殷玲 翟洪亮

摘 ?要：文章創(chuàng)設(shè)適切的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生思考數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，對等式的基本性質(zhì)進(jìn)行梳理，歸納其中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法，開展對不等式基本性質(zhì)和常用性質(zhì)的探究. 在教學(xué)中，注重思想方法的滲透和活動經(jīng)驗(yàn)的積累，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)理性思維，落實(shí)“四基”.

關(guān)鍵詞：等式性質(zhì);不等式性質(zhì);“四基”;思想方法

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）指明，高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì). 同時，指明通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得進(jìn)一步學(xué)習(xí)及未來發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗(yàn)，即“四基”. 如何落實(shí)《標(biāo)準(zhǔn)》的要求？筆者認(rèn)為，要先考慮學(xué)生的知識儲備和認(rèn)知能力.

相等關(guān)系和不等式關(guān)系是數(shù)學(xué)中最基本的數(shù)量關(guān)系，利用相等關(guān)系、不等關(guān)系可以構(gòu)建方程、不等式，再通過方程、不等式解決各種數(shù)學(xué)問題或非數(shù)學(xué)問題. 因此，人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》將“等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)”提前，放在必修第一冊的第二章. 現(xiàn)以本節(jié)課的教學(xué)為例，具體闡述如何激發(fā)學(xué)生思維，探索數(shù)學(xué)本質(zhì)，滲透數(shù)學(xué)思想，積累活動經(jīng)驗(yàn)，與大家交流.

一、教學(xué)片斷

1. 因疑設(shè)問，引入課題

師：在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中，存在著大量相等關(guān)系和不等關(guān)系.上一節(jié)課，我們根據(jù)實(shí)際問題中所蘊(yùn)含的不等關(guān)系抽象出了不等式，可以用不等式解決問題了. 你會解不等式[3x-2>0]嗎？

生：因?yàn)閇3x-2>0]，所以[3x>2]. 解得[x>23]. 所以原不等式的解集為[xx>23].

師：你能說出由[3x-2>0]得到[3x>2]的理由嗎？

生：由兩個實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)可以得到.

師（追問）：那么，你能說出由[3x>2]得到[x>23]的理由嗎？

生：在不等式的兩邊同乘以正數(shù)[13]，不等號的方向不變.

師（追問）：為什么在不等式的兩邊同乘以一個正數(shù)，不等號的方向不變呢？

生：不知道，初中就是這樣用的.

師：這其實(shí)是利用了不等式的性質(zhì). 今天我們一起來學(xué)習(xí).

【評析】本節(jié)課是高一上學(xué)期第二章的內(nèi)容. 在此之前，學(xué)生僅學(xué)習(xí)了“集合與常用邏輯用語”，還沒有較強(qiáng)的理性思維能力，因此教師沒有直奔主題，而是讓學(xué)生解簡單的一元一次不等式，通過使學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突，引起懸念，引入課題.

2. 回憶歸納，筑造基石

問題1：上一節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了兩個實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)，你還知道實(shí)數(shù)的其他基本事實(shí)嗎？

師生活動：在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生歸納出如下基本事實(shí).（1）正數(shù)大于0，也大于一切負(fù)數(shù);負(fù)數(shù)小于0，也小于一切正數(shù);（2）正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)，0的相反數(shù)是0;（3）兩個正數(shù)的和仍為正數(shù)，兩個負(fù)數(shù)的和仍為負(fù)數(shù);（4）同號兩數(shù)相乘，其積為正數(shù);異號兩數(shù)相乘，其積為負(fù)數(shù);等等.

【評析】回憶兩個實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)和實(shí)數(shù)常用基本事實(shí)，為學(xué)生證明不等式的性質(zhì)埋下伏筆，提供性質(zhì)的證明依據(jù).

問題2：等式和不等式都是對大小關(guān)系的刻畫，為了能更好地研究不等式的性質(zhì)，我們先來復(fù)習(xí)等式的性質(zhì). 等式有哪些性質(zhì)？

師生活動：學(xué)生獨(dú)立思考后回答，教師引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言來描述，板書性質(zhì)如下. 如果[a=b]，那么[a+c=b+c];如果[a=b]，那么[a-c=b-c];如果[a=b]，那么[ac=bc];如果[a=b，c≠0]，那么[ac=bc].

