劉筱玥， 江 滟， 邵 悅

(揚州大學 數(shù)學科學學院，江蘇 揚州225002)

1 引 言

(1)

的mild解的存在性，其中Dα表示α階Riemann-Liouville分數(shù)階導數(shù)，Iγ表示γ階黎曼-劉維爾型的分數(shù)階積分，f∶[0，1]×→定義為特定函數(shù)，它符合相應條件.

階為分數(shù)的微積分是由經(jīng)典整數(shù)階微積分推廣而來，在記憶和遺傳材料，流變學和力學系統(tǒng)，高分子材料等物理化學領域都有著廣闊的現(xiàn)實價值.在非整數(shù)階的微積分理論不斷開拓創(chuàng)新的大背景下，階為分數(shù)的微積分已經(jīng)成為數(shù)學界研究的熱點.文獻[1]在Banach空間中討論了非線性分數(shù)階微分方程邊值都為零的情況下解是否存在的問題.

本文旨在討論特定的非線性的分數(shù)階的微分方程在其邊值不等于零時解是否存在的問題，設微分方程及其邊值為(1)式.綜合運用Schauder不動點定理等，嘗試討論f在一些比較弱的條件下，邊值問題(1)的適度解是否存在，例如條件為：Caratheodory型條件等.由于當函數(shù)的初始值非零時，Riemann-Liouville分數(shù)階導數(shù)的奇異性帶來困擾，因而初始值非零的情形并非對初始值為零的簡單推廣.

2 預備知識

定義1[2]設h∈L1([a，b];)，α>0，定義算子)→C([a，b];)為

定義2[2]設h∶[a，b]→，α>0，n=[α]+1，定義

則上式叫h在t點的α階Riemann-Liouville分數(shù)階導數(shù)， 式子中的[α]是指實數(shù)α的整數(shù)部分.

根據(jù)Riemann-Liouville分數(shù)階積分的定義，能夠推導得到，算子I對指標滿足半群性質(zhì)，也就是說，對于α，β>0，t∈[a，b]，有

引理1[2]若Dαu∈L1([0，T];)，n-1≤α

3 mild解的存在性

為討論邊值問題(1)解的定義，先討論相應的線性方程.設g∈C([0，1];)，α∈(1，2)，β∈(0，1).考慮分數(shù)階線性微分方程邊值問題

方程兩邊作用積分算子Iα，得

IαDαu(t)=aIαDβu(t)-Iαg(t).

(2)

由于1<α<2，由引理1知，存在常數(shù)c1，c2，使得

IαDαu(t)=u(t)+c1tα-1+c2tα-2.

(3)

由α階Riemann-Liouville分數(shù)階積分的性質(zhì)得

IαDβu(t)=Iα-βIβDβu(t).

(4)

由于0<β<1，由引理1知，存在常數(shù)c3，使得

IβDβu(t)=u(t)+c3tβ-1.

(5)

將(5)式代入(4)式得

IαDβu(t)=Iα-βu(t)+c3Iα-βtβ-1.

(6)

代入(6)式得

(7)

將(3)，(7)式代入(2)式，得

化簡后得

上式兩邊應用積分算子I2-α，得

(8)

即

(9)

令

(10)

則(9)式可化為

(11)

在此基礎上，到了邊值問題(1)對應的mild解，并給出定義3.

則稱u是邊值問題(1)的一個mild解，其中P，G1，G2由(10)給出.

記空間C2-α(0，1]={x:(0，1]→|x連續(xù)且存在}.定義范數(shù)為

于是此作出以下假設

(T1)f(0，1]×→，符合Caratheodory條件，也就是對于幾乎處處t∈(0，1]，f(t，·):→連續(xù)；對于u∈，f(·，u):(0，1]→可測.

