路江江，鄧宏偉，劉菲菲

（西北師范大學(xué) 教育學(xué)院，甘肅 蘭州 730070）

數(shù)學(xué)歸納推理是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要組成部分，是探求新知識(shí)的一種極其重要的科學(xué)認(rèn)識(shí)方法，“我國基礎(chǔ)教育在學(xué)生思維能力的培養(yǎng)中，在過去很長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)重視演繹推理，忽視了歸納推理，而歸納推理主要弱在了歸納能力的訓(xùn)練上， 給創(chuàng)新性人才的成長(zhǎng)帶來了嚴(yán)重的障礙，導(dǎo)致了思維發(fā)展不完善”[1-2]。義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）中強(qiáng)調(diào)歸納推理思想是基本數(shù)學(xué)思想之一，普通高中數(shù)學(xué)課標(biāo)（2017版）中強(qiáng)調(diào)歸納推理是數(shù)學(xué)邏輯推理的重要部分，是教科書中的重要內(nèi)容，是得出數(shù)學(xué)命題的主要方法之一[3]。因此，注重歸納推理的培養(yǎng)與研究，對(duì)數(shù)學(xué)教育教學(xué)非常有必要且意義深遠(yuǎn)。目前關(guān)于歸納推理的研究已非常廣泛，但對(duì)數(shù)學(xué)歸納推理認(rèn)知過程的案例分析寥寥無幾。恩格斯曾斷言：“世界上的任何歸納法，都永遠(yuǎn)不會(huì)幫助我們把歸納過程弄清楚。只有對(duì)這個(gè)過程的分析才能做到這一點(diǎn)”[4]。因此對(duì)于歸納過程的分析顯得尤為重要，這里將借助李興貴、王新民教授所提出的數(shù)學(xué)歸納推理需經(jīng)歷的5個(gè)基本的認(rèn)知階段——“歸納五看”理論，包括個(gè)別的看，重復(fù)的看，想象的看，抽象的看，一般的看[5]。運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納推理的基本認(rèn)知過程，對(duì)《數(shù)學(xué)與猜想》中的問題進(jìn)行剖析，發(fā)現(xiàn)其數(shù)學(xué)歸納推理中所蘊(yùn)含的思維方式與量化關(guān)系，力爭(zhēng)為學(xué)習(xí)者提供數(shù)學(xué)歸納推理案例學(xué)習(xí)的分析模式。

1 案例剖析

案例：一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是k、m和n、k、m，和n都是正整數(shù)且k≤m≤n[取n=1，2，3，4，5…]，對(duì)于給定的n，求滿足所述條件的不同三角形的個(gè)數(shù)。求出三角形的個(gè)數(shù)依賴于n的一般規(guī)律。

分析：仔細(xì)分析題干， 三角形的三邊長(zhǎng)分別是k、m和n且k、m和n都是正整數(shù)，已知k≤m≤n且三角形三邊之間的關(guān)系是“兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”，則k+m＞n＞m-k，題干是對(duì)于給定的n，求滿足條件的三角形個(gè)數(shù)。起始學(xué)習(xí)者面對(duì)這樣的問題會(huì)感到無從下手，因?yàn)閗、m、n，字母表征很多，解析時(shí)會(huì)產(chǎn)生定量的畏懼感和不確定感，但進(jìn)一步研究會(huì)發(fā)現(xiàn)k和m依賴于n，而對(duì)于給定的n既可表示1也能表示100，以致能表示任何正整數(shù)，那么n的變化情況該如何研究呢？n是多變的、無規(guī)律的及無順序的，如何才能將n的變化變得有規(guī)律，有順序？聯(lián)想到小學(xué)階段“數(shù)數(shù)”內(nèi)容的學(xué)習(xí)，從0，1，2， 3，4…，自然數(shù)就是一個(gè)順序的體現(xiàn)，后面一個(gè)數(shù)比前面一個(gè)數(shù)多1，如階梯類似，一梯一梯的循環(huán)遞增。于是解決了如何將n變得順序化和規(guī)律化，然后對(duì)n依次進(jìn)行賦值，n=1，n=2，n=3，…n=k。但當(dāng)n確定后，求滿足所述條件的不同三角形的個(gè)數(shù)，該如何解決呢？

1.1 個(gè)別的看

以個(gè)別數(shù)值n=1，2，3，4，5，6作為研究的對(duì)象，通過多種直觀的觀察、特殊形式的組合和數(shù)值運(yùn)算操作，對(duì)數(shù)值n進(jìn)行相應(yīng)的編碼加工，可以形成以下的量化關(guān)系，令“三角形的個(gè)數(shù)=Sn”。

