馬金鳳

【摘要】核心素養(yǎng)是新課改下的教育聚焦，貫串高中數(shù)學(xué)課標(biāo)的所有部分，基于核心素養(yǎng)時(shí)代的背景，進(jìn)一步研究數(shù)學(xué)圖式化教學(xué)，探討高中數(shù)學(xué)如何進(jìn)行圖式教學(xué)實(shí)踐，分析圖式理論在數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中有何作用.

【關(guān)鍵詞】核心素養(yǎng);高中數(shù)學(xué);圖式理論

圖式理論是一種認(rèn)知心理方面的重要理論，能夠?qū)?shù)學(xué)的抽象知識(shí)轉(zhuǎn)化為具體圖式，而圖式又是大腦中的一種認(rèn)知結(jié)構(gòu).斯根普曾指出：“個(gè)別的概念一定要融入與其他概念合成的概念結(jié)構(gòu)中才有效用.”除了所謂最基本的初級(jí)概念之外，每一個(gè)概念都是由若干較低階層的概念合并發(fā)展得來(lái)的，而這個(gè)概念其后又與其他概念結(jié)合發(fā)展出了更高階的概念.容易看出，圖式的建構(gòu)是抽象化（由較低層次向較高層次的發(fā)展可被認(rèn)為達(dá)到了更高的抽象程度）和具體化（除去向著更高抽象程度的發(fā)展以外，通過(guò)引入新的處于較低層次的概念為較高層次的概念提供具體的“實(shí)例”）的一種組合.用圖式理論指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)，以引導(dǎo)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，激活學(xué)生的聯(lián)想能力，進(jìn)而培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

新時(shí)代的課程改革要求高中數(shù)學(xué)課標(biāo)以“發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)”為價(jià)值取向及課程主線.借助抽象化、具體化的圖式，能夠促進(jìn)學(xué)生很好地完成數(shù)學(xué)知識(shí)體系的建構(gòu)，能夠更好地解釋學(xué)生的學(xué)習(xí)機(jī)制，有助于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落實(shí)于日常教學(xué).那么，在核心素養(yǎng)時(shí)代，高中數(shù)學(xué)應(yīng)如何進(jìn)行圖式化教學(xué)呢？圖式理論在數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中又有何作用？

1 理清脈絡(luò)，明確學(xué)習(xí)方向

圖式在指導(dǎo)個(gè)體認(rèn)識(shí)新事物時(shí)，并不是被動(dòng)地將其簡(jiǎn)單搬到頭腦中儲(chǔ)存，而是按照一定的順序和邏輯性，將其各個(gè)部分形成組塊.圖式影響著輸入信息的選擇，并通過(guò)一定方式組織信息，將這些信息整合成一個(gè)有意義的框架，其目的是促進(jìn)個(gè)體對(duì)信息的理解.所以，運(yùn)用數(shù)學(xué)圖式理清知識(shí)脈絡(luò)，可以提供記憶的支柱，幫助學(xué)生理解領(lǐng)會(huì)知識(shí).對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)，教師應(yīng)從分散復(fù)雜的知識(shí)堆中抓主干，利用圖式加工并整理，這樣便可給學(xué)生的學(xué)習(xí)提供一個(gè)明確的方向.

導(dǎo)數(shù)是微積分的核心內(nèi)容之一，是研究函數(shù)的重要工具，銜接著初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué).盡管導(dǎo)數(shù)作為選修內(nèi)容出現(xiàn)在高中教材中，但因其廣泛的應(yīng)用性而成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容.因?yàn)槭挛锏耐獠繒?huì)不斷變化，而其內(nèi)部永恒不變，故認(rèn)識(shí)事物要把握其內(nèi)在結(jié)構(gòu)，學(xué)習(xí)繁雜分散的導(dǎo)數(shù)亦是如此.在講解“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”時(shí)，教師可利用圖1的圖式來(lái)提供知識(shí)信息.

