唐登超

【摘要】《雞兔同籠》是一個經(jīng)典的小學數(shù)學課例。《雞兔同籠》情景有趣，解題方法多，符合小學生的認知特點。從國家到地方，大大小小的小學數(shù)學教材基本都設(shè)置了這個教學內(nèi)容，不同教材的側(cè)重點也不盡相同。一線教師通過研讀教材、文本重構(gòu)和教學實踐，可以加深對數(shù)學學科知識的理解，提升教學設(shè)計能力，最大限度地實現(xiàn)小學數(shù)學課堂的深度學習。

【關(guān)鍵詞】小學數(shù)學;教材整合;深度學習;列表法;畫圖法

《小學數(shù)學新課程標準》提出：人人都能獲得良好的數(shù)學教育，不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展。鑒于小學數(shù)學教學具有探究性、問題性等特點，尤為適合采用深度學習教學理念，以便學生在深度學習中自主學習。因此，數(shù)學教師要加強深度學習的教學研究，探索出有益的教學要點和教學策略，借深度學習優(yōu)化小學數(shù)學課堂教學效果。

《雞兔同籠》一課，通常安排在四年級或者五年級。使用北師大教材的教師，大多慣用的做法是，新授課上，先教教材中的列表法，然后在練習課上補充教材以外的假設(shè)法或者抬腿法。大部分學生喜歡的方法是假設(shè)法或抬腿法，列表法太麻煩，遠不及假設(shè)法和抬腿法巧妙。問題是，感覺很妙，就意味著真的學會了嗎？如此一節(jié)思考性足、趣味性濃的數(shù)學課，留給學生的學習體驗卻遠遠未達預(yù)期。在六年級的復習課上，面對“雞兔同籠”問題，學生常常脫口而出，“假設(shè)全是雞……”但接下來的解題思路卻無法展開。這就說明，深度學習并沒有真正實現(xiàn)。

如何規(guī)劃學習路徑，怎樣才能實現(xiàn)這節(jié)課的深度學習呢？

一、教材對比，深化教學理解

蘇教版的《雞兔同籠》以練習題的方式呈現(xiàn)，內(nèi)容設(shè)置在《解決問題的策略》這一單元中。練習題的解題思路是畫圖法和列表法。其中，畫圖法有具體的推理路徑，假設(shè)法采用的是折中假設(shè)。學生根據(jù)推理路徑和提示信息，展開思路，解決問題。

人教版的《雞兔同籠》以課堂教學的主要問題情景呈現(xiàn)，依次設(shè)計了列表法、假設(shè)法和抬腿法。列表法采用半留白的形式，引導學生自行填表，解決問題;假設(shè)法則是直接給出完整解題思路，學生以“讀懂思路”的方式學習;抬腿法則是設(shè)置成教材的閱讀資料，給出完整的解題過程，并未對學生做具體要求。

北師大版的《雞兔同籠》課題為“嘗試與猜測”，也是以課堂教學的主要問題情景呈現(xiàn)，解題思路只有列表法。教材依次設(shè)計了逐一列表法，跳躍列表法和折中列表法。其中，逐一列表法出現(xiàn)兩次。跳躍列表法有比較清晰的思考過程;折中列表法則是呈現(xiàn)了完整的折中列表的表格。

通過不同版本的教材對比不難看出，不同版本的教材對“雞兔同籠”問題的重視程度不同，解決問題的策略也不同。更為重要的是，通過不同版本的教材對比，尋找不同的教學策略的聯(lián)系與區(qū)別，才有更加深入的思考。

二、教學重構(gòu)，優(yōu)化學習路徑

1.列表法要貫穿《雞兔同籠》教學的始終

（1）列表法是基于假設(shè)的需要

北師大版教材中，列表法的表格是直接完整呈現(xiàn)的。在實際教學中，筆者認為，學生有必要積累完整的列表經(jīng)驗，只有這樣，學生在面對類似的數(shù)學問題時才能夠順利地根據(jù)題目的數(shù)學信息列出表格，進行嘗試與猜測。

（2）列表法是探索規(guī)律的利器

以簡單問題“9頭，26腿”為例，學生經(jīng)過逐一地嘗試與驗證。不難發(fā)現(xiàn)，當雞有5只，兔有4只的時候，總腿數(shù)剛好為26條，從而就解決了這個問題。顯然，這種逐一列表法的思維含量是比較低的。筆者認為，它的價值更多在于無形中鞏固了“雞的腿數(shù)+兔的腿數(shù)=總腿數(shù)”的數(shù)量關(guān)系;溝通生活與數(shù)學信息，便于發(fā)現(xiàn)“雞增加1只，兔減少1只，腿的數(shù)量就會減少2只”等規(guī)律，為課堂教學的后半階段探究跳躍列表法和折中跳躍法埋下伏筆。

（3）列表法是數(shù)學思維的催化劑

教師順勢提出復雜問題——“20頭，54腿”，引導學生利用已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，研究更便捷的列表策略，解決問題。

