林小波

[摘 ?要] 對數(shù)學建模的理解，既要涉及對數(shù)學模型概念的理解，也應當涉及對數(shù)學建模目的的理解. 數(shù)學建模既是教學內(nèi)容又是學生的學習方式，只有當學生有了數(shù)學建模的意識，并且能夠運用到新知識的學習過程中，數(shù)學建模才能真正地發(fā)揮對學生數(shù)學學習的促進作用. 數(shù)學建?？梢耘囵B(yǎng)學生的概括能力，可以培養(yǎng)學生的應用能力. 在初中數(shù)學教學中要評價數(shù)學建模的教學水平，很重要的一個著力點就是看學生的應用水平. 一個知識教學中的數(shù)學建模應用意識，可以遷移到新的知識教學中，這種遷移能力本質(zhì)上也是核心素養(yǎng)所強調(diào)的關(guān)鍵能力，是今后數(shù)學教學的重要施力點.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學;數(shù)學建模;教學實踐;應用意識

無論是在傳統(tǒng)的教學事業(yè)中，還是在核心素養(yǎng)培育的背景之下，數(shù)學建模一直受到高度的關(guān)注，其原因就是數(shù)學知識的建構(gòu)，很大程度上與數(shù)學建模密切相關(guān)，尤其是隨著人們對數(shù)學建模的研究不斷深入，關(guān)于數(shù)學建模概念的理解也在不斷拓展，可以說數(shù)學模型概念的內(nèi)涵與外延已經(jīng)得到了充分的拓展，人們將數(shù)學概念及數(shù)學規(guī)律都納入了對數(shù)學模型的研究范疇. 應當說這一拓展是有其實際背景的. 20世紀以來，科學技術(shù)得到了飛速發(fā)展，數(shù)學在這個發(fā)展過程中起到了非常重大的作用. 很大程度上數(shù)學學科所發(fā)揮的作用，都可以理解為數(shù)學模型所發(fā)揮的作用. 今天，社會對數(shù)學的需求不止數(shù)學家，還包括大量善于運用數(shù)學知識和數(shù)學思維解決實際問題的各種人才——把實際問題化成數(shù)學問題進行解決，這正是數(shù)學建模的基本理解.

數(shù)學建模是如此的重要，因此可以說每個數(shù)學教師都會在自己的課堂上引導學生建立數(shù)學模型. 于是從概念的建立或者規(guī)律的探究的教學中，數(shù)學建模可以說無處不在. 這里建議思考一個問題：當我們在研究數(shù)學建模的時候，具體在研究什么？對數(shù)學建模的理解，既要涉及對數(shù)學模型概念的理解，也應當涉及對數(shù)學建模目的的理解. 如果說關(guān)于數(shù)學模型的概念，前面已經(jīng)進行了基本的闡述，那么面向初中學生進行數(shù)學建模的教學，其目的又是什么？筆者以為，回答這個問題必須認識到數(shù)學建模既是教學內(nèi)容又是學生的學習方式，只有當學生有了數(shù)學建模的意識，并且能夠運用到新知識的學習過程中，數(shù)學建模才算是真正地發(fā)揮了對學生數(shù)學學習的促進作用. 因此從這個角度來看，應用意識的培養(yǎng)應當是數(shù)學建模教學的重要指向！下面就結(jié)合這個觀點談談筆者的一些初步探索與理解.

數(shù)學建模在初中數(shù)學教學中

的意義

認識數(shù)學建模在初中數(shù)學教學中的意義，是展開數(shù)學建模教學的第一步. 絕大多數(shù)情況下，初中數(shù)學教師對數(shù)學建模的理解，都是將其定位在教學方法之上的. 正如一些同行所說，初中數(shù)學模型教學是很多教師普遍采用的一種教學方法，這種方法可以讓學生更好地理解數(shù)學知識之間的關(guān)系，更好地掌握數(shù)學知識，提高數(shù)學思維能力. 而在此基礎(chǔ)上需要提醒的是：教師在使用模型教學時應注重數(shù)學語言的轉(zhuǎn)換、構(gòu)建數(shù)學知識結(jié)構(gòu)、感悟數(shù)學模型與實際的關(guān)系，講清模型的特點并且讓學生體會從多角度思考問題. 應當說這樣的闡述已經(jīng)初步觸及了數(shù)學建模之于學生數(shù)學學習的意義，然而只有這種理解又是不夠的，數(shù)學建模在初中數(shù)學教學中的意義至少還應當包括如下兩點：

第一，數(shù)學建模可以培養(yǎng)學生的概括能力. 盡管數(shù)學建模在數(shù)學學科核心素養(yǎng)體系中，可以說是最重要的因素，然而從能力表征的角度來看，數(shù)學學習中最重要的能力之一應當是概括能力（從這個角度來看，概括能力應當是核心素養(yǎng)所強調(diào)的關(guān)鍵能力的重要組成部分）. 概括意味著能夠從諸多要素中選擇建構(gòu)某一個數(shù)學概念或者規(guī)律所需要的要素，然后通過分析與綜合等，尋找到這些要素之間的關(guān)系，并且能夠用數(shù)學語言來描述這些關(guān)系. 很顯然，只有在數(shù)學建模的過程中，這一特點才能夠充分顯現(xiàn)出來，因此數(shù)學建?？梢再x予學生一個足夠的空間用來發(fā)展自身的概括能力.

