在“倒沙實(shí)驗(yàn)”中，為什么要檢驗(yàn)半徑為R的半球體積等于底面半徑和高都為R的圓柱，挖去一個(gè)以上底面為底面、下底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐后的體積？這個(gè)想法到底是怎么出來(lái)的？怎樣用祖暅原理證明這兩個(gè)幾何體的體積相同？

2.分析問(wèn)題

師：祖咂原理的適用前提是什么？

生：是兩個(gè)等高的幾何體，并且這兩個(gè)幾何體在所有等高處的水平截面的面積相等。

師：我們想象這樣一個(gè)場(chǎng)景，遙遠(yuǎn)的古代，數(shù)學(xué)家正在冥思苦想球體積的計(jì)算方法，正是因?yàn)楣湃瞬恢狼蝮w積公式，所以只能探索新的計(jì)算思路。這一計(jì)算思路應(yīng)該建立在充分運(yùn)用祖咂原理的基礎(chǔ)上。

生：會(huì)不會(huì)想到構(gòu)造一個(gè)與半球這個(gè)幾何體等高并且任意水平截面積相等的一個(gè)幾何體？

師：你的想象力太豐富了！大家繼續(xù)想一想這是怎樣的一個(gè)幾何體呢？

生：這個(gè)幾何體應(yīng)該越往下，水平截面面積越大，越往上水平截面面積越小，直至0。

生：那這個(gè)幾何體是不是就是那個(gè)幾何體！那個(gè)底面半徑和高都為R的圓柱，再挖去一個(gè)以上底面為底面、下底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐后的幾何體呢？

師：怎樣可以嚴(yán)格地證明這兩個(gè)幾何體的體積相同呢？我們來(lái)試試吧。用一個(gè)水平截面去截這兩個(gè)幾何體，假設(shè)水平截面到底面的高為h，0≤h≤R，我們先來(lái)看這個(gè)水平截面半徑為R的半球所得的截面是什么圖形？

生：應(yīng)該是一個(gè)圓面。

師：它的半徑是多少呢？

師：太棒了！那么水平截面去截一個(gè)底面半徑和高都為R的圓柱再挖去一個(gè)以上底面為底面、下底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐后的幾何體，所得的截面是什么呢？

生：還是圓面。

三、教學(xué)啟示與反思

為什么一道本不難的題目得分如此之低？筆者嘗試從心理學(xué)視角加以分析。從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué)角度分析，APOS的四個(gè)學(xué)習(xí)層次是合理的（如圖3所示）。

“活動(dòng)”階段是學(xué)生理解概念的一個(gè)必要條件，豐富的數(shù)學(xué)文化背景是實(shí)施數(shù)學(xué)活動(dòng)的良好載體。如祖咂原理中，學(xué)生通過(guò)取一摞書(shū)堆放在桌面上，輕推一下，發(fā)現(xiàn)這個(gè)幾何體的形狀發(fā)生改變，高度沒(méi)有發(fā)生改變，所以能直觀感受到體積也沒(méi)有發(fā)生改變。在“倒沙實(shí)驗(yàn)”中，學(xué)生至少知道了半徑為R的半球體積等于底面半徑和高都為R的圓柱，挖去一個(gè)以上底面為底面、下底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐后的體積。但是活動(dòng)所得的經(jīng)驗(yàn)很多基于直觀，并不深刻。“程序”階段是學(xué)生對(duì)活動(dòng)的思考，例如為什么這摞書(shū)的體積沒(méi)有改變？在教材的“倒沙實(shí)驗(yàn)”中，為什么會(huì)構(gòu)造這樣一個(gè)特殊的幾何體，來(lái)證明它的體積和半球的體積相等？這些都是學(xué)生對(duì)活動(dòng)進(jìn)行反思后，經(jīng)歷思維的內(nèi)化后才能抽象出來(lái)的問(wèn)題?！皩?duì)象”階段指通過(guò)前面的抽象認(rèn)識(shí)到了概念的本質(zhì)，如祖咂原理的探究中，學(xué)生終于認(rèn)識(shí)到因?yàn)閮蓚€(gè)幾何體在任意一個(gè)水平面的截面積相等，再加上它們的高相同，所以它們的體積才相同，這時(shí)祖咂原理在腦海里轉(zhuǎn)化為一個(gè)具體的對(duì)象。所有經(jīng)歷的這些學(xué)習(xí)活動(dòng)、程序、對(duì)象，最終和其他概念、規(guī)則、經(jīng)驗(yàn)等在頭腦中形成“圖式”。心理學(xué)認(rèn)為，以上過(guò)程一般不能逾越。這也從心理學(xué)上解釋了為什么要重視數(shù)學(xué)探究？因?yàn)閷W(xué)生經(jīng)過(guò)自己真正探究、理解過(guò)后的原理、概念、定理才能真正形成“圖式”且被靈活運(yùn)用。

因此，教師應(yīng)在課堂中真正融入數(shù)學(xué)文化，通過(guò)數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，有意識(shí)地挖掘教材中的數(shù)學(xué)文化。對(duì)于學(xué)生在自主研究時(shí)有困難的部分內(nèi)容，師生可以引導(dǎo)學(xué)生共同探究、積極思考、厘清脈絡(luò)，這既有利于激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，也有利于學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)知識(shí)，提升學(xué)生的科學(xué)精神。對(duì)于教學(xué)重難點(diǎn)，尤其是重要的數(shù)學(xué)概念、定理、方法，教師要通過(guò)數(shù)學(xué)探究等活動(dòng)，拓展學(xué)生數(shù)學(xué)的思維活動(dòng)，豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，幫助學(xué)生在生成概念、發(fā)現(xiàn)定理、探求證明上有所收獲。在探究過(guò)程中，教師要以數(shù)學(xué)問(wèn)題為核心，以分析問(wèn)題為主線，以問(wèn)題的解決為目標(biāo)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)的思維思考世界、用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界。

責(zé)任編輯：劉源