【摘 要】核心概念是學生認識事物本質的源頭，是邏輯推理的依據，是理解數學知識、解決問題的支柱。教學中給核心概念以核心地位，為探尋數學本質、撬動學生思維提供了更多的可能。本文以核心概念“計數單位”為例，談它在運算學習中所起的“牽一發(fā)而動全身”的作用，以此說明核心概念在數學學習中的核心地位。

【關鍵詞】數學學習 核心概念 核心地位

孫佳威

任職于北京市朝陽區(qū)星河實驗小學，北京市數學特級教師、高級教師。獲中國教育學會小學數學教學專業(yè)委員會先進工作者、課程教材研究所優(yōu)秀教研員等稱號。從教30余年，一直致力于學習和推廣馬芯蘭數學教育思想，形成了“凸顯核心概念、實現數學理解”的課堂教學特色。被聘為北京教育科學研究院兒童數學研究所兼職研究員，教育部“國培計劃”—示范性教師工作坊高端研修項目小學數學工作坊主持人，教育部小學數學學科教研基地核心組成員，大連大學初等師范學院客座教授等。主持研發(fā)“小學數學能力目標體系”等15項課程，著有《開啟學生的數學思維：對馬芯蘭數學教育思想的再認識》，擔任“兒童數學教育叢書”《在涂畫中學數學》副主編，教育部《小學數學教學裝備配置標準（JY/T 0617—2019）》編寫組核心成員。發(fā)表文章30余篇，多篇論文獲中國教育學會小學數學教學專業(yè)委員會、北京市教育學會數學論文評比一等獎。

數學概念反映了現實世界空間形式和數量關系的本質屬性，是數學知識的基本細胞。沒有數學概念就無法構成數學的知識體系。在諸多數學概念中，有一類屬于最基本的概念（或原始概念），這些概念在反映事物的內在聯系方面，較其他概念而言，更接近本質，更具有概括性。因此，我們稱之為數學中的“核心概念”。

我國著名的數學教育家馬芯蘭老師就核心概念（核心知識點）的“核心”做過進一步解讀，她認為，既為“核心”就說明它不是只與某個下位知識單線聯系，而是與眾多的相關知識都有密切聯系。數學知識自身具有結構性，這種結構性體現在它是立體的、耗散式的，而核心概念就處于這個耗散結構的節(jié)點上，它是學習的源頭活水。馬芯蘭老師對核心概念的精辟解讀，直戳數學知識、數學教學的本質。這也要求我們在教學時，分析數學概念間存在的邏輯聯系和遷移條件，加強最基本概念（即核心概念）的教學。只有最基本的概念掌握好了，學生才具備自主進行下一步學習的關鍵性條件，也才會處理好與其他相關知識的關系。

“給核心概念以核心地位”，以核心概念為基點，讓學生聯想，使他們自主地（或者在點撥下）發(fā)現更多的聯系，這樣，原有的平衡就會不斷被打破，廣泛的遷移學習才能不斷產生。在數學知識的探索中引發(fā)學生的數學思維，幫助學生運用數學思維、發(fā)展數學思維，進而使具體的數學內容學習擺脫單一的、零散的、碎片化的狀態(tài)，使學生掌握整體的、網狀的、相互關聯的知識體系和思維方法，從而實現思維的深刻性、內容的拓展性和方法的可遷移性，這既需要教師對知識結構有清醒且比較深刻的理解，也需要教師對核心概念有明確的認識。

下面，我們就以核心概念“計數單位”為例，談一談它在運算學習中的核心地位，以此說明核心概念在數學學習中的核心地位。

一、核心概念“計數單位”在加減法運算中的體現

1. 整數加減法運算

例如，9+3，如果從數數的角度計算結果，其實就是數計數單位的個數。從9開始，以“1”為單位，連續(xù)累加3次，就得到12這個結果，這個運算的過程就是計數單位個數累加的過程。同樣，運算“9+3”，從9開始，以“1”為單位，先累加1次到10，也就是先湊成10，再累加2次得到12。“滿十進一”，由此，產生新的計數單位“十”。這樣看，可以1個1個地數，也可以10個10個地數，還可以100個100個地數……在計數單位個數不斷累加的過程中，就會產生“一”“十”“百”，甚至更大的新的計數單位。計數單位個數不斷累加，方便和滿足了數量級擴展后大數加減法的計算。

減法與加法互為逆運算的關系，所以減法的實質是計數單位個數遞減的運作過程。例如，36-8（如圖1所示），個位的6減8不夠減，就要從3個十中借走1個十，拆開變成10個一，以“一”為單位，從中遞減8次，剩余2個一，再把這2個一和原來的6個一累加起來，得到8個一;3個十因為借走1個十，所以還剩下2個十;最后36-8等于28。

整數加減法計算以核心概念“計數單位”為核心，通過計數單位個數的累加和遞減的運作過程，幫助學生理解數的內部結構，進而理解運算的意義。

2.小數加減法運算

小數的計數系統(tǒng)是從整數的十進制系統(tǒng)延伸而來，小數運算的核心與整數相同，也是計數單位個數累加和遞減的運作過程（如圖2、圖3所示）。

1.23+3.45=4.68

2.47-1.25=1.22

3. 分數加減法運算

分數加減法同整數、小數加減法的意義是一樣的，這也就決定了分數加減法的運算實質同樣是計數單位個數的累加和遞減。例如，異分母分數加減法（如圖4所示），由于它們的計數單位（分數單位）取決于它們各自的分母，所以，在進行加減法運算時，首先需要找到一個對二者來說都能獲取計數值的新的計數單位（分數單位）。通過通分，我們找到這個新的計數單位（分數單位），累加或遞減，就得到了兩個異分母分數的和或差了。

