林偉燕
[摘? ?要]絕對(duì)值最值問題是需要學(xué)生結(jié)合絕對(duì)值的幾何意義和代數(shù)意義進(jìn)行運(yùn)算、推理、遷移的一種題型.縱觀近年來(lái)各省市的數(shù)學(xué)中考試題,絕對(duì)值最值問題日漸成為新亮點(diǎn).解絕對(duì)值問題要從絕對(duì)值的幾何意義與代數(shù)意義兩方面去尋找著力點(diǎn),重點(diǎn)是掌握求幾個(gè)絕對(duì)值之和的最小值的方法.文章立足絕對(duì)值的代數(shù)意義與幾何意義通過數(shù)形結(jié)合解決絕對(duì)值最值問題,以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維,提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力.
[關(guān)鍵詞]絕對(duì)值;最值問題;數(shù)形給合
[中圖分類號(hào)]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058(2021)20-0029-03
數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué).當(dāng)解決數(shù)學(xué)問題時(shí),通常會(huì)將抽象的數(shù)學(xué)問題與直觀的圖形結(jié)合起來(lái).縱觀近年來(lái)各省市的數(shù)學(xué)中考試題,絕對(duì)值最值問題日漸成為新亮點(diǎn).基于此,教師可引導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)形結(jié)合理解絕對(duì)值的代數(shù)意義和幾何意義,從而破解絕對(duì)值最值問題難點(diǎn),有效掌握數(shù)形結(jié)合、分類討論、建模、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.本文通過實(shí)例探究來(lái)分析數(shù)形結(jié)合與絕對(duì)值最值問題的整合及應(yīng)用.
絕對(duì)值之和求最小值分兩類:
1.未知數(shù)[x]系數(shù)為1,形如[x+2+x-1];
2.未知數(shù)[x]系數(shù)不為1,形如[x+2+2x-1].
探究一 未知數(shù)x系數(shù)為1 的情況
1.求[x+2+x+1]的最小值
解法一:利用絕對(duì)值的代數(shù)意義.
當(dāng)[x≥0]時(shí),[x=x];當(dāng)[x<0]時(shí),[x=-x].
當(dāng)[x<-2]時(shí),[x+2+x+1=-x-2-x-1=-2x-3>1](如圖1);
圖1
當(dāng)[-2≤x<-1]時(shí),[x+2+x+1=x+2-x-1=1](如圖2);
圖2
當(dāng)[x≥-1]時(shí),[x+2+x+1= x+2+x+1=2x+3≥1](如圖3);
圖3
∴[x+2+x+1≥1],即[x+2+x+1]的最小值為1.
解法二:[x+2+x+1]的幾何意義是在數(shù)軸上找一點(diǎn)x,使它到-2和-1的距離之和最小.
圖4
由圖4可知,根據(jù)“兩點(diǎn)之間,線段最短”,當(dāng)[-2≤x≤-1]時(shí),[x]到-2和-1的距離之和最短,即[x+2+x+1]有最小值,最小值為1.
2.求[x+2+x+1+x-1]的最小值
解法一:
當(dāng)[x<-2]時(shí),[x+2+x+1+x-1=-x-2-x-1-x+1=-3x-2>4](如圖5);
圖5
當(dāng)[-2≤x<-1]時(shí),[x+2+x+1+x-1=x+2-x-1-x+1=-x+2],∴[3<-x+2≤4](如圖6);
圖6
當(dāng)[-1≤x<1]時(shí),[x+2+x+1+x-1=x+2+x+1-x+1=x+4],∴[3≤x+4<5](如圖7);
圖7
當(dāng)[x≥1]時(shí),[x+2+x+1+x-1=x+2+x+1+x-1=3x+2≥5](如圖8);
圖8
∴[x+2+x+1+x-1≥3], 當(dāng)[x=-1]時(shí),有最小值3.
解法二:[x+2+x+1+x-1]的幾何意義是在數(shù)軸上找到一點(diǎn)[x],使它到-2,-1和1三個(gè)點(diǎn)的距離之和最小.
