謝風連
摘 要:高中數(shù)學概念課是高中數(shù)學教學的重要組成部分。通過對《獨立重復試驗與二項分布(第1課時)》概念課的設計和實施,筆者認為要在數(shù)學概念課中提升學生數(shù)學核心素養(yǎng),應該要“吃透”教材,充分研究教材、活用教材,在此基礎上精心設計課堂問題,重視教學評價,并關注學生在不同階段的發(fā)展。
關鍵詞:核心素養(yǎng);數(shù)學概念;概念教學
一、數(shù)學核心素養(yǎng)視角下,“吃透”教材是概念教學的基本點
教材是數(shù)學學習的重要教學資源。在教學中要充分研究教材、做到活用教材,讓學生感悟數(shù)學概念形成與運用的過程。
筆者在本節(jié)課中活用教材的引入,設計投硬幣游戲:同桌甲、乙兩人拋硬幣,甲連續(xù)拋5次硬幣,乙猜正面朝上或反面朝上,若乙猜對至少3次則乙勝,否則甲勝。讓學生嘗試從概率的角度判斷該游戲規(guī)則是否公平,每次乙猜對的概率是多少,每次猜測的結果是否相互獨立。讓學生親身體驗“相互獨立”含義,讓學生感受到學習數(shù)學的樂趣。
通過簡略介紹伯努利試驗的由來,讓學生了解數(shù)學發(fā)展史,感受概念是從實踐中來,又應用于生活實踐。通過整合課本的例題與課后習題,引導學生探索超幾何分布與二項分布的區(qū)別與聯(lián)系,引導學生辨析、深入理解不同的概率模型,提升邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)。
二、數(shù)學核心素養(yǎng)視角下,課堂問題的設計是落實概念教學的關鍵點
合適的問題對創(chuàng)設情境、理解概念、形成定理、實際應用都是十分重要的。問題能驅動情境開展,能引導學生思考,能保證課堂效率,引領探究與發(fā)現(xiàn)。
(一)設計問題指向明確
設計問題1:這些試驗有什么共同的特點?(1)投一枚質(zhì)地均勻的硬幣,共投了15次。(2)某人射擊一次,擊中目標的概率是0.8,共射擊10次。(3)盒子裝有大小相同的3個紅球和2個黑球,從中有放回地依次抽取4個球。
針對問題1,筆者設計了四個追問:(1)上面各個試驗的條件如何?(2)每次試驗的關系如何?(3)每次試驗有哪些可能的結果?(4)若事件A發(fā)生的概率為p,每次試驗的概率如何?
創(chuàng)設簡單的生活實例,以問題串的形式提示學生歸納試驗的共同特點,抽象形成獨立重復試驗的數(shù)學概念,在歸納過程中提升學生的數(shù)學抽象和數(shù)學建模素養(yǎng)。
(二)設計問題注重梯度
由于教材的思考題難度比較大,學生理解有所困難,筆者將教材的問題分解成由淺入深的小問題,降低思考難度,順應了學生的認知特征。
設計思考1:投擲一枚圖釘,針尖向上的概率為p,則針尖向下的概率為q=1-p,連續(xù)擲3次,求恰有1次針尖向上的概率。
針對思考1,筆者設計了三個追問:(1)連擲3次圖釘,恰有1次針尖向上共有幾種情況?(2)這幾種情況存在什么關系?它們的概率分別是多少?(3)投擲3次,恰有1次針尖向上的概率是多少?
設計思考2:投擲一枚圖釘,針尖向上的概率為p,則針尖向下的概率為q=1-p,連續(xù)擲3次,出現(xiàn)k(k=0,1,2,3)次針尖向上的概率是多少?設計思考3:投擲一枚圖釘,針尖向上的概率為p,則針尖向下的概率為q=1-p,連續(xù)擲n次,恰有k(k=0,1,2,3)次針尖向上的概率是多少?思考2是思考1的推廣,思考3是思考2的推廣。設計有梯度的問題,符合學生的認知規(guī)律,落實數(shù)學建模、邏輯推理素養(yǎng)的提升。
(三)設計問題注重關聯(lián)性
在實際問題背景并不明顯地反映模型的特征時,學生在選擇正確的概率模型中存在困惑,易產(chǎn)生畏懼心理。教學中,教師要重視概率模型的區(qū)分。
設計題組一:
1. 設諸葛亮解出題目的概率是0.9,三個臭皮匠各自獨立解出的概率都是0.6,皮匠中至少一人解出題目即勝出比賽,諸葛亮和臭皮匠團隊哪個勝出的可能性大?
2. 在某批含有4件次品的10件產(chǎn)品中,(1)有放回地依次抽取3件,計算恰好抽出2件次品的概率;(2)無放回地依次抽取3件,計算恰好抽出2件次品的概率。
3.(拓展延伸題)某批n件產(chǎn)品的次品率為2%,現(xiàn)從中任意地依次抽出3件進行檢驗,問:(1)當n=500,5000,50000時,分別以放回和不放回的方式抽取,恰好抽到1件次品的概率各是多少?(2)根據(jù)(1),你對超幾何分布與二項分布的關系有何認識?