追問1：這四條性質(zhì)有什么共同之處？（均有第三方[c]，從加、減、乘、除四則運(yùn)算的角度提出性質(zhì).）

追問2：運(yùn)算中，等式是否保持符號不變？（是，反映了等式運(yùn)算的不變性.）

追問3：這四條性質(zhì)是否可以精簡？（減法是加法的逆運(yùn)算，所以前兩條性質(zhì)可以合并為一條性質(zhì);除法是乘法的逆運(yùn)算，所以后兩條性質(zhì)也可以合并為一條性質(zhì).）

追問4：研究數(shù)學(xué)對象，要先對其自身的性質(zhì)進(jìn)行研究. 等式自身還有什么性質(zhì)？

師生活動：一位學(xué)生說出“如果[a=b]，那么[b=a]”和“如果[a=b，b=c]，那么[a=c]”，教師問其如何得知，學(xué)生回答是進(jìn)行了預(yù)習(xí)，教師給予表揚(yáng)，并指明這是等式的“對稱性”和“傳遞性”. 師生調(diào)整順序，共同歸納等式的5條基本性質(zhì).

性質(zhì)1：如果[a=b]，那么[b=a].

性質(zhì)2：如果[a=b，b=c]，那么[a=c].

性質(zhì)3：如果[a=b]，那么[a+c=b+c]，[a-c=b-c].

性質(zhì)4：如果[a=b]，那么[ac=bc].

性質(zhì)5：如果[a=b，c≠0]，那么[ac=bc.]

追問5：等式的性質(zhì)可以分為哪兩類？（自身特性和運(yùn)算中的不變性.）

【評析】等式的性質(zhì)是不等式的性質(zhì)的類比對象，建議不直接給出，而是與學(xué)生一起回憶、歸納，為學(xué)生自主歸納不等式的性質(zhì)做好鋪墊.

3. 類比推理，共同探究

問題3：類比等式自身的特性，試猜想不等式自身有哪些特性？

師生活動：學(xué)生提出猜想“如果[a>b]，那么[b<a]”，教師提出問題串.

追問1：能證明你的猜想嗎？（因?yàn)閇a>b]，所以[a-][b>0]. 又因?yàn)檎龜?shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)，所以[-a-b<0]，于是有[b-a<0]，得[b<a].）

追問2：反過來也對嗎？

追問3：你能用精簡的數(shù)學(xué)符號表示此性質(zhì)嗎？（[a>b][?][b<a].）

追問4：你能利用數(shù)軸說出這個性質(zhì)的幾何意義嗎？

由學(xué)生獨(dú)立完成不等式性質(zhì)2的類比、猜想、證明. 教師板書不等式的性質(zhì)1和性質(zhì)2.

性質(zhì)1：如果[a>b]，那么[b<a];如果[b<a]，那么[a>b]，即[a>b][?][b<a].

性質(zhì)2：如果[a>b]，[b>c]，那么[a>c]，即[a>b]，[b>c][?][a>c].

【評析】對學(xué)生而言，證明性質(zhì)1有點(diǎn)困難，因?yàn)閷W(xué)生缺乏代數(shù)證明的經(jīng)驗(yàn). 但是有之前的鋪墊，通過教師點(diǎn)撥，學(xué)生就能順利完成證明. 在證明了性質(zhì)1的基礎(chǔ)上，性質(zhì)2的證明也不再是難點(diǎn).

問題4：類比等式的運(yùn)算性質(zhì)，試猜想不等式有哪些運(yùn)算性質(zhì)？

師生活動：學(xué)生思考后回答，教師板書性質(zhì)3.

性質(zhì)3：如果[a>b]，那么[a+c>b+c].

師生共同證明：因?yàn)閇a>b]，所以[a-b>0]，則[a+][c-c-b>0]，即[a+c-b+c>0]，所以[a+c>b+c].

追問1：能用文字語言描述性質(zhì)3嗎？

追問2：能用數(shù)軸解釋性質(zhì)3嗎？

追問3：能用性質(zhì)3說出由[3x-2>0]得到[3x>2]的理由嗎？（可以在不等式兩邊同時加上2，所得不等式和原不等式方向相同.）

師：這表明不等式中的任何一項(xiàng)改變符號后可以移到不等號的另一邊. 這也表明實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)和不等式的性質(zhì)是解決問題的基本依據(jù).