圖9
由圖9可知,根據(jù)“兩點(diǎn)之間,線段最短”,當(dāng)[-2≤x≤1]時(shí), [x]到-2和1的距離之和最短(即[x+2+x-1]有最小值3);當(dāng)[x=-1]時(shí),x到-1的距離最短(即[x+1]有最小值0),所以當(dāng)[x=-1]時(shí),[x+2+x+1+x-1]有最小值,最小值為3.
3.求[x+2+x+1+x-1+x-2]的最小值
解法一:利用絕對(duì)值的代數(shù)意義求解.
定義:使得[ax+b=0]的變量[x]的值為[ax+b]的 “零點(diǎn)”,即[ax+b]的零點(diǎn)為[-ba].
[x-2]的零點(diǎn)為2.
[x+1]的零點(diǎn)為-1.
[x+2]、[x+1]、[x-1]、[x-2]的零點(diǎn)分別是[-2],[-1],1,2,
(1)當(dāng)[x<-2]時(shí),[x+2+x+1+x-1+x-2=-x-2-x-1-x+1-x+2=-4x],
∵[x<-2],∴[-4x>8],即原式[>8].
(2)當(dāng)[-2≤x<-1]時(shí),[x+2+x+1+x-1+x-2=x+2-x-1-x+1-x+2=-2x+4].
∵[-2≤x<-1],∴[6<-2x+4≤8],即 [6<]原式[≤8].
(3)當(dāng)[-1≤x<1]時(shí),[x+2+x+1+x-1+x-2=x+2+x+1-x+1-x+2=6].
(4)當(dāng)[1≤x<2]時(shí),[x+2+x+1+x-1+x-2=x+2+x+1+x-1-x+2=2x+4].
∵[1≤x<2],∴[6≤2x+4<8],即[6<]原式[≤8].
(5)當(dāng)[2≤x]時(shí),[x+2+x+1+x-1+x-2=x+2+x+1+x-1+x-2=4x],
∵[2≤x],∴[8≤4x],即原式[≥8].
∴[x+2+x+1+x-1+x-2≥6],當(dāng)[-1≤x≤1]時(shí),有最小值6.
解法二:利用絕對(duì)值的幾何意義求解.
[x+2+x+1+x-1+x-2]的幾何意義是在數(shù)軸上找到一點(diǎn)[x],使它到-2,-1,1和2四個(gè)點(diǎn)的距離之和最小.
圖10
由圖10可知,根據(jù)“兩點(diǎn)之間,線段最短”,當(dāng)[-2≤x≤2]時(shí), [x]到-2和2的距離之和最短(即[x+2+x+2]有最小值4);當(dāng)[-1≤x≤1]時(shí),[x]到-1和1的距離之和最短(即[x+1+x-1]有最小值2),所以當(dāng)[-1≤x≤1]時(shí),[x+2+x+1+x-1+x-2]有最小值,最小值為6.
4.求[x+2+x+1+x-1+x-2+x-3]的最小值
解法一:[x+2]、[x+1]、[x-1]、[x-2]、[x-3]的零點(diǎn)分別為[-2], [-1], [1], [2], [3].
(1)當(dāng)[x<-2]時(shí),[x+2+x+1+x-1+x-2+x-3=-x-2-x-1-x+1-x+2-x+3=-5x+3],
∵[x<-2],∴[-5x+3>13],即原式[>13].
(2)當(dāng)[-2≤x<-1]時(shí),[x+2+x+1+x-1+x-2+x-3=x+2-x-1-x+1-x+2-x+3=-3x+7],
∵[-2≤x<-1],∴[10<-3x+7≤13],即[10<]原式[≤13].
(3)當(dāng)[-1≤x<1]時(shí),[x+2+x+1+x-1+x-2+x-3=x+2+x+1-x+1-x+2-x+3=-x+9],
∵[-1≤x<1],∴[8<-x+9≤10],即[8<]原式[≤10].
(4)當(dāng)[1≤x<2]時(shí),[x+2+x+1+x-1+x-2+x-3=x+2+x+1+x-1-x+2-x+3=x+7],
∵[1≤x<2],∴[8≤x+7<9],即[8≤]原式[<9].
(5)當(dāng)[2≤x<3]時(shí),[x+2+x+1+x-1+x-2+x-3=x+2+x+1+x-1+x-2-x+3=3x+3],
∵[2≤x<3],∴[9≤3x+3<12],即[9≤]原式[<12].