第二，數(shù)學建?？梢耘囵B(yǎng)學生的應用能力. 數(shù)學知識是抽象的，很多時候數(shù)學也被認為是遠離生活的;但事實上，數(shù)學與生活的關(guān)系是密切的，以至于在今天社會的每一個領(lǐng)域中，數(shù)學都無處不在. 只有當學生認識到數(shù)學與生活的這種密切關(guān)系時，才能養(yǎng)成數(shù)學應用于生活的意識，而只有學生有了這樣的意識，才能夠真正發(fā)展他們將數(shù)學應用于生活的能力. 在數(shù)學學科核心素養(yǎng)中，數(shù)學建模被理解為“用數(shù)學的思維思考世界”，對于學生而言數(shù)學就是生活，因此“用數(shù)學的思維思考世界”就可以理解為“用數(shù)學的思維思考生活”，而這正是數(shù)學建模在生活中的應用.

指向應用意識培養(yǎng)的數(shù)學建

模教學

只有當應用意識培養(yǎng)成為數(shù)學建模的重要指向時，數(shù)學建模作為知識建構(gòu)過程中的重要助力，才能建立起正確的理解并且運用于教學. 有研究表明，影響學生數(shù)學建模能力發(fā)展的4個因素是動機態(tài)度、知識經(jīng)驗、認知過程、元認知. 在重點關(guān)注這4個因素的基礎(chǔ)之上，培養(yǎng)學生數(shù)學建模能力的策略為：拓展最近發(fā)展區(qū)，強化問題意識，建構(gòu)思維模式，調(diào)用監(jiān)控系統(tǒng). 當然，這一策略的具體運用，本質(zhì)上還是要培養(yǎng)學生的應用意識.

例如，在“一元二次方程”這一知識的教學中，在情境創(chuàng)設時，教師就應當注意學生應用意識的培養(yǎng)，這可以借助于生活中的一些素材. 比如，“給你一張長為100厘米、寬為50厘米的長方形硬紙板，在它的4個角各切取一個同樣的正方形，然后將4周凸出的部分折起來，就能制作成一個無蓋的方盒. 如果要想讓制作的無蓋方盒的底面積是3600平方厘米，那么硬紙板的各角應切取多大的正方形？”

當這樣的一個情境呈現(xiàn)在學生面前時，學生很容易根據(jù)情境的描述，在大腦中形成相應的表象. 隨后學生在解決問題時，自然也會想到運用方程來解決問題. 這個時候教師可以充分放手，讓學生自己進行探究. 此時絕大多數(shù)學生都能夠通過未知數(shù)x（正方形的邊）的假設，得出方程x2-75x+350=0. 在學生得出這個方程之后，教師還可以借助于這一思路，選擇新的生活素材來創(chuàng)設情境，然后讓學生再次得到一個新的一元二次方程（當然這個時候并不給出這個概念）. 隨后，教師就要引導學生去分析與綜合，于是“一個未知數(shù)”“最高次數(shù)是2”等特征就會被學生自主發(fā)現(xiàn). 這個時候，一元二次方程的概念也就呼之欲出了.

當然，從數(shù)學建模應用意識培養(yǎng)的角度來看，教學過程還沒有最終完成，而這也正是在傳統(tǒng)教學基礎(chǔ)上尋得突破的重要環(huán)節(jié). 筆者此時設計的是先向?qū)W生提出一個問題：從上面例子的分析與綜合中，你覺得在什么情況下會運用到一元二次方程來解決問題？

這個問題的提出，實際上可以驅(qū)動學生對上面的例子進行回顧與更具深度的分析. 更重要的是，在這個問題的引導下，部分學生開始進行了一次嘗試，即編制運用一元二次方程來解答的問題. 這在傳統(tǒng)教學中是不會出現(xiàn)的一個環(huán)節(jié)，因為這個過程是學生基于自身對一元二次方程的理解到生活中尋找相應的素材（也可能是到自己的經(jīng)驗體系中尋找素材），然后再基于問題的邏輯關(guān)系來編制題目.

坦率地講，這個過程是具有一定挑戰(zhàn)性的，一個5人小組中通常是3個學生在另外2個學生的引導下去展開思考的. 與此同時，這個過程又是有收獲的，學生確實能夠根據(jù)自己的理解去編制一些題目. 比如，有學生就編制了這樣的一個問題：如果要給上述的無蓋紙盒加一個蓋子，且蓋子豎著部分的長度為4厘米，那么這個蓋子應當如何制作？這個問題實際上是上述問題的延伸，雖然是一個簡單的題目，但是體現(xiàn)了學生內(nèi)在的運用一元二次方程解決問題的意識，而這正是數(shù)學建模意識的培養(yǎng)契機.

用應用水平評價數(shù)學建模的

教學水平

后來的教學表明，隨著學生對一元二次方程的理解越來越深入，他們發(fā)現(xiàn)生活中許多問題的解決都可以借助于一元二次方程來進行，這是一種將一元二次方程與生活形成密切聯(lián)系的過程，以一元二次方程為表征的數(shù)學建模應用意識也就得到了充分的培養(yǎng).

在此基礎(chǔ)上進一步思考，筆者以為，在初中數(shù)學教學中要評價數(shù)學建模的教學水平，很重要的一個著力點就是測試學生的應用水平. 這是因為開展數(shù)學建模教學與應用的研究和實踐，本質(zhì)是培養(yǎng)學生的創(chuàng)造能力和應用能力，是為了把學生從純理論解題的題海中解救出來，把學生應用數(shù)學解決問題的意識貫穿于教學的始終. 有了這樣的意識，那么數(shù)學建模在實際的教學中就表現(xiàn)出了很明顯的遷移特征——一個知識教學中的數(shù)學建模應用意識，可以遷移到新的知識教學中，這種遷移能力的本質(zhì)也是核心素養(yǎng)所強調(diào)的關(guān)鍵能力，是今后數(shù)學教學的重要施力點.

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