接下來，學(xué)生猜想并證明性質(zhì)4.

性質(zhì)4：如果[a>b]，[c>0]，那么[ac>bc];如果[a>b]，[c<0]，那么[ac<bc].

教師指出性質(zhì)1 ～ 性質(zhì)4是不等式的基本性質(zhì)，并再次讓學(xué)生說明由[3x>2]得到[x>23]的理由.

【評析】讓學(xué)生再次解釋不等式[3x>2]的求解過程，既與學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中默認(rèn)的事實(shí)統(tǒng)一，又加深了學(xué)生對性質(zhì)本質(zhì)的理解.

問題5：利用不等式的基本性質(zhì)，可以猜想并證明不等式有哪些常用性質(zhì)嗎？

師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行小組討論，為了防止學(xué)生思維過于發(fā)散，不利于性質(zhì)的歸納，教師指明研究對象是不等式的常用性質(zhì)，并參與小組討論，最后擇優(yōu)展示成果.

小組A由性質(zhì)3是不等式兩邊同加一個數(shù)[c]，利用一般化的思想猜想：在不等式兩邊加上不同的數(shù)，即如果[a>b]，那么[a+c>b+d]. 為了保證正確性，增加條件[c>d]，得到性質(zhì)5.

性質(zhì)5：如果[a>b]，[c>d]，那么[a+c>b+d].

追問1：如何用文字?jǐn)⑹觯浚ù髷?shù)加大數(shù)的和，大于小數(shù)加小數(shù)的和.）

追問2：如何證明？（教師鼓勵學(xué)生運(yùn)用多種方法證明，證明過程略.）

小組B由加法聯(lián)想到乘法，提出猜想：如果[a>b]，[c>d]，那么[ac>bd]. 舉例發(fā)現(xiàn)猜想不正確，增加條件得到性質(zhì)6.

性質(zhì)6：如果[a>b>0]，[c>d>0]，那么[ac>bd].

追問3：對于性質(zhì)6，如果特殊化，令[c=a]，[d=b]，那么可以得到什么結(jié)論？能再繼續(xù)推廣嗎？

師生活動：學(xué)生回答得到“如果[a>b>0]，那么[a2>b2>0]”. 教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生將結(jié)論推廣，得到“如果[a>b>0]，那么[a3>b3>0]”. 繼續(xù)推廣，得到性質(zhì)7.

性質(zhì)7：如果[a>b>0]，那么[an>bn>0 n∈N，n≥2].

教師指明乘方是乘法運(yùn)算的推廣，性質(zhì)5 ～ 性質(zhì)7均是不等式的常用性質(zhì)，可以作為結(jié)論在今后的推理中使用.

【評析】探究不等式的性質(zhì)是本節(jié)課的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，在課堂教學(xué)中需要有選擇性地證明.

4. 學(xué)以致用，解決問題

例 ?已知[a>b>0，c<0]，求證[ca>cb].

變式：已知[a>b>0，c>0]，求證[ca<cb].

師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生從結(jié)論出發(fā)，結(jié)合已知條件，利用不等式的性質(zhì)，尋求使當(dāng)前命題成立的充分條件. 學(xué)生板演，教師指導(dǎo)、點(diǎn)評，并強(qiáng)調(diào)書寫的規(guī)范性.

【評析】該例題的證明旨在向?qū)W生示范應(yīng)用不等式的性質(zhì)證明命題的一般思路. 變式是對例題的有效補(bǔ)充，可以促進(jìn)學(xué)生進(jìn)一步理解不等式性質(zhì)的規(guī)律性.

5. 課堂小結(jié)，歸納反思

問題6：本節(jié)課學(xué)習(xí)了什么知識？學(xué)到了哪些思想方法？有哪些收獲？

師生活動：學(xué)生回答，互相補(bǔ)充，教師總結(jié).

