石巖

摘?要：創(chuàng)新思維對我們培養(yǎng)人，培養(yǎng)高素質(zhì)的人才非常重要。數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維的培養(yǎng)，要培養(yǎng)學(xué)生善于合情聯(lián)想，要培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，要培養(yǎng)學(xué)生有求異的精神，要培養(yǎng)學(xué)生運用逆向思維。文章以高中數(shù)學(xué)“一題多解”教學(xué)為例逐一闡釋以上培養(yǎng)數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維的方面。

關(guān)鍵詞：創(chuàng)新思維;一題多解;合情聯(lián)想;發(fā)散思維;求異精神;逆向思維

唯創(chuàng)新者進(jìn)，唯創(chuàng)新者強(qiáng)，唯創(chuàng)新者勝。創(chuàng)新能力和創(chuàng)新精神是發(fā)展的動力和要求，而創(chuàng)新能力和創(chuàng)新精神的源泉在于實踐基礎(chǔ)上的創(chuàng)新思維。對數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維進(jìn)行培養(yǎng)和訓(xùn)練，對于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平和數(shù)學(xué)認(rèn)知創(chuàng)新能力將產(chǎn)生積極的意義。培養(yǎng)數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維是提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維水平的需要，數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維的培養(yǎng)能有效地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力的提高必將讓其受益遠(yuǎn)不止于學(xué)業(yè)的成功。對于數(shù)學(xué)教師而言，培養(yǎng)數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維是教學(xué)不變的目標(biāo)，是改進(jìn)教學(xué)方法的方向，亦是提高教學(xué)效果的途徑之一。

在中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)中，長期以來我們把大部分精力放在傳授數(shù)學(xué)知識、訓(xùn)練解題能力和培養(yǎng)應(yīng)試能力上，忽視了學(xué)習(xí)推理和問題解決等技能的培養(yǎng)。數(shù)學(xué)教師在課堂上直接傳授著數(shù)千年累積下來的數(shù)學(xué)概念、定理和公式等，而對于這些概念、定理和公式是如何被發(fā)現(xiàn)和逐步完善的無暇顧及，仿佛這些概念、定理和公式本來就存在，學(xué)習(xí)者不可對它們有任何的質(zhì)疑。這樣的教學(xué)理念和方式，制約了學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維的發(fā)展。學(xué)生通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)或解決數(shù)學(xué)問題，只能獲得熟悉情景的數(shù)學(xué)問題的解決能力，無法自主分析和解決新情景下的數(shù)學(xué)問題，也許這正是高三復(fù)習(xí)階段學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)遇到瓶頸的癥結(jié)所在。

目前，創(chuàng)新思維的培養(yǎng)和訓(xùn)練愈來愈多地受到數(shù)學(xué)教育者的重視。在上海高中數(shù)學(xué)的新教材中，數(shù)學(xué)建模的教學(xué)要求被提高到前所未有的高度，就是在數(shù)學(xué)教學(xué)中強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維最好的例證。同時，在教學(xué)實踐中，教師和學(xué)生都認(rèn)識到：唯有有效思維、高效思維才能適應(yīng)科技進(jìn)步、時代發(fā)展的需要。事實上，很多有效的思維培養(yǎng)和訓(xùn)練的方法已經(jīng)廣泛地作為數(shù)學(xué)教學(xué)方法而被加以運用，比如中學(xué)生課題研究、小組合作學(xué)習(xí)等。在實際數(shù)學(xué)教學(xué)中，筆者認(rèn)為“一題多解”的教學(xué)方式有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維。

一、 數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維需要數(shù)學(xué)聯(lián)想

數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維需要發(fā)揮想象，可以從猜想開始，但不是胡亂的猜想。在高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，可以構(gòu)建和存儲很多數(shù)學(xué)小模型，讓我們聯(lián)想時有一定的方向，也易于產(chǎn)生合情有效的聯(lián)想。