當(dāng)n=1時(shí)：m=1，k=1，S1=1。

當(dāng)n=2時(shí)：m=2，k=2；m=2，k=1，S2=2。

當(dāng)n=3時(shí)：m=3，k=3；m=3，k=2；m=3，k=1；m=2，k=2，S3=4。

當(dāng)n=4時(shí)：m=4，k=4；m=4，k=3；m=4，k=2；m=4，k=1；m=3，k=3；m=3，k=2，S4=6。

當(dāng)n=5時(shí)：m=5，k=5；m=5，k=4；m=5，k=3；m=5，k=2；m=5，k=1；m=4，k=4；m=3，k=3…，S5=9。

當(dāng)n=6時(shí)：m=6，k=6；m=6，k=5；m=6，k=4；m=6，k=3；m=6，k=2；m=6，k=1；m=5，k=5；m=5，k=4 …，S6=12。

在上述過程中，產(chǎn)生的思維方式是以6個(gè)數(shù)值事例為特殊對(duì)象的特殊判斷，雖可對(duì)不同的數(shù)值進(jìn)行不同的組合運(yùn)算操作，但其中量化關(guān)系之間缺乏明顯聯(lián)系，即缺乏相似性和一致性。

1.2 重復(fù)的看

對(duì)比分析數(shù)值n在取6個(gè)不同數(shù)值時(shí)量化關(guān)系的差異性和相似性，可以發(fā)現(xiàn)不同的n值都滿足k≤m≤n；Sn隨n值的變化而發(fā)生變化；當(dāng)n為1，3，5時(shí)，Sn分別對(duì)應(yīng)1，4，9，恰好是正方形數(shù)，其中正方形數(shù)一般指平方數(shù)，是可以寫成某個(gè)整數(shù)平方的數(shù)[6]，Sn變化的結(jié)構(gòu)可能具有n取奇數(shù)值對(duì)應(yīng)Sn的平方數(shù)形式；當(dāng)n為2，4，6時(shí)，Sn分別對(duì)應(yīng)2，6，12，這一組數(shù)進(jìn)行改寫：2×1，2×3，3×6，恰好是三角形數(shù)的2倍，其中三角形數(shù)是指具有1，3，6等一定規(guī)律能表示成三角形的形狀的總數(shù)量的數(shù)[6]，Sn變化的結(jié)構(gòu)可能具有形式n取偶數(shù)項(xiàng)值對(duì)應(yīng)組合數(shù)三角形數(shù)的2倍。上述雖可看出抽象的意蘊(yùn)和形式，但這種抽象是模糊的、局部的和不確定的， 這種結(jié)構(gòu)并非精確地區(qū)分各個(gè)量化關(guān)系特征的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，而是根據(jù)模糊的、含糊的共同性的影響而形成的[2]，這種變化結(jié)構(gòu)只是所觀察6個(gè)特殊數(shù)值的特征，僅適應(yīng)于直觀看到的特殊情況，是一種局部的假設(shè)，若要發(fā)展成為一種整體的假設(shè)，變成一般化情況，則需要更多的不同數(shù)值進(jìn)行驗(yàn)證，從而去突破局限性。

1.3 想象的看

在“重復(fù)的看”的基礎(chǔ)上進(jìn)行思維的過程，具體包括，聯(lián)想、想象、創(chuàng)造。

當(dāng)n=7時(shí)：S1=16

當(dāng)n=8時(shí)：S8=20

當(dāng)n=9時(shí)：S9=25

此時(shí)，不同n值下的Sn已經(jīng)屬于非運(yùn)算、特殊組合的結(jié)果， 而是大腦思維活動(dòng)及思維方式的產(chǎn)物。在實(shí)際的運(yùn)算過程中，三個(gè)不同數(shù)值下的量化關(guān)系、構(gòu)想的方式和組合的過程可能會(huì)有所不同，其中n=7時(shí)，Sn的個(gè)數(shù)屬于相鄰奇數(shù)值的構(gòu)想，所依據(jù)的是n為奇數(shù)值時(shí)的順序，屬于“順序感”的產(chǎn)物；n=8時(shí)，Sn的個(gè)數(shù)屬于相鄰偶數(shù)值的構(gòu)想，所依據(jù)的是n為偶數(shù)時(shí)的順序，屬于“順序感”的產(chǎn)物；而n=9時(shí)，Sn的個(gè)數(shù)屬于相隔奇數(shù)值的構(gòu)想，幾乎不能依靠于“順序感”去構(gòu)想，所依據(jù)的則是n值相鄰兩項(xiàng)的加減乘除 通過后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的相減能得出，即Sn=Sn-1，可得出一組數(shù)：1，2，2，3，3，4，4，發(fā)現(xiàn)從n值第二項(xiàng)起，后一項(xiàng)減前一項(xiàng)會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)相同的數(shù)，并且這些數(shù)是連續(xù)的自然數(shù)，由此可以推測(cè)下一個(gè)差值是5，它是對(duì)具體直觀觀察、組合和運(yùn)算的一種超越。

