陳瑛

【摘 要】總復(fù)習(xí)課，既要“溫故”，更要“知新”，貴在“生長(zhǎng)”。筆者嘗試打破復(fù)習(xí)課“梳理知識(shí)結(jié)構(gòu)+練習(xí)鞏固”的固有格局，將練習(xí)融入知識(shí)梳理中，引導(dǎo)學(xué)生追根溯源、打通聯(lián)系、構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)，讓知識(shí)更具結(jié)構(gòu)化，更有生長(zhǎng)性。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué) 立體圖形 總復(fù)習(xí)

一、畫圖表征，追根溯源

1.導(dǎo)圖梳理引思考

課前，學(xué)生對(duì)立體圖形的表面積和體積的知識(shí)進(jìn)行了自主梳理，將其畫成了思維導(dǎo)圖，并把相關(guān)知識(shí)融入、濃縮到圖中，甚至還有學(xué)生查閱資料，拓展了圓錐表面積的計(jì)算公式，并且對(duì)圓柱表面積的新算法進(jìn)行了補(bǔ)充。遺憾的是，極少有學(xué)生嘗試去打通這些已有知識(shí)之間的聯(lián)系，更難看到知識(shí)的產(chǎn)生和推導(dǎo)過程。

從學(xué)生的思維導(dǎo)圖中可以看出，學(xué)生對(duì)表面積和體積的認(rèn)識(shí)還停留在一個(gè)個(gè)零散的點(diǎn)狀知識(shí)上，并未對(duì)知識(shí)的本質(zhì)進(jìn)行勾連，也極少有知識(shí)的生長(zhǎng)。很少有學(xué)生關(guān)注體積是如何推導(dǎo)出來(lái)的，要打通立體圖形之間的聯(lián)系，體積的本質(zhì)屬性一定要通透。

2.畫圖表征凸本質(zhì)

為此，筆者將課前梳理設(shè)計(jì)成畫示意圖說明如何求給定數(shù)據(jù)的立體圖形的體積，學(xué)生在課前進(jìn)行回顧與梳理，畫出體積推導(dǎo)過程，用圖進(jìn)行表征。圖畫出來(lái)了，學(xué)生對(duì)體積的理解就更深刻了。

在這個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中，筆者看到了學(xué)生活學(xué)活用的樣態(tài)，通過回憶、整理、交流，從不同角度闡釋了這些立體圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系，直觀形象地呈現(xiàn)了體積公式的推導(dǎo)過程。如此，“透視”了知識(shí)的核心，從知識(shí)本質(zhì)處深入，不僅回顧舊知，還通過內(nèi)化和還原，促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，實(shí)現(xiàn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的優(yōu)化，感悟了數(shù)學(xué)思想。

二、打通聯(lián)系，構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)

立體圖形表面積和體積的學(xué)習(xí)分散在六年級(jí)上、下兩冊(cè)的教學(xué)上，學(xué)生較少關(guān)注知識(shí)間的關(guān)聯(lián)。但長(zhǎng)方體、正方體和圓柱都是直柱體，知識(shí)之間存在著一致性。六年級(jí)下冊(cè)的總復(fù)習(xí)課，若要打通知識(shí)間的聯(lián)系，關(guān)鍵在“統(tǒng)”。

1.一統(tǒng)體積：凸顯本質(zhì)

總復(fù)習(xí)課，要打通知識(shí)間的聯(lián)系，構(gòu)建完整的知識(shí)體系。學(xué)生通過梳理，打通長(zhǎng)方體、正方體和圓柱體積之間的內(nèi)在聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)統(tǒng)一的體積計(jì)算，學(xué)生的點(diǎn)狀知識(shí)已在潛移默化中串成了線，并逐漸形成知識(shí)網(wǎng)。

長(zhǎng)方體和正方體的體積都是求有多少個(gè)這樣的體積單位，可以先算一層，再乘層數(shù)，即底面積乘高。圓柱通過轉(zhuǎn)化變成近似的長(zhǎng)方體，也可以理解為求多少個(gè)這樣的體積單位，同樣可以用底面積乘高來(lái)計(jì)算。這個(gè)過程實(shí)現(xiàn)了體積計(jì)算的統(tǒng)一，這個(gè)統(tǒng)一的過程是建立在學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)之上，并衍生新的認(rèn)識(shí)，將三個(gè)體積計(jì)算公式化歸成一個(gè)，甚至從這一個(gè)公式可以繼續(xù)生長(zhǎng)成多個(gè)立體圖形的體積計(jì)算公式。

2.二統(tǒng)側(cè)面：實(shí)踐拓展

筆者用一張A4紙，用同樣的彩紙，做出無(wú)底面的長(zhǎng)方體和圓柱，打通側(cè)面積、表面積之間的聯(lián)系，同時(shí)進(jìn)行拓展延伸，為第三學(xué)段的學(xué)習(xí)埋下知識(shí)生長(zhǎng)的種子。