這樣，整數、小數、分數加減法運算，就以核心概念“計數單位”為核心緊緊地勾連在一起了。

二、核心概念“計數單位”在乘除法運算中的體現

1. 整數乘除法

例如，12×3（如圖5所示），圖中表示的是3個12是多少。其中“12”是標準，由1個十和2個一組成，“3”是有3個這樣的標準。以“十”為計數單位累加3次，以“一”為計數單位2個2個地累加3次，最后把各自的得數再累加，得到結果36。除法也一樣，42÷2（如圖6所示），把42平均分成2份，求一份是多少。先以“十”為單位遞減，把4個十平均分成2份，每份得到2個十;再以“一”為單位遞減，把2個一平均分成2份，每份得到1個一;最后把2個十和1個一累加，得到結果21。

整數乘除法，說到底還是以核心概念“計數單位”為核心，是計數單位的累加和遞減的運作過程。

2. 小數乘除法

小數乘法運算包括小數乘整數和小數乘小數。例如，0.2×3（如圖7所示），表示的是3個0.2是多少，其中“0.2”是標準（圖7中2個小條），標準是由2個0.1組成的，“3”是有3個這樣的標準。以“0.1”為計數單位，2個2個地累加3次，得到結果0.6。再如，0.2×0.3（如圖8所示），顯然用0.1作計數單位去計算已經行不通，這時就需要尋找一個新的計數單位，而這個計數單位是相對隱性的。我們把“1”平均分成10份，取其中2份，是0.2。0.2×0.3表示的是0.2的是多少，即把0.2再平均分成10份，取其中的3份。這時，新的計數單位0.01就產生了。以“0.01”為計數單位累加6次，得到結果0.06。用算式表示為 0.2×0.3=（0.1×0.1）×（2×3）=0.06。 由此可見，小數乘法的運算核心說到底還是小數計數單位個數累加的運作過程。

我們再看小數除法運算，例如，10.5÷3（如圖9所示），先把10個一平均分成3份，每份分到3個一（9÷3=3），剩下1個一和5個0.1沒法直接平均分成3份，所以把“一”轉化成“0.1”之后再分，“一”里面有10個0.1，10個0.1加上5個0.1等于15個0.1，用15個0.1除以3，等于5個0.1，最后把分別得到的3和0.5累加，得到運算結果3.5。

小數除法，其本質與小數乘法一樣，只不過是計數單位個數遞減的運作過程。當高一級的計數單位不夠平均分時，需轉化為低一級的計數單位繼續(xù)分，最終獲得運算結果。

3. 分數乘除法

分數乘法包括分數乘整數和分數乘分數，是計數單位（分數單位）個數累加的運作過程。其運算意義與小數乘法運算意義相同，這也說明了兩者運算實質是相同的。例如，×（如圖10所示），表示的是

的是多少，需要把平均分成5份，取其中的1份，這顯然需要新的計數單位（分數單位）。我們把“1”平均分成（2×5）份，找到了新的計算單位（分數單位），再進行累加就可以得到最終的結果。?

分數除法包括分數除以整數、整數除以分數和分數除以分數。相對于其他的運算而言，分數除法比較難理解。例如，分數除以整數，÷3（如圖11所示），4個平均分成3份，分數單位的個數不能正好平均分，這時候就需要產生新的計數單位，把大的計數單位細分成小的計數單位，分數單位的個數4變成了12，正好能夠平均分。再如，整數除以分數，2÷（如圖12所示），表示的是2里面有幾個，2是以“一”為計數單位的，的計數單位（分數單位）是，計數單位不同，這時候就要把大的計數單位細分成小的計數單位，2就細分成了，這時再做÷，計數單位（分數單位）的個數就可以相除了，結果是3。由此，分數除法的運算核心也是計數單位（分數單位）個數遞減的運作過程。當高一級的計數單位不夠平均分時，需要轉化為低一級的計數單位繼續(xù)平均分，最終獲得運算結果。

從上面的分析中，我們可以清晰地看出核心概念“計數單位”在運算學習中所起的“牽一發(fā)而動全身”的作用。它將零散的知識不斷地吸納進來，并連綴在一起，形成一個相互關聯的知識結構[2]。從這里，我們也可以看出這個知識結構是動態(tài)生成的，因為它在不斷地勾連新舊知識。這種不斷勾連的過程，會使學生在研究其他數學知識時，從核心概念出發(fā)去研究，為他們理解數學邏輯之美奠定了堅實的基礎。

馬芯蘭老師經常教導我們：學生一旦感悟了“核心概念”在學習中的核心地位，就具有了自主學習遷移的能力，因為他知道了知識的“根”在哪里。發(fā)現了知識的“根”，已學習的舊知識就具有了“生命”，自主遷移學習到的新知識也就必然成為思維創(chuàng)新的產物！

參考文獻

[1] 董文彬.基于度量角度整體把握數的運算教學[J].新課程研究，2019（18）：14-17.

[2] 馬芯蘭，孫佳威.開啟學生的數學思維：對馬芯蘭數學教育思想的再認識[M].北京：北京師范大學出版社，2020：10-17.

責任編輯：趙繼瑩

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