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        關(guān)于Hardy型不等式的討論

        2021-05-07 09:25:56周爍星樓紅衛(wèi)
        大學數(shù)學 2021年2期
        關(guān)鍵詞:連續(xù)型下界級數(shù)

        周爍星, 樓紅衛(wèi)

        (復(fù)旦大學 數(shù)學科學學院,上海200433)

        1 引 言

        在一些習題集中,有如下有趣的問題:

        例1很自然地可以推廣到其他冪平均的情形.對于整數(shù)n≥1和實數(shù)α,來定義非負數(shù)列a1,a2,…,an的冪平均.

        首先,若α>0,或α<0且a1,a2,…,an>0,則定義

        (1)

        若α<0,且a1,a2,…,an至少一個為零,則令Mα(a1,a2,…,an)=0.

        最后,定義

        (2)

        易見Mα(a1,a2,…,an)關(guān)于α∈(-∞,+∞)以及a1,a2,…,an都是單調(diào)增加的.自然地,將例1一般化為如下命題.

        證(i) 由冪平均的單調(diào)性,不妨設(shè)0<α<1.由H?lder不等式,有

        從而

        (3)

        為討論連續(xù)性的問題,對于實數(shù)α以及[0,+∞)上非負可積函數(shù)f,來定義函數(shù)f的冪平均函數(shù)Mα(f).設(shè)x>0.

        若α>0,或α<0且f有正下界,則直接定義

        (4)

        對于α<0 但f不一定有正下界,用下式定義

        (5)

        類似地,對于α=0,定義

        (6)

        類似于Mα,Mα(f)關(guān)于α單調(diào)增加.當f,g非負可積且f≥g時,Mα(f)≥Mα(g).

        例1有以下連續(xù)型的推廣.

        證(i) 由冪平均的單調(diào)性,不妨設(shè)0<α<1.由H?lder不等式,有

        因此

        (7)

        2 離散型結(jié)果的一般化

        為方便起見,引入如下定義.

        有如下命題.

        命題2設(shè)g∶[0,+∞]→[-∞,+∞]連續(xù)且嚴格單調(diào).若k≠0,b∈(-∞,+∞),則f∶=kg+b也是 [0,+∞]映到[-∞,+∞]的嚴格單調(diào)函數(shù).則對任何非負實數(shù)列a1,a2,…,an成立

        特別地,此時f具有性質(zhì)PD當且僅當g具有性質(zhì)PD.

        由此即得命題.

        證必要性顯然.只需要證明充分性.

        不妨設(shè)f嚴格單調(diào)遞增,否則由命題2,考慮-f即可.

        f(b1)+f(b2)+…+f(bN)≤Nf(δ).

        命題3表明f是否具有性質(zhì)PD只與它在0點附近的取值有關(guān).作為其推論,易得如下命題.

        命題4設(shè)f,g∶[0,+∞]→[-∞,+∞]均連續(xù)且嚴格單調(diào),f具有性質(zhì)PD.若存在正常數(shù)C1,C2,δ使得對于x∈(0,δ)成立f(C1x)≤g(x)≤f(C2x),則g也具有性質(zhì)PD.

        命題5設(shè)f∶[0,+∞]→[-∞,+∞],g∶[-∞,+∞]→[-∞,+∞]均連續(xù)且嚴格單調(diào),f具有性質(zhì)PD.進一步,設(shè)以下條件之一成立: (i)f單增,g-1凸; (ii)f單減,g-1凹.則g°f也具有性質(zhì)PD.

        證對于非負數(shù)列{an},有

        由此即得g°f也具有性質(zhì)PD.

        提請讀者注意,在g∶[-∞,+∞]→[-∞,+∞]嚴格單調(diào)的前提下,g-1凸當且僅當g凹且單增或g凸且單減.而g-1凹當且僅當g凸且單增或g凹且單減.

        3 連續(xù)型的進一步推廣

        類似于定義1,引入如下定義.

        仿命題3,可以建立如下命題.

        以下命題給出了性質(zhì)PD與PC之間的等價性.

        命題7設(shè)f∶[0,+∞]→[-∞,+∞]嚴格單調(diào).則f具有性質(zhì)PD當且僅當在f具有性質(zhì)PC.

        4 結(jié) 語

        從一個收斂的正項級數(shù)出發(fā),引入由級數(shù)的一般項的各種平均產(chǎn)生的新的一般項,考察新的級數(shù)的收斂性.類似問題曾經(jīng)由著名數(shù)學家 Hardy 加以研究并得到優(yōu)美的結(jié)果.本文將有關(guān)結(jié)果推廣到更廣泛的情形,同時對一些特例簡化了證明.文章較好地體現(xiàn)了發(fā)現(xiàn)問題并逐步深入研究最終得到一些有意義的成果的過程.

        致謝本文受益于復(fù)旦大學數(shù)學科學學院蘇步青班的無學分討論班和“莙政基金”大學生見習研修計劃等.感謝相關(guān)文獻對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見!

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