小組合作，用彩紙做圓柱和長(zhǎng)方體。要求：不改變紙的大小，不能有重疊，做出盡可能多的不同形狀的圓柱和長(zhǎng)方體。

師：先來(lái)說說圓柱吧。

生1（邊說邊做）：卷一下就可以了。

師：兩種不同的方式，卷出了沒有底面的圓柱，它們有什么相同的地方嗎？

生2：側(cè)面積一樣，都是這張長(zhǎng)方形紙的面積。

師：你是怎么做長(zhǎng)方體的？在做的時(shí)候要注意什么？

生3：可以將一條邊對(duì)折再對(duì)折，平均分成4份，折出長(zhǎng)方體。

師：這種方式折出來(lái)的長(zhǎng)方體有什么共同點(diǎn)？

生3：側(cè)面積一樣。有兩個(gè)面都是正方形，其余四個(gè)面完全相同。

師：有沒有不是平均分，但是也做成長(zhǎng)方體的？

生4：只要兩條長(zhǎng)一樣，兩條寬一樣，就可以折成長(zhǎng)方體。

師：這些長(zhǎng)方體大小、形狀不一樣，有沒有相同的地方？

生5：側(cè)面積相同，因?yàn)槭峭粡埣堈鄢傻摹?/p>

師：剛才我們用同樣的彩紙，做出了不同的長(zhǎng)方體和圓柱，它們之間有聯(lián)系嗎？（側(cè)面積相同）它們的側(cè)面展開又分別是什么？長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是這個(gè)立體圖形的？（底面周長(zhǎng)）寬呢？（高）

（教具演示）換種做法，一條邊是這個(gè)立體圖形的底面周長(zhǎng)，另一條邊就是它的高。

（討論得出：側(cè)面積=底面周長(zhǎng)×高）

整個(gè)活動(dòng)過程，不僅對(duì)小學(xué)階段的立體圖形進(jìn)行了梳理，同時(shí)進(jìn)行了拓展和延伸，為第三學(xué)段進(jìn)行鋪墊，讓知識(shí)有生長(zhǎng)點(diǎn)。學(xué)生通過一張A4紙，在卷一卷、折一折等活動(dòng)中，逐漸理解長(zhǎng)方體和圓柱的側(cè)面積與這張A4紙之間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)藏的奧秘，統(tǒng)一側(cè)面積的計(jì)算方法。在此過程中，主動(dòng)建構(gòu)結(jié)構(gòu)化、可遷移的認(rèn)知系統(tǒng)，學(xué)生在做中學(xué)、做中悟、做中思，培養(yǎng)了類比推理的能力。

3.三統(tǒng)表面：完善體系

學(xué)生經(jīng)歷兩次“統(tǒng)”的過程，已有了“統(tǒng)”的意識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，因此，對(duì)于第三次“統(tǒng)”，筆者放手讓學(xué)生大膽猜測(cè)，發(fā)掘經(jīng)驗(yàn)，嘗試獨(dú)立發(fā)現(xiàn)和歸納，產(chǎn)生新的結(jié)構(gòu)，充分突顯主體性。

師：既然長(zhǎng)方體、正方體、圓柱的體積和側(cè)面積我們都找到統(tǒng)一的公式來(lái)計(jì)算，它們的表面積也能用同一個(gè)公式表達(dá)嗎？你認(rèn)為是什么？

（表面積=側(cè)面積+底面積×2）

師：在解決表面積的實(shí)際問題時(shí)，一定是用一個(gè)側(cè)面積加兩個(gè)底面積嗎？

（1）一側(cè)無(wú)底

（呈現(xiàn)學(xué)生作品）現(xiàn)在這個(gè)圓柱、長(zhǎng)方體的表面積指的是什么？（側(cè)面積）生活中有這樣的情況嗎？

生（舉例）：通風(fēng)管，壓路機(jī)壓路的面積……

（2）一側(cè)一底

如果給這個(gè)圓柱或長(zhǎng)方體或正方體配一個(gè)底面，它的表面積是指什么？

這是我們解決過的哪類問題？（無(wú)蓋水桶、游泳池、魚缸等）

（3）一側(cè)兩底

配兩個(gè)底面呢，現(xiàn)在表面積又是什么？

立體圖形的表面積在生活中并不一定都是用一個(gè)側(cè)面積+兩個(gè)底面積，這一環(huán)節(jié)，看似無(wú)意卻有意，看似無(wú)題卻多題。學(xué)生經(jīng)歷了觀察、想象、舉例、遷移等過程，在以后的解題中，會(huì)有意識(shí)地從題目本身出發(fā)，發(fā)掘本質(zhì)，準(zhǔn)確辨別這是哪一類問題。

4.創(chuàng)作圖形：拓展延伸

師：用這張彩紙，你還能做出其他立體圖形嗎？

（生獨(dú)立創(chuàng)作，全班交流）

師：仔細(xì)觀察這些立體圖形，有什么特點(diǎn)？（引出直柱體）

師：你認(rèn)為直柱體還可以長(zhǎng)成什么樣子？ 這些直柱體在計(jì)算側(cè)面積、表面積和體積時(shí)，有統(tǒng)一的方法嗎？

生1：因?yàn)槎际峭粡埣堊龅?，它們的?cè)面積相同。

生2：表面積都是一個(gè)側(cè)面積+兩個(gè)底面積。

生3：體積是底面積乘高。

師：體積是否一定這樣計(jì)算？老師給同學(xué)們打個(gè)問號(hào)，任何結(jié)論都需要大膽猜想，小心求證，直柱體的體積計(jì)算留給愛思考的同學(xué)課后去推導(dǎo)求證，相信你一定會(huì)有所發(fā)現(xiàn)。