案例1?已知a，b∈R，且a+b+1=0，求（a-2）²+（b-3）²的最小值。

思路1：所求式子中含有兩個未知數(shù)，所以我們會考慮把未知量個數(shù)減少，再通過二次函數(shù)得到最小值。

解法1：由題意得b=-a-1，把其代入算式得：（a-2）²+（-a-4）²=2a²+4a+20=2（a+1）²+18≥18，當(dāng)且僅當(dāng)a=-1，b=0時取得最小值18。

思路2：設(shè)所求為t，轉(zhuǎn)化所求式為關(guān)于a的一元二次方程，運用判別式得解。

解法2：由題意我們可以設(shè)t=（a-2）²+（b-3）²①，把b=-a-1代入①式得2a²+4a+20-t=0，從而有Δ=b²-4ac=16-8（20-t）≥0，解得t≥18，當(dāng)且僅當(dāng)a=-1，b=0時取等號，即a=-1，b=0時，（a-2）²+（b-3）²的最小值為18。

這兩種解題思路是相關(guān)聯(lián)的，都比較基礎(chǔ)，是學(xué)生比較容易想到的辦法。

思路3：由條件式可以聯(lián)想到直線，由結(jié)論式可以聯(lián)想到圓。

學(xué)好高中數(shù)學(xué)，必須有豐富的聯(lián)想能力，將面臨的問題通過聯(lián)想轉(zhuǎn)換為更為熟悉的數(shù)學(xué)對象，思路3就是將代數(shù)問題轉(zhuǎn)換為直線與圓的位置關(guān)系的幾何觀點來看待，這樣就把求解的問題簡單化了，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維的聯(lián)想特性。類似于思路3，我們還可以有

思路4：利用兩點間距離公式的幾何意義，轉(zhuǎn)化為定點到直線上動點間的距離的最小值就是點到直線的距離進(jìn)行求解。

數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維的聯(lián)想可以是從數(shù)到形或從形到數(shù)的聯(lián)想，可以是性質(zhì)相近，或圖像形狀相似的同類內(nèi)容聯(lián)想，還可以是對與之具有相反特點的問題作對比聯(lián)想。

二、 數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維具有發(fā)散性

在解決熟悉的問題時，數(shù)學(xué)思維定式會讓人覺得得心應(yīng)手，但是面臨的問題需要自主分析時，思維定式就會變成枷鎖，阻礙新思維。發(fā)散性的思維是數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維的核心。發(fā)散性思維可以給你解決問題時提供眾多的解決方案。

可見，但是由于x范圍的限制，這一解法不是最優(yōu)的方案，極易因沒有充分考慮x范圍而產(chǎn)生錯解。

思路2：利用萬能公式換元。

在解決數(shù)學(xué)問題時，可以變換問題的形式，對于數(shù)學(xué)的概念、法則、定理、公式、題目等從變換思維角度進(jìn)行發(fā)散式的推廣，這樣不僅可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力，而且能將知識深入，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力?！耙活}多解”能夠讓學(xué)生和老師的思維得以碰撞，從而產(chǎn)生新的思考，教師和學(xué)生在這一過程中都會有打破思維定式的機(jī)會。教師引導(dǎo)學(xué)生逐步深入分析問題本質(zhì)，將疑難點分解，對關(guān)鍵點進(jìn)行點撥，親身經(jīng)歷思考過程，哪怕是試誤的過程，都是難能可貴的。

三、 數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維鼓勵求異

數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維要求關(guān)注數(shù)學(xué)問題的差異性與特殊性，關(guān)注表述與本質(zhì)、形式與內(nèi)容的不一致性。對于已經(jīng)存在數(shù)學(xué)的定理和結(jié)論，需要用求異性的思維來思考和看待，以懷疑和批判的態(tài)度去對待，這樣才能讓數(shù)學(xué)認(rèn)知越來越趨于完整和全面。

案例3?已知實數(shù)x、y滿足x²+y²-xy=3，求x²+y2的取值范圍。