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        勒讓德方程本征值的確定

        2021-05-07 09:24:26楊守文王海軍
        大學(xué)數(shù)學(xué) 2021年2期
        關(guān)鍵詞:級數(shù)定義域鄰域

        楊守文, 王海軍

        (吉林大學(xué) 物理學(xué)院,長春130012)

        1 引 言

        針對勒讓德方程的求解,大部分?jǐn)?shù)學(xué)物理方法教材,通常采用常點鄰域的級數(shù)解法進(jìn)行求解[1-4],然后針對勒讓德多項式的性質(zhì)進(jìn)行深入學(xué)習(xí)[5-6].然而,勒讓德方程中的本征值λ一般直接寫成l(l+1)形式,即

        在求解過程中,對本征值λ為什么可以寫成l(l+1)的形式,而不寫成其他的表示形式,大部分教材沒有給出詳細(xì)的說明.每次學(xué)習(xí)到這部分內(nèi)容,學(xué)生都會對此產(chǎn)生疑問:為什么本征值λ可以直接寫成l(l+1)的這種特殊的形式?

        針對這個問題,本文對勒讓德方程本征值λ的表示形式進(jìn)行深入的討論.

        2 勒讓德方程的級數(shù)解法

        勒讓德本征方程的一般形式為

        (1)

        其中-1≤x≤1,λ為本征值.

        根據(jù)常點鄰域的級數(shù)解法,勒讓德方程的解y(x)可以在x=0的鄰域內(nèi)進(jìn)行泰勒級數(shù)展開

        (2)

        將(2)式代入(1)式,整理可得

        上式的左邊是一個關(guān)于x的多項式.要保證對于任意的x,上式恒成立,必須要求每一項xn(n=0,1,2,…)的系數(shù)均為零.因此,通過數(shù)學(xué)歸納法,可以得到系數(shù)的遞推公式

        (3)

        由遞推公式(3)可知,c2k(k=1,2,…)最終可用c0表示,c2k+1(k=1,2,…)最終可用c1表示.因此,可以通過(3)式,可以推導(dǎo)出偶次冪項系數(shù)c2k和c0的關(guān)系

        (4)

        以及奇次冪項系數(shù)c2k+1和c1的關(guān)系

        因此,勒讓德方程的泰勒級數(shù)解(2)可以分成偶次冪項之和與奇次冪項之和

        y(x)=c0y0(x)+c1y1(x),

        其中

        y0(x)和y1(x)在定義域-1≤x≤1均是無窮級數(shù),因此必須判斷它們在定義域內(nèi)的收斂性.與大部分教材類似,很容易判斷出y0(±1)和y1(±1)是發(fā)散的,關(guān)于無窮級數(shù)的收斂性此處不再贅述.要找的勒讓德方程的解必須滿足邊界條件y(±1)有界.如果無窮級數(shù)y0(x)、y1(x)可以退化成有限項的多項式,那么y(x)在x=±1發(fā)散的問題就不存在了.

        由公式(3)可進(jìn)一步得到偶次冪項系數(shù)相鄰兩項的遞推公式

        (5)

        由上式可知,當(dāng)本征值λ=2n(2n+1)時,系數(shù)c2n+2=0,繼而由遞推關(guān)系可得c2n+4,c2n+6,…=0.因此,無窮級數(shù)y0(x)將被截斷成多項式,其在定義域內(nèi)自然是收斂的.而此時,無窮級數(shù)y1(x)在邊界x=±1仍然發(fā)散.要保證通解y(x)有界,必然要求c1=0.

        因此,勒讓德方程的通解退化為

        y(x)=c0y0(x),

        其中y0(x)是一個在定義域-1≤x≤1收斂的、最高次冪為2n的多項式,即

        (6)

        將λ=2n(2n+1)代入(4)式,系數(shù)c2k可簡化為

        (7)

        將(7)式代入(6)式,整理可得

        進(jìn)一步令系數(shù)

        則可得勒讓德方程的本征解為

        上式是當(dāng)λ=2n(2n+1)(n=0,1,…),勒讓德方程的本征解.用一個專用函數(shù)P2n(x)來表示

        其中,n=0,1,2,….

        或者,用l表示,令l=2n,則

        (8)

        其中,l=0,2,4,….

        同理,當(dāng)λ=(2n+1)(2n+2)時,由公式(3)可得系數(shù)

        繼而通過遞推公式可得系數(shù)c2n+5=c2n+7=…=0.因此,無窮級數(shù)y1(x)被截斷成多項式,在定義域內(nèi)是收斂的.而此時,無窮級數(shù)y0(x)在邊界x=±1仍然發(fā)散,要保證通解y(x)有界,此時必須要求c0=0,因此,勒讓德方程退化為

        y(x)=c1y1(x),

        其中,y1(x)為一個最高次冪為2n+1的多項式,經(jīng)過與y0(x)類似的推導(dǎo)過程,可得

        (9)

        其中,l=1,3,5,…

        由(8)和(9)可以看出,當(dāng)λ=2n(2n+1)和λ=(2n+1)(2n+2)時,得到的勒讓德多項式的表達(dá)式是一樣的.因此,可以把(8)和(9)式合并成一個公式,即當(dāng)λ=l(l+1)時,勒讓德方程的本征解寫為

        (10)

        其中,[l/2]表示不超過l/2的最大整數(shù),即

        3 結(jié) 論

        本文直接從勒讓德方程的一般形式出發(fā),利用常點鄰域的級數(shù)解法,確定了本征值λ=l(l+1)的緣由.與現(xiàn)有教材相比,學(xué)生更容易理解這種直接確定勒讓德本征值形式的方法.

        致謝作者非常感謝吉林大學(xué)物理學(xué)院本科生對數(shù)學(xué)問題的積極求索以及審稿專家提出的寶貴意見.

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