一張A4彩紙，學(xué)生通過動(dòng)手操作，可以變成認(rèn)識(shí)的或者是不認(rèn)識(shí)的立體圖形，可以解決現(xiàn)在能解決的問題，甚至是未來(lái)能解決的問題。既有基礎(chǔ)圖形的操作，又打開了學(xué)生的腦洞，還可以折更多的直柱體。立體圖形體積、表面積、側(cè)面積的計(jì)算公式分別從多個(gè)統(tǒng)一成了一個(gè)，又從一向多進(jìn)行了拓展，這樣的學(xué)習(xí)對(duì)學(xué)生來(lái)說是有生長(zhǎng)性的，這是新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)構(gòu)建的過程。

三、精選練習(xí)，深度理解

練習(xí)鞏固是形成知識(shí)結(jié)構(gòu)和發(fā)展學(xué)生能力的重要環(huán)節(jié)。本課側(cè)重于知識(shí)的梳理和打通，練習(xí)的設(shè)計(jì)貫穿于活動(dòng)中，并進(jìn)行了整合和提煉，既有保底的鞏固，又有思維的拓展，體現(xiàn)知識(shí)間的勾連，幫助學(xué)生深度理解與應(yīng)用，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

練習(xí)1：如圖，以長(zhǎng)方形紙的邊a作底面周長(zhǎng)，邊b作高，分別可以圍成一個(gè)長(zhǎng)方體、正方體和圓柱體紙筒，再分別給它們另作一個(gè)底面。

（1）它們的側(cè)面積相比，（ ? ? ? ）。

（2）它們的表面積相比，（ ? ? ? ）。

（3）它們的體積相比，（ ? ? ? ）。

A.長(zhǎng)方體的大 ? B.正方體的大

C.圓柱的大 ? D.一樣大

這題放在了“三‘統(tǒng)”之后，學(xué)生對(duì)立體圖形表面積和體積之間的聯(lián)系有了深入理解后，用此題來(lái)幫助回顧與拓展，更有利于知識(shí)的內(nèi)化。側(cè)面積的比較，學(xué)生脫口而出是相同的，因?yàn)橛昧送粡埣垼瑐?cè)面積就是這張長(zhǎng)方形紙的面積，這是學(xué)生剛剛經(jīng)歷后所內(nèi)化的結(jié)果。要比較表面積的大小，重點(diǎn)在于底面積，此時(shí)與三年級(jí)學(xué)習(xí)的周長(zhǎng)和面積建立了聯(lián)系，底面周長(zhǎng)（長(zhǎng)方形的長(zhǎng)）相同時(shí)，圍成的圓的面積更大，因此圓柱的表面積大。體積有了前面比較的經(jīng)驗(yàn)，就更容易得出結(jié)論了。

練習(xí)2：請(qǐng)你制作一個(gè)無(wú)蓋圓柱形水桶，有以下幾種型號(hào)的鐵皮可供搭配選擇。（單位：分米）

（1）你選擇的材料是（ ? ? ）號(hào)和（ ? ? ）號(hào)。

（2）用你選擇的材料制作的水桶，表面積和容積各是多少？

此題既開放又綜合，不僅要關(guān)注圖形特征，還需關(guān)注數(shù)據(jù)特征，通過計(jì)算來(lái)實(shí)現(xiàn)合理選擇和搭配。如果選擇①為側(cè)面，9.42作為底面周長(zhǎng)的話，底面直徑為3，即圖④，此時(shí)1就是圓柱的高;如果選擇③為側(cè)面，12.56是底面周長(zhǎng)，底面直徑為4，即圖②，高為2。通過選擇和分析，得出必要的數(shù)據(jù)，從而計(jì)算無(wú)蓋圓柱的表面積和容積。

布魯納認(rèn)為，學(xué)習(xí)的過程實(shí)際上是利用已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，對(duì)新的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行加工改造并形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程。筆者認(rèn)為，總復(fù)習(xí)課既要打通知識(shí)間的聯(lián)系，更要更新已有的知識(shí)體系和認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)，讓知識(shí)具有生長(zhǎng)活力和生命張力，發(fā)揮“磁力場(chǎng)”，呈現(xiàn)靈動(dòng)舒展的課堂樣態(tài)，實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的表征與內(nèi)化，將數(shù)學(xué)知識(shí)由“厚”變“薄”，由“薄”變“厚”，努力實(shí)現(xiàn)從“教學(xué)生一課”到“教學(xué)生一生”的轉(zhuǎn)變，構(gòu)建清晰網(wǎng)絡(luò)，深化數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

【參考文獻(xiàn)】

劉賢虎，陽(yáng)海林.打通總復(fù)習(xí)教學(xué)的“任督二脈”[J].教學(xué)與管理，2017（2）.