(6)當(dāng)[3≤x]時(shí),[x+2+x+1+x-1+x-2+x-3=x+2+x+1+x-1+x-2+x-3=5x-3],
∵[3≤x],∴[12≤5x-3],即原式[≥12].
∴[x+2+x+1+x-1+x-2+x-3≥8],當(dāng)[x=1]時(shí),有最小值8.
解法二:利用絕對(duì)值的幾何意義求解.
[x+2+x+1+x-1+x-2+x-3]的幾何意義是在數(shù)軸上找到一點(diǎn)[x],使它到-2,-1,1,2和3五個(gè)點(diǎn)的距離之和最小.
圖11
由圖11可知,根據(jù)“兩點(diǎn)之間,線段最短”,當(dāng)[-2≤x≤3]時(shí), [x]到-2和3的距離之和最短(即[x+2+x-3]有最小值5);當(dāng)[-1≤x≤2]時(shí),[x]到-1和2的距離之和最短(即[x+1+x-2]有最小值3);當(dāng)[x=1]時(shí),[x]到1的距離最短(即[x-1]有最小值0),所以當(dāng)[x=1]時(shí),[x+2+x+1+x-1+x-2+x-3]有最小值,最小值為8.
總結(jié)規(guī)律:
1.代數(shù)解法——零點(diǎn)分段法
思路:①找出絕對(duì)值的所有零點(diǎn),把數(shù)軸分成若干部分進(jìn)行分類討論.
②根據(jù)絕對(duì)值的代數(shù)意義,把所有的絕對(duì)值號(hào)去掉并化簡(jiǎn).
③根據(jù)所討論的x的范圍,求出化簡(jiǎn)后的式子的范圍.
④綜合所有情況,得到原式的范圍,從而得出其最值.
(注意:求零點(diǎn)值時(shí),必須先把零點(diǎn)值按大小排序)
2.幾何解法——數(shù)形結(jié)合法
[x-a1+x-a2+x-a3+…+x-an-1+x-an]的最小值([a1≤a2≤a3≤…≤an]).
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),[x=an+12]處取最小值,即在n個(gè)點(diǎn)的中心點(diǎn)處;
當(dāng)[n]為偶數(shù)時(shí),在區(qū)域[an2≤x≤an2+1]處取最小值,即數(shù)軸被n個(gè)點(diǎn)分成n+1段的中心區(qū)域.
口訣:奇數(shù)點(diǎn)取中間點(diǎn),偶數(shù)點(diǎn)取中間段.
(零點(diǎn)值按大小順序排序,處于最中間的零點(diǎn)值或區(qū)域即為代數(shù)式的值取最小值.)
探究二 未知數(shù)x系數(shù)不為1 的情況
遇到形如[x-2+2x-1+x+2] 的情況,又將如何求解?
對(duì)于代數(shù)式[b1x-a1+b2x-a2+b3x-a3+…+bn-1x-an-1+bnx-an]的最值問題,我們先將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為一般形式:[x-a1+x-a2+x-a3+…+x-an-1+x-an]([a1≤a2≤a3≤…≤an]),然后通過上述方法求解.
如[x-2+2x-1=x-2+2x-12=x-2+x-12+x-12=x-12+x-12+x-2],當(dāng)[x=12]時(shí),[x-2+2x-1]有最小值[32].
解絕對(duì)值的最值問題要從絕對(duì)值的幾何意義與代數(shù)意義兩方面去尋找著力點(diǎn),重點(diǎn)是掌握求幾個(gè)絕對(duì)值之和的最小值的方法.絕對(duì)值幾何意義的導(dǎo)出是難點(diǎn),在課堂上教師要留給學(xué)生充足的思考時(shí)間,以暴露學(xué)生的知識(shí)缺陷,通過問題引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想、猜想,拓寬學(xué)生的知識(shí)面,加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和發(fā)散性思維。教師在教學(xué)中要教給學(xué)生探索性方法,使學(xué)生了解知識(shí)的形成過程,并掌握更多的數(shù)學(xué)思想與方法,做到形數(shù)兼?zhèn)?、?shù)形結(jié)合.這樣,課堂上往往能取得意想不到的效果.
(責(zé)任編輯 黃春香)