課堂再現(xiàn)

生1：我覺得一個一個地列表太麻煩，所以，我兩個兩個地跳著列，跳到13個雞，7個兔的時候，剛好是54。

生2：我也覺得一個一個地列太麻煩，我還發(fā)現(xiàn)1只雞，19只兔子的時候，算出來一共78條腿，差太多了。所以，我五個五個地跳，發(fā)現(xiàn)差不多了，才一個一個地跳。

師：你跳到15只雞的時候，又往回跳，才找到13只雞的。你是怎么想的？

生2：因為15只雞，5只兔的話，總共腿數(shù)是50條。腿數(shù)少了，我要增加兔子的數(shù)量，減少雞的數(shù)量。

生4：我直接跳到中間，10只雞，10只兔，發(fā)現(xiàn)總共的腿數(shù)是60條，然后我再一個一個地跳。

生5：我發(fā)現(xiàn)跳來跳去，感覺跟估算有關(guān)！

師：怎么個估算法？

生5：就是先跳1次，看腿數(shù)差多少，大概就知道怎么跳了。

生5：如果腿數(shù)差很多，就多跳一些，腿數(shù)差不多，就少跳一些。

生6：我補充，就是看78減去幾個2，大概是54。

師：也就是說，如果知道78減去幾個2，是54，就不用跳那么辛苦了，是嗎？

生6：是的。

師：78減去幾個2，是54？

生：12個。

師：說明一個一個地跳的話，我們要跳幾次？

生：12次。

師：跳1次，雞的數(shù)量就加上1，跳12次，雞的數(shù)量就加上？

生：12，所以雞有13只，兔有7只。

……

在列表解決問題的過程中，因思維層次的不同，對“雞增加1只，兔減少1只，腿的數(shù)量就會減少2只”這個規(guī)律的理解也是不同的。表現(xiàn)在列表的策略上，有的學生還是會用逐一列表法，雖然麻煩，但最終也能解決問題;有的學生會嘗試簡單跳躍，比一般的同學速度快一些，竊喜不已;有的學生會嘗試居中假設(shè)，發(fā)現(xiàn)更快解決問題，驚喜不斷;還有的學生想到腿數(shù)與雞兔數(shù)量的關(guān)系，選擇估算來跳躍，或者直接計算來解決問題，豁然開朗。

筆者先呈現(xiàn)逐一列表法、跳躍列表法、折中列表法，通過學生的直接匯報交流，強化全體學生在列表過程中對腿數(shù)差距與雞兔數(shù)量的理解。然后，才有了部分學生想到跳躍法，可能與估算有關(guān)的精彩生成。在筆者的追問下，估算逐漸清晰為精確計算，學生的思維層層遞進，柳暗花明。這部分的教學路徑可以用以下圖示表達：

2.畫圖法是《雞兔同籠》數(shù)學思想的升華

課的最后，教師看似不經(jīng)意的提問，畫圖法閃亮登場，“一石激起千層浪”。

課堂再現(xiàn)：

師：通過列表，可以讓我們的嘗試和猜測變得容易。

師：除此之外，還有其它的方法嗎？

生1：還可以畫圖。

師：請你上來畫一畫。（圖略）

師：仔細看他畫圖的步驟，再看看列表的步驟，有什么發(fā)現(xiàn)？

生2：哦，我知道了，先畫20個圈圈，每個圈圈畫兩個腳，相當于列表中，假設(shè)全是雞。

生2：接下來的每一步都和一步列表法對應(yīng)的。

師：大家覺得呢？

生3：沒想到畫圖法，竟然和列表法有這么深的聯(lián)系。雞兔同籠問題的解法，實在太妙了。

師：是的，無論是列表，還是畫圖，都是為了便于我們進行嘗試與猜測。

北師大版本教材將《雞兔同籠》的教學內(nèi)容命名為“嘗試與猜測”，或許是為了凸顯在問題解決過程中的嘗試與猜測的數(shù)學思想方法。而教材中從一而終的列表法，也無可厚非。

列表分析問題、解決問題確實可以讓學生的思維更有序。但這么經(jīng)典的數(shù)學問題，如果學生只學到列表法，又總感覺欠缺了什么?？紤]到小學生的年齡特點，筆者在充分研讀各版本教材的基礎(chǔ)上，重構(gòu)了文本，定下了以列表為主，畫圖升華的教學策略。學生通過畫圖法與列表法的深層次對比，發(fā)現(xiàn)了兩者之間的聯(lián)系，領(lǐng)悟到畫圖法其實是另一種列表法。目的都是為了讓解決問題過程中的嘗試與猜測更直觀、更清晰。

參考文獻：

[1]教育部.義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）[S].北京師范大學出版社，2012：2.

[2]郭素玲.小學數(shù)學課堂深度學習教學策略[J].當代家庭教育，2020（29）：105-106.

責任編輯? 林百達