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        對(duì)高中數(shù)學(xué)函數(shù)中一類含參問題的解法的思考

        2021-07-01 11:09:37張強(qiáng)
        成長 2021年7期
        關(guān)鍵詞:解題教學(xué)高中數(shù)學(xué)

        張強(qiáng)

        摘 要:在高中函數(shù)類習(xí)題當(dāng)中,一類含參問題是一種較為常見的題型,同時(shí)也是學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的主要難點(diǎn)之一?;诖?,本文對(duì)高中數(shù)學(xué)函數(shù)一類含參問題的解法展開了分析,通過幾種常見的出題類型,來討論在學(xué)習(xí)過程中對(duì)其準(zhǔn)確求解的途徑,希望能夠以此促進(jìn)學(xué)生在進(jìn)行解題時(shí)的準(zhǔn)確率。

        關(guān)鍵詞:高中數(shù)學(xué) 函數(shù)習(xí)題 一類含參 解題教學(xué)

        1 引言

        一類含參問題無論是在學(xué)生日常學(xué)習(xí)還是高考過程中都經(jīng)常出現(xiàn),這類題型由于涵蓋知識(shí)面較廣,并且解題過程中較為注重學(xué)生的邏輯思維,因此一直都是學(xué)生的主要失分環(huán)節(jié),因此對(duì)一類含參問題的解法展開研究極有必要,能夠保證教師在教學(xué)過程中幫助學(xué)生有效地總結(jié)知識(shí)規(guī)律,使學(xué)生掌握正確的解題技巧。

        2 含參不等式的解法

        2.1 分類討論法

        學(xué)生在處理這類問題,需要注意到參數(shù)的值對(duì)不等式的解以及類型能夠起到直接的影響作用,因此學(xué)生需要首先就參數(shù)的情況進(jìn)行談?wù)摚⒃诖_定了不等式的解之后,根據(jù)不同的情況來確定參數(shù)的值[1]。

        例一:已知不等式ax2-2(1+a)+4>0,請(qǐng)分析在什么情況下該不等式成立。

        解析:在處理這道習(xí)題的過程中學(xué)生應(yīng)當(dāng)分別從兩個(gè)方面進(jìn)行思考,首先是判斷a是否為零,在a=0的情況下,也就是該不等式的二次線系數(shù)為零,因此不等式可以轉(zhuǎn)變?yōu)?-2x>0,對(duì)其進(jìn)行求解可以判斷只要x小于2的情況下該不等式即成立;其次則是在a不等于0情況新進(jìn)行思考,如果a≠0,那么該不等式即是一個(gè)普通的二次函數(shù)不等式,將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為(ax-2)(x-2)>0,即可判斷x的取值范圍在2/a和2之間,隨后將該方程的兩個(gè)根代入不等式,即可對(duì)a的情況的進(jìn)行分析。

        2.2 變換主元法

        在得到了參數(shù)的具體范圍,要求學(xué)生去求解未知數(shù)的取值范圍,那么學(xué)生便可以考慮使用變換主元的解題方法去進(jìn)行求解[2]。

        例二:m為不等式m(x2-1)<2x-1的參數(shù),已知在m的絕對(duì)值不大于2的情況下,該二次不等式恒成立,請(qǐng)分析x的取值范圍。

        解析:首先,學(xué)生可以改變?cè)坏仁剑玫絤(x2-1)-(2x-1)<0。根據(jù)題干條件,已知當(dāng)2≥|m|的情況下,該不等式的恒成立,因此可以以m作為自變量去構(gòu)造函數(shù),也就是(m)=m(x2-1)-(2x-1),并且可以確定在2≥m≥-2,(m)<0。由此可知(-2)和(2)都小于零,通過這個(gè)條件,即可確定未知數(shù)x的取值范圍。

        2.3 數(shù)形結(jié)合法

        通過數(shù)形結(jié)合法雖然能夠有效地簡化學(xué)生的解題過程,但是在實(shí)踐教學(xué)過程中需要教師注重培養(yǎng)學(xué)生熟練地動(dòng)手操作能力,如此才能夠保證準(zhǔn)確的畫出函數(shù)圖像,并確保最后的計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確。