上述過程通過聯(lián)想、想象和創(chuàng)造類似的數(shù)值去證明局部的假設(shè)，這個(gè)過程區(qū)別于多種直觀的觀察和數(shù)值運(yùn)算操作，突出了不同數(shù)值在變化中的相似性和一致性的量化關(guān)系。

1.4 抽象的看

將直觀觀察、運(yùn)算與想象所得到的不同n的數(shù)值，當(dāng)做一個(gè)整體去分析探究， 取相同屬性的部分，刪除無相交的部分， 形成全局性假設(shè)的認(rèn)知過程。

通過抽象的看，從n值第二項(xiàng)起，后一項(xiàng)減前一項(xiàng)會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)相同的數(shù)，并且這些數(shù)是連續(xù)的自然數(shù)，并非對(duì)于個(gè)別的看中個(gè)別數(shù)值的直觀概括，而是涵蓋了任何n值的量化關(guān)系，屬于全局性假設(shè)，一種是Sn-Sn-1，得到的一組數(shù)：1，2，2，3，3，4，4，…是量化關(guān)系的符號(hào)表征；另一種是奇數(shù)值對(duì)應(yīng)平方數(shù)，偶數(shù)項(xiàng)值對(duì)應(yīng)三角形數(shù)的2倍，其中是量化關(guān)系的符號(hào)表征，若對(duì)楊輝三角較為熟悉，則會(huì)發(fā)現(xiàn)屬于楊輝三角的其中一列。用數(shù)字或字母進(jìn)行表征，令n1=2a-1，a為自然數(shù)，即n1為n的奇數(shù)值，又即平方數(shù)同理，令，n2= 2a，a為自然數(shù)，即n2為n的偶數(shù)值，又，即組合數(shù)綜上所述，整理得 。

上述過程中，抽象的看也是大腦內(nèi)部的一種心靈組合，但已經(jīng)超越原有局部的范圍，增加了新的量化關(guān)系，對(duì)量化關(guān)系進(jìn)行了整合，逐步深化、豐富了量化關(guān)系，對(duì)抽象性有了更深入和更寬泛的認(rèn)識(shí)。

1.5 一般的看

一般的看是在上一過程的基礎(chǔ)上，對(duì)全局性假設(shè)進(jìn)行確認(rèn)的過程，也是形成普適性模式的過程。通過對(duì)n=12的檢驗(yàn)，認(rèn)知數(shù)列的定義，三角形數(shù)、正方形數(shù)、楊輝三角等學(xué)習(xí)過程，得出全局性假設(shè)。對(duì)學(xué)習(xí)者本身而言，這不僅是一種抽象的量化關(guān)系，而且也是一種有效的學(xué)習(xí)方法和必備的知識(shí)基礎(chǔ)和技能。此外，一定程度上不僅對(duì)“抽象的看”進(jìn)行了假設(shè)檢驗(yàn)，而且還增強(qiáng)了學(xué)習(xí)者探究的信念。

2 研究啟示

2.1 重視數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累是基礎(chǔ)

諺語“口落胭脂紅，無雨必有風(fēng)”“螞蟻搬家蛇過道，大雨不久就來到”等都是人們?cè)谏a(chǎn)實(shí)踐中，觀察氣象經(jīng)驗(yàn)的歸納總結(jié)。數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是建構(gòu)知識(shí)意義的重要基礎(chǔ)和基本方法，是同化學(xué)習(xí)的必要基礎(chǔ)，是教育和學(xué)習(xí)的基本構(gòu)件和必要前提，它是獲得數(shù)學(xué)直覺的源泉，其根本價(jià)值是涵育創(chuàng)新能力，對(duì)于個(gè)體創(chuàng)新意識(shí)的生成很重要[7]。數(shù)學(xué)歸納推理的學(xué)習(xí)不是無源之水、無本之木，它必須“接地氣”，更要有良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)和數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)來支撐，數(shù)學(xué)歸納推理是一種比演繹推理更為“自然”的合情推理，其每一個(gè)階段需要相應(yīng)的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)去支撐，上述案例求解三角形依賴于n的一般規(guī)律時(shí)，經(jīng)歷“歸納五看”認(rèn)知過程，每一步的認(rèn)知過程都需要學(xué)習(xí)者相應(yīng)的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)去支撐，例如，個(gè)別的看需要具備對(duì)三角形概念學(xué)習(xí)的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、重復(fù)的看需要具備對(duì)三角形數(shù)、正方形數(shù)內(nèi)涵的認(rèn)識(shí)，抽象的看需要具備一定數(shù)列知識(shí)的基礎(chǔ)和想象力的訓(xùn)練等，在教學(xué)中教師通過“歸納五看”去設(shè)計(jì)具體的教學(xué)活動(dòng)，拓展學(xué)習(xí)一些基本數(shù)論的知識(shí)，包括三角形數(shù)、正方形數(shù)、四面體數(shù)等，使學(xué)生在相應(yīng)“看”的階段思維更加活躍、更具靈感、更易判斷，進(jìn)一步形成完整、清晰和豐富的數(shù)學(xué)歸納推理的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

