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        初中數(shù)學(xué)四邊形教學(xué)的解題策略分析

        2021-07-23 03:31:06福建省永春第五中學(xué)姚瑞安
        天津教育 2021年21期
        關(guān)鍵詞:題干四邊形梯形

        ■福建省永春第五中學(xué) 姚瑞安

        在初中幾何中,四邊形教學(xué)是非?;A(chǔ)且關(guān)鍵的內(nèi)容,掌握好四邊形的解題技巧,能夠為更高階段的幾何學(xué)習(xí)奠定扎實的基礎(chǔ),讓學(xué)生在學(xué)習(xí)立體幾何的時候更加輕松。筆者將結(jié)合具體的數(shù)學(xué)問題,探究數(shù)學(xué)解題策略在四邊形教學(xué)中的應(yīng)用方法。

        一、數(shù)形結(jié)合策略

        數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中常用的一種解題策略,經(jīng)過小學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),學(xué)生已經(jīng)掌握了一些數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用技巧,但是沒有形成系統(tǒng)的理論概念。所謂數(shù)形結(jié)合,包括“以數(shù)助形”和“以形助數(shù)”兩個方面,圖形的具體、形象的優(yōu)勢集合精準(zhǔn)的數(shù)字,實現(xiàn)優(yōu)勢互補,使問題更加簡單明了。四邊形教學(xué)中,主要應(yīng)用到的是“以數(shù)助形”的策略,常用的方法有:第一,通過數(shù)軸、坐標(biāo)系把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題。第二,利用面積、距離和角度等幾何量來解決問題。

        例如,在圖1中,梯形ABCD中,BC∥AD,∠A=90°,AB=2,BC=3,AD=4,E為AD的中點,F(xiàn)為CD的中點,P為BC上的動點(不與B、C重合)設(shè)BP=x,四邊形PEFC的面積為y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出x的取值范圍。

        圖1

        解題思路:因為點P是動點,所以四邊形PEFC沒有固定的形狀,面積也會隨著P點的運動而變化,不能套用面積公式,所以要引導(dǎo)學(xué)生通過其他圖形的面積來計算,通過已知條件,可以求出梯形ABCD的面積,進而利用梯形面積減去△DEF和梯形ABPE的面積就能得出四邊形PEFC的面積,其中梯形ABPE的面積是隨著P點而變化,所以看似復(fù)雜的幾何問題實際變成了代數(shù)問題,最后要根據(jù)P點運動的特殊性——不與B、C重合,求出面積的取值范圍。從題干中可以發(fā)現(xiàn),這道題蘊藏明確的數(shù)形結(jié)合的思想,題目看似復(fù)雜,其實就是簡單的面積計算問題。教師要引導(dǎo)學(xué)生進行歸納總結(jié),使學(xué)生之后面對類似的問題時,能夠快速厘清思路,提高解題效率。

        二、分類討論策略

        有些學(xué)生認為,數(shù)學(xué)問題往往只有一個標(biāo)準(zhǔn)答案,在解題時容易限制自己的思維,利用熟悉的方法去處理和分析問題,往往容易忽略很多關(guān)鍵因素,被一些表面現(xiàn)象所蒙蔽。其實,許多數(shù)學(xué)問題因為定義、位置和范圍的限制,往往不能用統(tǒng)一的方法或標(biāo)準(zhǔn)來解答,而要分情況進行討論。分類討論時,學(xué)生要具備更寬闊的知識視野,學(xué)會處理整體和局部、普遍和特殊的關(guān)系,根據(jù)題干中給出的信息進行分類,全面而深入地思考數(shù)學(xué)問題。

        例如:已知四邊形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,AC與BD相交于O,AD=7,BD=10,∠BOC=120°,畫出圖形并求四邊形的面積。

