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        勒讓德方程本征值的確定

        2021-05-07 09:24:26楊守文王海軍
        大學(xué)數(shù)學(xué) 2021年2期
        關(guān)鍵詞:級(jí)數(shù)定義域鄰域

        楊守文, 王海軍

        (吉林大學(xué) 物理學(xué)院,長(zhǎng)春130012)

        1 引 言

        針對(duì)勒讓德方程的求解,大部分?jǐn)?shù)學(xué)物理方法教材,通常采用常點(diǎn)鄰域的級(jí)數(shù)解法進(jìn)行求解[1-4],然后針對(duì)勒讓德多項(xiàng)式的性質(zhì)進(jìn)行深入學(xué)習(xí)[5-6].然而,勒讓德方程中的本征值λ一般直接寫(xiě)成l(l+1)形式,即

        在求解過(guò)程中,對(duì)本征值λ為什么可以寫(xiě)成l(l+1)的形式,而不寫(xiě)成其他的表示形式,大部分教材沒(méi)有給出詳細(xì)的說(shuō)明.每次學(xué)習(xí)到這部分內(nèi)容,學(xué)生都會(huì)對(duì)此產(chǎn)生疑問(wèn):為什么本征值λ可以直接寫(xiě)成l(l+1)的這種特殊的形式?

        針對(duì)這個(gè)問(wèn)題,本文對(duì)勒讓德方程本征值λ的表示形式進(jìn)行深入的討論.

        2 勒讓德方程的級(jí)數(shù)解法

        勒讓德本征方程的一般形式為

        (1)

        其中-1≤x≤1,λ為本征值.

        根據(jù)常點(diǎn)鄰域的級(jí)數(shù)解法,勒讓德方程的解y(x)可以在x=0的鄰域內(nèi)進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)

        (2)

        將(2)式代入(1)式,整理可得

        上式的左邊是一個(gè)關(guān)于x的多項(xiàng)式.要保證對(duì)于任意的x,上式恒成立,必須要求每一項(xiàng)xn(n=0,1,2,…)的系數(shù)均為零.因此,通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法,可以得到系數(shù)的遞推公式

        (3)

        由遞推公式(3)可知,c2k(k=1,2,…)最終可用c0表示,c2k+1(k=1,2,…)最終可用c1表示.因此,可以通過(guò)(3)式,可以推導(dǎo)出偶次冪項(xiàng)系數(shù)c2k和c0的關(guān)系

        (4)

        以及奇次冪項(xiàng)系數(shù)c2k+1和c1的關(guān)系

        因此,勒讓德方程的泰勒級(jí)數(shù)解(2)可以分成偶次冪項(xiàng)之和與奇次冪項(xiàng)之和

        y(x)=c0y0(x)+c1y1(x),

        其中

        y0(x)和y1(x)在定義域-1≤x≤1均是無(wú)窮級(jí)數(shù),因此必須判斷它們?cè)诙x域內(nèi)的收斂性.與大部分教材類(lèi)似,很容易判斷出y0(±1)和y1(±1)是發(fā)散的,關(guān)于無(wú)窮級(jí)數(shù)的收斂性此處不再贅述.要找的勒讓德方程的解必須滿足邊界條件y(±1)有界.如果無(wú)窮級(jí)數(shù)y0(x)、y1(x)可以退化成有限項(xiàng)的多項(xiàng)式,那么y(x)在x=±1發(fā)散的問(wèn)題就不存在了.

        由公式(3)可進(jìn)一步得到偶次冪項(xiàng)系數(shù)相鄰兩項(xiàng)的遞推公式

        (5)

        由上式可知,當(dāng)本征值λ=2n(2n+1)時(shí),系數(shù)c2n+2=0,繼而由遞推關(guān)系可得c2n+4,c2n+6,…=0.因此,無(wú)窮級(jí)數(shù)y0(x)將被截?cái)喑啥囗?xiàng)式,其在定義域內(nèi)自然是收斂的.而此時(shí),無(wú)窮級(jí)數(shù)y1(x)在邊界x=±1仍然發(fā)散.要保證通解y(x)有界,必然要求c1=0.

        因此,勒讓德方程的通解退化為

        y(x)=c0y0(x),

        其中y0(x)是一個(gè)在定義域-1≤x≤1收斂的、最高次冪為2n的多項(xiàng)式,即

        (6)

        將λ=2n(2n+1)代入(4)式,系數(shù)c2k可簡(jiǎn)化為

        (7)

        將(7)式代入(6)式,整理可得

        進(jìn)一步令系數(shù)

        則可得勒讓德方程的本征解為

        上式是當(dāng)λ=2n(2n+1)(n=0,1,…),勒讓德方程的本征解.用一個(gè)專(zhuān)用函數(shù)P2n(x)來(lái)表示

        其中,n=0,1,2,….

        或者,用l表示,令l=2n,則

        (8)

        其中,l=0,2,4,….

        同理,當(dāng)λ=(2n+1)(2n+2)時(shí),由公式(3)可得系數(shù)

        繼而通過(guò)遞推公式可得系數(shù)c2n+5=c2n+7=…=0.因此,無(wú)窮級(jí)數(shù)y1(x)被截?cái)喑啥囗?xiàng)式,在定義域內(nèi)是收斂的.而此時(shí),無(wú)窮級(jí)數(shù)y0(x)在邊界x=±1仍然發(fā)散,要保證通解y(x)有界,此時(shí)必須要求c0=0,因此,勒讓德方程退化為

        y(x)=c1y1(x),

        其中,y1(x)為一個(gè)最高次冪為2n+1的多項(xiàng)式,經(jīng)過(guò)與y0(x)類(lèi)似的推導(dǎo)過(guò)程,可得

        (9)

        其中,l=1,3,5,…

        由(8)和(9)可以看出,當(dāng)λ=2n(2n+1)和λ=(2n+1)(2n+2)時(shí),得到的勒讓德多項(xiàng)式的表達(dá)式是一樣的.因此,可以把(8)和(9)式合并成一個(gè)公式,即當(dāng)λ=l(l+1)時(shí),勒讓德方程的本征解寫(xiě)為

        (10)

        其中,[l/2]表示不超過(guò)l/2的最大整數(shù),即

        3 結(jié) 論

        本文直接從勒讓德方程的一般形式出發(fā),利用常點(diǎn)鄰域的級(jí)數(shù)解法,確定了本征值λ=l(l+1)的緣由.與現(xiàn)有教材相比,學(xué)生更容易理解這種直接確定勒讓德本征值形式的方法.

        致謝作者非常感謝吉林大學(xué)物理學(xué)院本科生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的積極求索以及審稿專(zhuān)家提出的寶貴意見(jiàn).

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