2.2 循序漸進(jìn)的分析問題是關(guān)鍵

循序漸進(jìn)的教學(xué)是培養(yǎng)數(shù)學(xué)歸納推理能力的有效路徑[8]。教師在數(shù)學(xué)歸納推理的教學(xué)中以及在具體案例分析中，應(yīng)將“歸納五看”視為一個(gè)不可分割、不能分離的整體，看作一個(gè)有層次性、連續(xù)性的認(rèn)知過程。學(xué)習(xí)過程中不應(yīng)出現(xiàn)盲目急躁的分離，逾越、縮短及斷層的現(xiàn)象，而應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真仔細(xì)地分析具體數(shù)值的量化關(guān)系，正如康德在他的名著《純粹理性批判》中所說的，人類的一切知識(shí)都是從直觀開始，從那里進(jìn)到概念，其中直觀代表著歸納推理的開始[9]。比如，在上述案例中判斷三角形的變化規(guī)律時(shí)不能急于跨越到抽象的看之后的看，跳躍得到數(shù)值的變化規(guī)律，而應(yīng)該逗留于數(shù)值量化現(xiàn)象面前，多觀察、多分析、多比較，切實(shí)地經(jīng)歷“歸納五看”的過程，依次發(fā)現(xiàn)各認(rèn)知階段中的量化關(guān)系。

2.3 合理深入的探究問題是重點(diǎn)

數(shù)學(xué)歸納推理是一種從感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的思維活動(dòng)，考察的是未知世界中的量化關(guān)系，不屬于一種循規(guī)蹈矩、預(yù)設(shè)一定生成的操作方式，教師在數(shù)學(xué)歸納推理的教學(xué)中需要為學(xué)生提供探究問題的環(huán)境，讓學(xué)生結(jié)合自身的經(jīng)驗(yàn)和觀點(diǎn)去嘗試、猜想、推斷問題，引導(dǎo)學(xué)生組成一個(gè)有層次性、連續(xù)性的認(rèn)知過程。例如，問題分析過程中教師需要讓學(xué)生自己選擇n的數(shù)值進(jìn)行加工、操作及探索，自主觀察、識(shí)別不同數(shù)值的量化關(guān)系，發(fā)現(xiàn)出一般規(guī)律；教學(xué)要讓學(xué)生感知選取不同的數(shù)值去進(jìn)行“歸納五看”是影響歸納推理可靠性的一個(gè)重要因素，因?yàn)槿绻麤]有足夠多的特殊值，就無法體現(xiàn)出相似性或一致性，也就無法進(jìn)行歸納推理。除此之外，所選取的特殊值在數(shù)量上要足夠多外，在質(zhì)量上也需要要有典型性，其典型性是指既能突出關(guān)鍵特征，又能剔除無關(guān)特征的干擾；教師要合理引導(dǎo)學(xué)生能夠把一個(gè)具體問題抽象為用符號(hào)表達(dá)的一類問題，因?yàn)橹挥型ㄟ^這種抽象才能真正把握一類問題的本質(zhì)屬性。

2.4 多元性思維能力的培養(yǎng)是根本

數(shù)學(xué)歸納推理區(qū)別于一般的歸納推理，具有獨(dú)特的發(fā)散性，包含不確定的加工組合方式、不確定的前提條件、不確定的結(jié)果，在上述個(gè)別的看和重復(fù)的看中n的數(shù)值選取個(gè)數(shù)根據(jù)需要去確定，會(huì)產(chǎn)生不確定的猜想。鑒于此，在教學(xué)中，教師不應(yīng)該把數(shù)學(xué)歸納推理統(tǒng)籌為統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)，不應(yīng)該追求唯一的結(jié)果，應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生去采用發(fā)散、開放的思維方式，從不同角度去觀察同一事物，得到不同的印象，得到不同的啟發(fā)，產(chǎn)生不同的想法，形成適合自身發(fā)展的歸納思維。在數(shù)學(xué)問題的解決過程中，教師要不斷的總結(jié)與反思，找出培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的教學(xué)方式，結(jié)合自己的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)去思考如何培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，從而有效的提高學(xué)生的發(fā)散性思維能力，引導(dǎo)學(xué)生拓寬眼界。