        解題思路:根據(jù)已知條件,引導(dǎo)學(xué)生思考四邊形ABCD可能是什么圖形,題干并沒有指明四邊形ABCD的固定形狀,因此可以猜想四邊形ABCD可能是平行四邊形,也可能是梯形,所以需要分情況討論。第一,當(dāng)AD=BC時,四邊形ABCD是一個平行四邊形,如圖2;第二,當(dāng)AD≠BC時,四邊形ABCD是一個梯形,如圖3。兩種情況計算面積,都要充分應(yīng)用到勾股定理。在解題過程中,教師要引導(dǎo)學(xué)生熟練掌握平行四邊形、梯形等幾何圖形的定義,根據(jù)題干中給出的條件判斷圖形的具體形狀,學(xué)會分類分析數(shù)學(xué)問題,讓學(xué)生在有限的條件下充分考慮各種可能,不遺漏任何條件。

        圖2

        圖3

        三、問題轉(zhuǎn)化策略

        轉(zhuǎn)化法也是解決數(shù)學(xué)問題時常用的一種方法,可以把抽象的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化成更直觀形象的問題。轉(zhuǎn)化方法也可以分為兩大類,代數(shù)中的轉(zhuǎn)化和幾何中的轉(zhuǎn)化,幾何中的轉(zhuǎn)化思想常用的有利用合同變換轉(zhuǎn)化、相似變換轉(zhuǎn)換、化歸方法轉(zhuǎn)換和形數(shù)間的轉(zhuǎn)換。幾何教學(xué)中,學(xué)生在處理不規(guī)則圖形時往往不知該從何下手,沒有固定的公式和規(guī)律可以幫助解答。因此,教師要運用轉(zhuǎn)化思想去處理問題,并給學(xué)生布置相關(guān)的習(xí)題訓(xùn)練,讓他們學(xué)會把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成簡單熟悉的問題,然后利用已有的知識經(jīng)驗去尋找正確答案。通過長期訓(xùn)練,能夠增強學(xué)生思維的靈活性,促使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識之間的區(qū)別和聯(lián)系,厘清各種問題之間的邏輯關(guān)系。

        例如,如圖,圓內(nèi)接四邊形ABCD的對角線相交于P點,求證:AB×AD∶CB×CD=AP∶PC。

        解題思路:這道題單從四邊形角度分析很難得出解題思路,因此最好采用轉(zhuǎn)化的方法,引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想在之前的學(xué)習(xí)中有沒有解答過類似的問題。比如說圓內(nèi)接三角形的問題,引導(dǎo)學(xué)生把不熟悉的題目轉(zhuǎn)化成已知的、熟悉的問題。從求證的內(nèi)容可以發(fā)現(xiàn),等式兩邊的次方不同,很可能是等式的右邊約去了因式,但很難找出具體約去了哪個因式。對等式進一步分析,發(fā)現(xiàn)AB×AD與CB×CD都是相鄰兩條邊的乘積,于是我們可以聯(lián)想到另外一個題目,如圖5,△ABC是圓的內(nèi)接三角形,AD是△ABC中BC邊上的高,AE位△ABC外接圓的直徑,求證AB×AC=AD×AE。相對于圖4的題目來說,這一題是更容易證明的,只需要連接BE,證明△ABE≈△ADC即可,其實就是證明“三角形兩邊之積等于其外接圓直徑與第三邊上的高之積”。用這一題的結(jié)論再去證明圖4中的例題非常簡便??梢姡D(zhuǎn)化思想能有效促進知識遷移,把復(fù)雜的問題簡單化,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)水平。

        圖4

        圖5

        四、結(jié)語

        綜上所述,教師在課堂上要教給學(xué)生數(shù)形結(jié)合、分類討論和問題轉(zhuǎn)化等多種解題策略,并且讓學(xué)生加強有關(guān)的習(xí)題訓(xùn)練,進一步鞏固知識,讓學(xué)生能夠在解決問題時熟練應(yīng)用這些解題技巧,開放思維,從不同角度分析問題,探究出更多的解題思路。

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