先通過第1題加深學生對二項分布概率公式的理解,掌握解題的一般步驟,鞏固基礎知識。再通過第2題讓學生探究二項分布模型與超幾何分布模型的區(qū)別:在產(chǎn)品總數(shù)比較小時,有放回依次抽取是二項分布模型,無放回依次抽取是超幾何分布模型。以第2題為鋪墊,結合學生的認知水平設計第3題,引導學生深度思考二項分布模型與超幾何分布模型的聯(lián)系:在產(chǎn)品的總數(shù)很大時,無放回可近似看成有放回,超幾何分布可近似看成二項分布。通過這兩題的對比,循序漸進地引導學生理解超幾何分布與二項分布的區(qū)別與聯(lián)系,讓學生加深對新概念的理解,促進數(shù)學建模、邏輯推理核心素養(yǎng)的提升。
另外,筆者整合課本的例4、課后練習3和習題B組1設計了題組二:
1. 某射手每次射擊擊中目標的概率為[13],求這名射手在5次射擊中,(1)恰有3次擊中目標的概率;(2)至少有3次擊中目標的概率;(3)前2次未擊中目標,后3次擊中目標的概率;(4)第5次射擊完成時,恰好3次擊中目標的概率。
2. 甲、乙兩名選手參加羽毛球比賽,每局比賽甲勝的概率為0.6,不出現(xiàn)平局,規(guī)定5局3勝制(即5局內(nèi)誰先贏3局就算勝出并停止比賽),甲打完4局才勝的概率為(? )。
A. C32×0.63×0.4? ?B. C32×0.62×0.4
C. C43×0.63×0.4? ?D. C42×0.62×0.42
3.(拓展延伸)甲乙兩名選手參加羽毛球比賽,每局比賽甲勝的概率為0.6,不出現(xiàn)平局,規(guī)定5局3勝制。(1)求甲獲勝的概率;(2)若比賽還可以規(guī)定3局2勝制,試比較3局2勝制和5局3勝制,哪個對甲更有利?你對局制長短的設置有何認識?
第1題讓學生在相同的背景下,分析不同的概率模型,不僅能培養(yǎng)學生對概率模型的識別能力,還能通過概念來挖掘概率模型的深度,有利于掌握不同的概念之間的關聯(lián)。第2題為第3題做好鋪墊,讓學生在綜合性的、情境化的數(shù)學活動中協(xié)同運用數(shù)學核心素養(yǎng),靈活地解決問題,逐步學會用數(shù)學思維解決實際應用問題,同時提升數(shù)學建模、邏輯推理、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)。
三、數(shù)學核心素養(yǎng)視角下,教學評價是反饋概念教學的落腳點
數(shù)學課堂教學,應把數(shù)學學科核心素養(yǎng)的教學與評價作為顯性的主線來指導和貫穿數(shù)學教學過程。通過教學評價,診斷、改進學生的學習行為,進而改進教師的教學行為,促進學生數(shù)學核心素養(yǎng)的達成。
本節(jié)課中筆者主要采用:教師發(fā)起——學生回應——教師評價的模式。通過課堂提問、課堂觀察、課堂練習及課后作業(yè)的方式,及時了解學生的進展與學習目標之間的差距,診斷學生的問題及需要加強的地方,調(diào)整和改進自己的教學。在探究二項分布的概率公式時,通過課堂提問,讓學生展示想法,即時診斷部分學生對二項分布的概念理解存在困難,筆者及時將思考題分解成由淺入深的小問題,幫助學生循序漸進地思考與理解,最終達成教學目標。通過題組的練習,展示個別學生的解法,了解學生對二項分布模型的解題思路及方法的掌握情況,及時改進學生的學習方法與思維習慣。同時關注學生有沒有積極參與到教學活動中,以及學生是否“聽懂了”。另外,利用課后作業(yè)鞏固基礎知識及解決部分學生在課堂中仍存在的問題,為調(diào)整和改進第二課的教學做準備。通過教學評價,筆者診斷學生可以基本掌握新知與技能,落實數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)的提升。
四、數(shù)學核心素養(yǎng)視角下,關注學生的發(fā)展是概念教學的根本點
學生的知識掌握、數(shù)學理解、學習自信、獨立思考等是隨著學習過程而變化和發(fā)展的,只有通過觀察學生的學習行為和思維過程,才能發(fā)現(xiàn)學生思維活動的特征及教學中的問題,及時調(diào)整教學的行為,改進學生的學習方法和思維習慣。
在本節(jié)課的教學中,在游戲情境、實例探究和課堂小結等環(huán)節(jié),教師創(chuàng)設學生自由思考和交流、自我發(fā)現(xiàn)和自我發(fā)展的數(shù)學活動,關注和照顧學生興趣和能力的差異,尊重課堂的生成,加強師生之間和生生之間的交流,這極大地幫助了學生理解概念的形成和本質(zhì),對提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng)也極有意義。
參考文獻:
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