周 燕, 林麗瓊, 任立英
(福州大學 數學與計算機科學學院,福州350108)
眾所周知,無窮小等價替換極大簡化了一些極限的求解[1],但在具體應用過程中,細節(jié)的錯誤經常會出現(xiàn).比如應用無窮小等價替換計算極限時,要求在x0的某個去心鄰域里沒有零點,很多人在做題過程中往往忽略這一點.
例如錯誤做法:
二元函數極限的判別與求解方法眾多[2-3],其中應用極坐標計算二元函數的極限是常用的一種方法,但應用時有諸多復雜的限制[4-5],本文針對一類特殊函數給出了便于計算應用的若干結論.
類似地有
證法同引理1
(i) 在E中,β(x)與β1(x)的零點相同,記E1={x∈E|β(x)=0}={x∈E|β1(x)=0};
(ii) 對任意ε>0,存在0<δ2≤δ1, 當0<|x-x0|<δ2,且x?E1時,有
則
證令
由引理1得
同樣,由引理2可得如下類似結論:
定理2設β(x)與β1(x)為x→x0時的無窮小,在x0的任一去心鄰域,β(x),β1(x)均有零點,γ(x)在x0的某去心鄰域內有定義,若存在x0的某個去心鄰域E={x|0<|x-x0|<δ1}滿足:
(i) 在E中,β(x)與β1(x)的零點相同,記E1={x∈E|β(x)=0}={x∈E|β1(x)=0};
(ii) 對任意ε>0,存在0<δ2≤δ1, 當0<|x-x0|<δ2,且x?E1時,有
則
大家知道應用無窮小等價替換計算極限時,要求在x0的某個去心鄰域里等價替換的函數沒有零點,而定理1則把無窮小等價替換的結論進行了推廣,它說明在求解極限時,分子若應用無窮小等價替換時,允許x0任意去心鄰域函數都有零點,只要滿足兩個無窮小在x0的某個鄰域內零點相同,并且不考慮零點的時候,表達形式滿足通常等價的情況,也即非零點x在充分靠近x0時滿足
則計算極限時是可以將β(x)與β1(x)進行替換的.
經常碰到的題目忽略了等價替換的條件,利用等價替換得到的結果都是正確的,原因就在于題目實際上滿足定理1的條件.
類似一元函數可以證明對于多元函數上述的引理1、引理2以及定理1、定理2也都成立,這里就不逐一敘述,僅以二元函數的情況為例說明定理1的推廣內容.
(i) 在E中,β(x,y)與β1(x,y)的零點相同,記
E1={(x,y)∈E|β(x,y)=0}={(x,y)∈E|β1(x,y)=0};
則
證明與定理1類似,略去.
當t>0時,f′(t)>0,所以2t>ln(1+t)>0,
|ln(1+t)|<|2t|.
(1)
由夾逼準則可得
由上述證明過程可以看出例2若不采用我們證明的定理3,則計算比較麻煩,而且學生不容易想到將ln(1+xy)與2xy進行比較,而選擇應用定理3,則計算簡單.
總而言之,如果在去心鄰域函數出現(xiàn)零點,關鍵要考慮函數無窮小替換時零點是否可以保持,如果可以,事實上應用本文的結論是可以替換的,而且結果是正確的.這樣在計算一元或多元函數極限的問題上方便很多.
下面討論應用極坐標求解極限時易犯的錯誤的問題.比如
該題應用極坐標替換計算極限過程中,將θ當作是常數,計算r→0時的極限,事實上在r→0的過程中,θ也是變化的,是不能當做常數的,所以計算結果是錯誤的.事實上,該函數的極限是不存在的.
那么怎么利用極坐標計算的結果是正確的呢?在文獻[4-5]中給出的具體的命題如下:
命題1[4]設二元函數f(x,y)在點(x0,y0)的某去心鄰域內有定義,則
命題2[5]設(i) 任意θ∈[0,2π],當r→0時f(x,y)=f(rcosθ,rsinθ)→0;
(ii) 存在M>0,使得任意(x1,y1),(x2,y2)有
|f(x1,y1)-f(x2,y2)|≤M(|x1-x2|+|y1-y2|),
上述結論提到的要求比較復雜,且這些結論在具體計算時并不好驗證,本文給出兩種適合計算中應用的方法.
|f(x,y)|=|f(x0+rcosθ,y0+rsinθ)|≤|g(r)h(θ)|<ε,
所以
時,
|f(x,y)-A|=|g(r)h(θ)-A|<1,
故