(T2) ?h∈Lp((0，1];+)，Ω∶(0，+∞)→(0，+∞)非減局部有界，使得?t∈(0，1]，x∈X，有

|f(s，u(s))|≤h(s)Ω(‖u‖)，

且

定理1若(T1)、(T2)成立且k1<1，則邊值問題(1)有解.

證定義算子T∶C2-α(0，1]→C2-α(0，1]，為

那么容易看出T的不動點就會成為滿足邊值問題(1)的mild解.下面用Schauder不動點定理來輔助證明t2-αTu(t)在題設范圍內(nèi)存在不動點.

顯然，通過條件(T1)， (T2)以及輔助應用控制收斂定理，可以知道T連續(xù).

下一步，要證明有界閉凸集U?B，0∈U的存在，可以使之滿足TU?U，事實是可以證明，由(T2)，有

因此可取r>0，使得

從而有

Ω(r)k2‖h‖p+k3+rk1≤r.

(12)

記U={u∈C2-α(0，1]∶‖u‖≤r}，則顯然U是C2-α的有界閉凸集，對?u∈U，t∈(0，1]， 由(T2)及(8)式，利用赫爾德不等式，可得

≤k3+rk1+Ω(r)‖h‖pk2≤r.

由上面可以推導出t2-αTU?U.而且也容易得到t2-αTU一致有界.

下一步需要證明T映C2-α中有界集為等度連續(xù)集.首先需要假設U?C2-α為有界集，則存在r>0，使得?u∈U，有‖u‖≤r，任取t1，t2∈(0，1]，設t2>t1，則

=I1+I2+I3+I4+I5.

(13)

由于

(14)

由于α∈(1，2)，β∈(0，1)，利用積分的絕對連續(xù)性，由(9)-(14)式可得當t2-t1→0時

因此t2-αT映C2-α中有界集為等度連續(xù)集.

至此，證明了t2-αT是連續(xù)的，映有界集為等度連續(xù)集，從而t2-αT為連續(xù)的緊映射，即滿足Schauder不動點定理，因此t2-αT不動點的存在性得以證明， 亦即T不動點的存在性也得以證明，故邊值問題(1)mild解的存在性已證明完畢.定理得證.

進一步地，定理1中的增長性條件(T2)完全可以由下面的次線性增長替換.

(T3) 存在a1，a2∈Lp([0，1]∶+)，使得|f(t，u(s))|≤a1(t)+a2(t)‖u‖，?t∈(0，1]，x∈X.

為方便起見，以下記：

定理2若(T1)， (T3)成立，且0

證此定理的證明與定理1的證明非常類似，首先需要定義一個算子T:B→B

≤N3+rN1+N2.

由r的取法可知，N3+rN1+N2≤r，故得‖Tu‖≤r.因此，TU∈U.從以上證明中易見TU一致有界.下面證Tu等度連續(xù).由前證知Tu有界，任取t1，t2∈[0，1]，t1

其中

由此易知，t2-αT映C2-α中有界集為等度連續(xù)集.

到這里，已經(jīng)完成了證明了t2-αT連續(xù)性的證明，以及滿足映有界集為等度連續(xù)集的條件，從而t2-αT為連續(xù)的緊映射，并且使之可以符合應用Schauder不動點定理的條件，從而得知t2-αT在題設區(qū)間內(nèi)不動點的存在性，也就是說T存在不動點，故存在滿足邊值問題(1)的mild解.至此，定理證明完畢.

4 結(jié) 論

本文研究了一類廣義的Bagley-Torvik方程的邊值問題解的存在性.討論是邊值非零的情形.由于Riemann-Liouville分數(shù)階導數(shù)當初始值非零時具有弱奇異性，因此討論的問題并非齊次邊值問題的簡單推廣.首先討論相應的線性方程，由此得到此類問題的Green函數(shù)，給出mild解的定義.在加權(quán)的連續(xù)函數(shù)空間中，利用Schauder 不動點定理，證明了邊值問題(1)的mild解存在的充分條件.

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.