圖1

由于導(dǎo)數(shù)知識(shí)繁雜分散，為方便教師的教、學(xué)生的學(xué)，將導(dǎo)數(shù)知識(shí)按照內(nèi)容的內(nèi)在聯(lián)系，把相關(guān)知識(shí)組合成一個(gè)學(xué)習(xí)模塊（網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)）如圖1所示，高中導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)所遵循的主線是：平均變化率→瞬時(shí)變化率→導(dǎo)數(shù)的概念→研究函數(shù)→工具性價(jià)值.圖1的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖，既表征新的知識(shí)，又整合已有的知識(shí)，以增強(qiáng)學(xué)習(xí)的目的性，助力學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的構(gòu)建.在理解導(dǎo)數(shù)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的同時(shí)，構(gòu)建以“導(dǎo)數(shù)”為主題的圖式，強(qiáng)調(diào)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，有利于導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的全面把握.通過(guò)其中某一個(gè)知識(shí)點(diǎn)可因知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系而聯(lián)想到其他的知識(shí)點(diǎn)，即發(fā)揮“牽一發(fā)而動(dòng)全身”的效果，這樣在面對(duì)新的知識(shí)時(shí)，能夠及時(shí)提取信息，獲得新的方法和策略，特別是在處理綜合問(wèn)題時(shí)，能夠?yàn)槠涮峁┒鄻踊姆椒ê筒呗?

由此可見(jiàn)，知識(shí)結(jié)構(gòu)圖轉(zhuǎn)化成學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過(guò)程就是一種推理過(guò)程，也就是說(shuō)，整體性的思考過(guò)程是在發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力.如果割裂各知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系，即使能減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)壓力，也不能減輕處理綜合問(wèn)題的負(fù)擔(dān)，阻礙學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，不能幫助學(xué)生樹立數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí).在教學(xué)過(guò)程中，教師可以根據(jù)實(shí)際情況，利用圖式理論處理數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生獲得一個(gè)明確的學(xué)習(xí)方向和知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系.方便提取和再現(xiàn)的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖能夠發(fā)展學(xué)生的“邏輯推理、直觀想象”等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，促進(jìn)學(xué)生的最佳發(fā)展.

2 梳理邏輯，切準(zhǔn)問(wèn)題命脈

圖式會(huì)影響個(gè)體對(duì)問(wèn)題的解決，而問(wèn)題解決則是個(gè)體鞏固圖式的重要渠道.巧用圖式對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行甄別、組織、整合，構(gòu)建一個(gè)有意義的結(jié)構(gòu)框架，促進(jìn)學(xué)生對(duì)新舊知識(shí)的銜接、理解、消化與應(yīng)用.繪制適當(dāng)?shù)谋斫鈭D式是迅速表征和解決較為復(fù)雜問(wèn)題的有力手段，往往有助于梳理知識(shí)間的邏輯關(guān)系或普遍規(guī)律，從而縮短審題時(shí)間，切準(zhǔn)問(wèn)題命脈，解題時(shí)可得心應(yīng)手.

數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，是揭示自然規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型，其主要內(nèi)容是數(shù)列的概念與表示，教材中通過(guò)對(duì)生活實(shí)際問(wèn)題的分析，建立等差數(shù)列和等比數(shù)列兩種數(shù)學(xué)模型.在數(shù)列的教學(xué)中，教師可以借助表1圖式（表解式）引導(dǎo)學(xué)生在探索中掌握與等差、等比數(shù)列相關(guān)的一些基本數(shù)量關(guān)系.

表1圖式的核心思想是類比推理，實(shí)際上，等差與等比在運(yùn)算符號(hào)上有密切的聯(lián)系.教師可以通過(guò)表1引導(dǎo)學(xué)生觀察，啟發(fā)學(xué)生注意觀察數(shù)列模型的圖式（結(jié)構(gòu)）特征，容易發(fā)現(xiàn)等差與等比之間的類比遵循上述表格所反映的規(guī)律.學(xué)習(xí)“等差數(shù)列和等比數(shù)列”的相關(guān)知識(shí)后，難免會(huì)有學(xué)生對(duì)一些具體知識(shí)一頭霧水，不能形成完整認(rèn)知.此時(shí)，教師若用圖式進(jìn)行銜接，將等差數(shù)列與等比數(shù)列進(jìn)行“平行”學(xué)習(xí)（每學(xué)一個(gè)等差數(shù)列的性質(zhì)后，就讓學(xué)生自主學(xué)習(xí)、獨(dú)立探索等比數(shù)列與之對(duì)應(yīng)的性質(zhì)），可形成一個(gè)交叉網(wǎng)絡(luò)，組織學(xué)生預(yù)測(cè)與推理以宏觀掌握數(shù)學(xué)發(fā)展的基本線索與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)之間的關(guān)系，進(jìn)一步對(duì)知識(shí)再整合、系統(tǒng)化，構(gòu)建良好的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，完善自我知識(shí)體系.