        例三:現(xiàn)已知一個(gè)不等式ax≤1+|6+3x|恒成立,請(qǐng)判斷a的取值范圍。

        解析:學(xué)生在求解這類習(xí)題的過程中,有一個(gè)相對(duì)簡單的技巧便是通過函數(shù)圖像來來判斷參數(shù)的取值范圍。也就是將不等式的兩端視為兩個(gè)函數(shù),然后分別在坐標(biāo)系當(dāng)中畫出函數(shù)(x)=1+|6+3x|和函數(shù)g(x)=ax,根據(jù)函數(shù)性質(zhì)可以判斷這兩個(gè)函數(shù)的圖像在坐標(biāo)系當(dāng)中都是直線,也就是需要學(xué)生最后根據(jù)兩條直線的斜率,判斷不等式成立的情況,最后分析a的取值范圍。

        3 借用導(dǎo)數(shù)來求解含參問題

        3.1 含參函數(shù)的單調(diào)性判斷

        含參函數(shù)的單調(diào)性判斷問題,一直以來都是學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的難點(diǎn),實(shí)際上,通過導(dǎo)數(shù)判斷,學(xué)生只需要求出'(x)在不為零情況下x的值,便可以準(zhǔn)確判斷函數(shù)的單調(diào)性。首先,學(xué)生需要相對(duì)'(x)進(jìn)行判斷,如果函數(shù)能夠進(jìn)行因式分解,即可根據(jù)計(jì)算出的函數(shù)的根來區(qū)分函數(shù)單調(diào)性;反之則需要學(xué)生根據(jù)情況不同來進(jìn)行計(jì)算[3]。

        例一:請(qǐng)判斷函數(shù)(x)=ln2x-ax的單調(diào)區(qū)間。

        解析:學(xué)生在計(jì)算過程中,可以先對(duì)(x)進(jìn)行求導(dǎo),也就是′(x)=1/x-a(x>0)。由此可以判斷1/x>0,并且在0≥a的情況下,可以判斷′(x)大于0,可以判斷此刻函數(shù)的單調(diào)性為遞增狀態(tài);如果是01/a,則′(x)小于0,函數(shù)此時(shí)的單調(diào)性為遞減。

        3.2 含參函數(shù)的最值問題

        再結(jié)合導(dǎo)數(shù)求解含參函數(shù)的最值問題時(shí),學(xué)生需要靈活的使用分類思想,根據(jù)函數(shù)的不同情況來進(jìn)行討論。

        例二:已知一個(gè)函數(shù)(x)=ln2x-ax,請(qǐng)判斷其在函數(shù)區(qū)間[1,2]的最小值為多少?

        解析:在計(jì)算這到習(xí)題的過程中,學(xué)生同樣是先求導(dǎo),然后得出在′(x)=0的情況下,x=1/a。隨后分別判斷1/a在≥2、≤1以及在1<1/a<2時(shí),函數(shù)的單調(diào)性變化,以此判斷函數(shù)的最值。

        4 結(jié)語

        綜上所述,在求解函數(shù)一類含參問題的過程中,由于其題型變化復(fù)雜,并且知識(shí)相對(duì)抽象。因此在學(xué)習(xí)過程中,教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)不同情況選擇合適的解題方式,并熟練的利用概念去解決數(shù)學(xué)難題,以此提高學(xué)生的解題準(zhǔn)確率。

        參考文獻(xiàn):

        [1] 孟方明. 一類含參零點(diǎn)問題的破解策略[J]. 理科考試研究(高中版),2018,25(3):12-13.

        [2] 紀(jì)定春,唐蓓蕾. 數(shù)學(xué)深度教學(xué)理論下的解題教學(xué) ——以一道函數(shù)最值試題為例[J]. 理科考試研究(高中版),2020,27(6):31-36.

        [3] 潘翠燕. 高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題思路多元化的方法舉例研究[J]. 中學(xué)課程輔導(dǎo)(教學(xué)研究),2019,13(15):102-103.

        山東省萊西市實(shí)驗(yàn)學(xué)校 (山東省青島市 266600)

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