二、教學(xué)感悟

1. 教學(xué)要注重問題情境的創(chuàng)設(shè)

數(shù)學(xué)知識具有高度的抽象性和概括性. 本節(jié)課的內(nèi)容以代數(shù)推理為主，如果一開始就給出等式的性質(zhì)，再研究不等式的性質(zhì)，學(xué)生會覺得平淡，缺乏學(xué)習(xí)的動力. 因此，教師注重創(chuàng)設(shè)適切的問題情境，從求解簡單的一元一次不等式入手，通過兩個“說明理由”引發(fā)學(xué)生思考. 第一個“說明理由”與上節(jié)課的內(nèi)容呼應(yīng)，也可以說明實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)是研究不等式的性質(zhì)的基礎(chǔ);第二個“說明理由”促使學(xué)生從“然”思考“所以然”，激發(fā)學(xué)生的求知欲，培養(yǎng)學(xué)生提出問題的能力，促進(jìn)學(xué)生在學(xué)習(xí)中多問幾個“為什么”.

問題情境的創(chuàng)設(shè)需要結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，為教學(xué)服務(wù)，做到有的放矢. 例如，本節(jié)課的問題情境從簡單問題出發(fā)，引發(fā)學(xué)生對“基本”一詞的思考，實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)、實(shí)數(shù)的基本事實(shí)、等式的基本性質(zhì)和不等式的基本性質(zhì)，均用到“基本”一詞，也意味著基礎(chǔ)和重要. 教師要幫助學(xué)生理解，為他們后期重視基本不等式、平面向量的基本定理等內(nèi)容的學(xué)習(xí)做好鋪設(shè).

2. 教學(xué)要突出思想方法的滲透

如果說數(shù)學(xué)知識是數(shù)學(xué)內(nèi)容，可用文字和符號來記錄和描述，那么數(shù)學(xué)思想方法則是數(shù)學(xué)意識，重在領(lǐng)會、運(yùn)用，是實(shí)現(xiàn)學(xué)生在數(shù)學(xué)上的終身可持續(xù)發(fā)展，乃至終身受益的核心收獲.

在該課例中，教師讓學(xué)生體會等式的性質(zhì)與不等式的性質(zhì)，不僅是形式上的類比，更是研究問題思路的類比和解決問題方法的類比. 等式具有自身特性和運(yùn)算中的不變性，不等式也具有自身特性，但是不等式有方向，所以運(yùn)算中體現(xiàn)得更多的是不變性和規(guī)律性相結(jié)合. 由不等式的性質(zhì)3推導(dǎo)出性質(zhì)5，是利用從特殊到一般的思想;由不等式的性質(zhì)5到性質(zhì)6，是加法到乘法的類比;由不等式的性質(zhì)6到性質(zhì)7，是從一般到特殊的思想. 可以說本節(jié)課以數(shù)學(xué)思想方法引領(lǐng)學(xué)生的思維活動，處處以促進(jìn)學(xué)生理解基本思想為指導(dǎo)，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)思想，并學(xué)會用數(shù)學(xué)思想探究問題，從而落實(shí)“四基”.

3. 教學(xué)要側(cè)重活動經(jīng)驗(yàn)的積累

活動經(jīng)驗(yàn)是指學(xué)生經(jīng)歷思考、探究、實(shí)踐等數(shù)學(xué)活動過程之后獲得過程性知識，最終形成應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識. 本節(jié)課中，教師通過層層遞進(jìn)的問題和一系列追問，讓學(xué)生經(jīng)歷猜想、證明，并用數(shù)學(xué)語言、自然語言或圖形語言等對性質(zhì)進(jìn)行多元表征，以加深學(xué)生對性質(zhì)的了解，這樣學(xué)生就能形成基本活動經(jīng)驗(yàn)，并以此為基礎(chǔ)完成對常用性質(zhì)的探究活動. 再如，本節(jié)課讓學(xué)生形成類比學(xué)習(xí)的活動經(jīng)驗(yàn)，是幫助他們積累基本活動經(jīng)驗(yàn)的有效體現(xiàn). 通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生能清晰認(rèn)識到在之后的哪些學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)可以適時采用類比的思想方法探究問題. 課堂伊始，學(xué)生只有初中解不等式的基本活動經(jīng)驗(yàn)，并不理解不等式[3x-2>0]的解題本質(zhì). 通過對不等式的性質(zhì)的探究，學(xué)生不斷積累了深層次的活動經(jīng)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)了對問題本質(zhì)的認(rèn)識.

參考文獻(xiàn)：

[1]劉勇，沈婕，李龍才.“等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)”教學(xué)設(shè)計(jì)、教學(xué)反思與點(diǎn)評[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2019（9）：14-24.

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