所以，在圖式教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生：提取信息→加工信息→獲取方法→表解式表征，從而分析問(wèn)題的解決途徑.教師引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建適宜的表解式對(duì)問(wèn)題進(jìn)行表征，能夠發(fā)揮學(xué)生鞏固原有知識(shí)、激活聯(lián)想能力的功效;能夠培育學(xué)生的“邏輯推理、數(shù)學(xué)建?！钡群诵乃仞B(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生的類比推理思想.

3 構(gòu)建模型，深化數(shù)學(xué)思維

皮亞杰認(rèn)為：“圖式描述的是具有一定概括程度的知識(shí)而不是定義.”將數(shù)學(xué)新舊知識(shí)間的聯(lián)系點(diǎn)加工成一個(gè)圖式，新的知識(shí)可轉(zhuǎn)化為已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)概念，便于更好地掌握新知識(shí).在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的教學(xué)中，教師可以從某一類具有相同屬性的數(shù)學(xué)知識(shí)或問(wèn)題中提煉其本質(zhì)屬性，再拓展到具有這類屬性的一切數(shù)學(xué)知識(shí)或問(wèn)題中，從而以圖式的方式形成這類數(shù)學(xué)知識(shí)或問(wèn)題的普遍概念.

空間垂直關(guān)系是高中數(shù)學(xué)課程中十分重要的內(nèi)容，要掌握空間垂直的定義及定理和論證相關(guān)垂直問(wèn)題并不那么簡(jiǎn)單.定義、定理等屬于陳述性知識(shí)，必須從中整合成適合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的相關(guān)概念圖式，也就是說(shuō)，圖式不是零散的定義或定理，而是一句話和一個(gè)典型的樣例.對(duì)于空間垂直關(guān)系，教師可以通過(guò)圖2的圖式進(jìn)行教學(xué).

圖2的教學(xué)核心是將空間垂直關(guān)系濃縮成一個(gè)圖式“一句話+幾何體”，其中，“一句話”是指一條直線如果垂直于三角形的兩條邊，則必垂直于第三條邊;“幾何體”是指四個(gè)面均為直角三角形的三棱錐.這個(gè)圖式比較抽象，要注意的是，在解答垂直關(guān)系時(shí)，教師既要引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成一種“由因?qū)Ч保ňC合法）的思維習(xí)慣：線⊥線→線⊥面→面⊥面;也要培養(yǎng)學(xué)生的“執(zhí)果索因”（分析法）這種逆向思維：面⊥面→線⊥面→線⊥線.而“執(zhí)果索因”的分析法是非常抽象的.所以，對(duì)于一般的學(xué)生，最適合的一種程序型圖式教學(xué)是：將“一句話”與分析法緊密結(jié)合，借助圖式將空間的垂直關(guān)系結(jié)構(gòu)化，然后組成一個(gè)模型，這樣具有代表性，并且減輕記憶負(fù)擔(dān).

不難發(fā)現(xiàn)，教師引導(dǎo)學(xué)生借助已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)及數(shù)學(xué)思維構(gòu)建一種模型記憶的圖式，能夠培育學(xué)生的“直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建?！钡群诵乃仞B(yǎng)，還能夠加強(qiáng)學(xué)生的文字、符號(hào)、圖形等語(yǔ)言間的轉(zhuǎn)換能力，從而培養(yǎng)學(xué)生的高階思維.

4 強(qiáng)干弱枝，實(shí)現(xiàn)遷移學(xué)習(xí)

圖式以一般期待的形式存在，并通過(guò)個(gè)體的知覺(jué)、記憶和推理過(guò)程來(lái)預(yù)測(cè)和控制個(gè)人的外部世界[4].在圖式的指導(dǎo)下，個(gè)體可以利用已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)處理新的信息，進(jìn)行由此及彼、舉一反三、靈活運(yùn)用的訓(xùn)練，在已知和未知之間形成遷移，激活個(gè)體的創(chuàng)造能力.數(shù)學(xué)圖式中的知識(shí)類型包括陳述性知識(shí)和程序性知識(shí).數(shù)學(xué)圖式所具備的功能把個(gè)體存儲(chǔ)的零散知識(shí)點(diǎn)貫串起來(lái)，使學(xué)生能夠理清思維，靈活化記憶，對(duì)培育學(xué)生的創(chuàng)造思維起到啟迪作用.

如何讓學(xué)生進(jìn)行遷移學(xué)習(xí)，對(duì)所學(xué)內(nèi)容能夠觸類旁通、學(xué)以致用，達(dá)到靈活多變的程度？圖式能夠梳理知識(shí)點(diǎn)，建立記憶鏈條，搭建遷移學(xué)習(xí)的橋梁和紐帶.因此，教師把適宜的圖式應(yīng)用到數(shù)學(xué)教學(xué)中，表達(dá)數(shù)學(xué)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，使隱性知識(shí)顯化，引導(dǎo)學(xué)生遷移學(xué)習(xí).

例如，可設(shè)計(jì)圖3的圖式讓學(xué)生思考，如果圖3表示的是“原命題、否命題、逆命題、逆否命題”四種命題之間的關(guān)系，字母A，B，C，D分別代表哪種命題？括號(hào)中應(yīng)填什么內(nèi)容？這四種命題的真假性之間有什么關(guān)系？同時(shí)，若用小寫字母p，q表示命題的條件與結(jié)論，則四種命題如何表示？

教師可以依照?qǐng)D3設(shè)計(jì)圖式，重組知識(shí)結(jié)構(gòu)或留下空白，檢查學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，幫助學(xué)生記憶.數(shù)學(xué)圖式中的“留白”是一種藝術(shù)表達(dá)方法，讓學(xué)生有豐富的想象空間，故而可將其作為一種教與學(xué)的策略，教師以此法激發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考問(wèn)題的欲望，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的能動(dòng)性、協(xié)作性和創(chuàng)造性，激勵(lì)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，這樣將會(huì)提高學(xué)生的自學(xué)能力和反思性思維，還能發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

綜上，數(shù)學(xué)知識(shí)圖式的表達(dá)方式不是一成不變、封閉的，而是不斷演化、開(kāi)放的，它能使學(xué)生鞏固知識(shí)，靈活記憶，加深理解，激發(fā)創(chuàng)造性.在圖式系統(tǒng)中，圖式因知識(shí)的延伸學(xué)習(xí)而深化思維，遷移受圖式驅(qū)動(dòng)，智慧隨遷移閃爍，創(chuàng)新被智慧點(diǎn)亮，從而改變著學(xué)生的認(rèn)知方式，豐富著學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，使得問(wèn)題顯化而更易于處理.

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，嘗試從知識(shí)的脈絡(luò)、性質(zhì)、概念、遷移等方面去探索圖式理論的應(yīng)用，在一定程度上擴(kuò)展知識(shí)的廣度，追求技能的深度，加強(qiáng)知識(shí)的同化.因此，數(shù)學(xué)圖式教學(xué)并非“填鴨式”教學(xué)，而是抓住知識(shí)的內(nèi)涵與外延，進(jìn)行有的放矢的數(shù)學(xué)教學(xué)，讓學(xué)生逐漸認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)的核心知識(shí)，內(nèi)化知識(shí)結(jié)構(gòu)體系，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

【參考文獻(xiàn)】

[1]吳健.學(xué)生對(duì)周期函數(shù)概念的理解[D].上海：華東師范大學(xué)，2007：4-5[2007-10-01].

[2]陳素瓊.圖式理論在高中化學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究[D].福州：福建師范大學(xué)，2016.

[3]張文婷.概念圖在高中生物教學(xué)中的應(yīng)用[D].揚(yáng)州：揚(yáng)州大學(xué)，2015.

[4]王星星.高中生化學(xué)圖形認(rèn)知能力的探查[D].揚(yáng)州：揚(yáng)州大學(xué)，2012.