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        關(guān)于幾何“新定義”問題的探究與反思

        2021-01-22 12:56:21邱宗泉
        關(guān)鍵詞:幾何綜合思想方法

        [摘要]幾何“新定義”問題對于學(xué)生的知識儲備和思維能力有著較高的要求,近幾年備受出題人青睞,開展幾何“新定義”考題教學(xué)探討十分必要.本文將以道幾何“新定義”??碱}為例,進(jìn)行思路突破,總結(jié)解題策略,反思教學(xué)實踐,與讀者交流

        [關(guān)鍵詞]幾何;綜合;新定義;函數(shù);思想方法

        作者簡介:邱宗泉(1986-),本科學(xué)歷,一級教師,從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)工作,曾獲三明市第三期骨干教師

        背景綜述

        近幾年中考和??荚囶}中出現(xiàn)了眾多以“新定義”為背景的函數(shù)與幾何綜合試題,該類試題常作為壓軸題綜合考査學(xué)生獲取知識和處理問題的能力,同時其中所蘊含的數(shù)形結(jié)合、分類討論思想對學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)提出了較高的要求

        幾何新定義題的出現(xiàn)為當(dāng)下數(shù)學(xué)教育的改革提出了新的要求,更加追求學(xué)科本質(zhì),突出創(chuàng)新精神,注重學(xué)習(xí)過程,倡導(dǎo)思想發(fā)展,從而有力地促進(jìn)了教學(xué)理念的革新.在備考復(fù)習(xí)階段,利用優(yōu)秀的??碱}開展教學(xué)探究,反思解題策略可以達(dá)到事半功倍的效果.

        考題探究

        問題(2020年江蘇省南通市模考題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,對于點A和線段BC,給出以下定義:如果△ABC為等腰直角三角形,則稱點A為BC的“等直點”;特別的,如果△ABC是以BC為斜邊的等腰直角三角形,則稱點A為BC的“完美等直點1)如果B(-2,0),C(2,0),那么在D(0,2),E(4,4),F(xiàn)(-2,-4),G(0,V2中,線段BC的“等直點”是(2)已知B(0,-6),C(8,0)①如果雙曲線y=上存在點A,使得點A為BC的“完美等直點”,求ん的值.2在直線y=x+6上是否存在一點P使得點P為BC的“等直點”?如果存在請求出點P的坐標(biāo);如果不存在,請說明理由.

        (3)如果B(0,2),C(2,0),⊙7的半徑為3,圓心為7(t,0).當(dāng)在⊙7的內(nèi)部恰有三個點為線段BC的“等直點”時請直接寫出的取值范圍.

        思路突破:本題目為涉及坐標(biāo)系的幾何新定義題,題干設(shè)定了與等腰直角三角形相關(guān)的新定義一等直點,問題解析需要理解該定義的具體內(nèi)容,然后結(jié)合相關(guān)知識進(jìn)行問題探究.由題設(shè)可知:對于由點A和線段BC構(gòu)成的等腰直角三角形,若BC為直角邊,則滿足一般的“等直點”,若BC為斜邊,則滿足“完美等直點”,因此問題探究需要對其中的線段進(jìn)行討論.

        (1)該問已知點B和C的坐標(biāo),則線段BC在坐標(biāo)系中的位置確定,只需確定D,E,F(xiàn),G四點中哪個與BC構(gòu)成直角三角形即可.

        根據(jù)點坐標(biāo)繪制如圖1所示圖像,觀察可知,△BDC和△FBC為等腰直角三角形,所以線段BC的“等直點”是D和F

        (2)已知B(0,-6),C(8,0),則線段BC位于第四象限,且所處直線的斜率為正

        ①求雙曲線y=-上的點A為BC的“完美等直點”,需要把握其中的兩個條件:一是△ABC是以BC為斜邊的等腰直角三角形;二是雙曲線k的符號沒有設(shè)定,結(jié)合線段BC的位置需要討論點A位于第一和第四兩個象限的情形.(i)當(dāng)點A位于第四象限時,如圖2所示,由于點A是線段BC的“完美等直點”,則△ABC為以BC為斜邊的等腰直角三角形,則有∠BAC=90°,AB=AC.過點A分別作x軸和y軸的垂線,設(shè)垂足分別為E和F,如圖2,分析可證△AEC≌△AFB(AAS),則AE=AF.由點B和C的坐標(biāo)可知OB=6,OC=8,BC=10,設(shè)AE=AF=x,則CE=8-x,在Rt△ACE中,由勾股定理可得ACP=CEP+AEP,即(5V2)=x2+(8-x)2,可解得x=1(舍去)或x=7,所以點A的坐標(biāo)為(7,-7),則N=-49.

        (i)當(dāng)點A位于第一象限時,如圖2中的A1點,此時點A和A1關(guān)于直線BC對稱,直線A1為垂直于BC的直線,k=則結(jié)合點A坐標(biāo)可確定直線AA1的表達(dá)式為y=-4(x-7)-7,令x=,可解得x=1,y=1,即點41(1,1),則ん=1綜上可知,k的值為-49或1.

        ②該問求直線y=x+6上的點P為BC的“等直點”時的坐標(biāo),需要關(guān)注其中隱含的信息,參考①問可知:若為“完美等直點”,只可能是A和A1,但A和A1顯然不在直線上,故BC只能為Rt△ABC的直角邊.對于該問有兩種解法:一是從函數(shù)視角出發(fā),二是從幾何視角出發(fā).后續(xù)采用假設(shè)驗證法,假設(shè)點P存在,進(jìn)行坐標(biāo)推理.

        解法一:函數(shù)法

        當(dāng)BC為直角邊時,則PC=BC=10由于PC⊥BC,則可將PC長視為點P到直線BC:3x-4y-24=0的距離,設(shè)點P的坐標(biāo)為(a,a+6),由點到直線的距離公式可得3-4(a+6)-2410,解得a=2或=-98(舍去),則點P的坐標(biāo)為(2,8)已知點P(2,8),C(8,0),則線段BC長為V(8-0)+(2-8)2=10,顯然BC長就為點P到直線BC的距離,則∠PCB=90°.所以直線y=x+6上存在點P,使得點P為BC的“等直點”

        解法二:幾何法

        充分利用圖像中的特殊圖形和特殊關(guān)系來構(gòu)建方程.

        過點C作PC⊥BC,與直線y=x+6相交于點P,過點P作x軸的垂線,設(shè)垂足為點E,如圖3所示.結(jié)合條件可證△PEC△COB,由相似性質(zhì)可得OC=PE_8_4設(shè)OBEC6CE=3x,PE=4x,則PC=5x,AE=PE=4x.因為OA=6,則OE=4x-6=8-3x,解得x=2,所以PC=BC=10,此時△ABC為以∠PCB為直角的等腰直角三角形,所以點P為BC的“等直點”,點P的坐標(biāo)為(2,8)

        (3)該問探究⊙7的內(nèi)部恰好有三點為線段BC的“等直點”,需要分類討論,同時采用臨界極限法求解.

        ①當(dāng)位于⊙T的內(nèi)部,恰好線段BC的“等直點”為A,0,G時,如圖4,此時△ABC、△BCC和△OBC均為等腰直角三角形,當(dāng)⊙7過點G時,連接TG,可求得OT=V5.而當(dāng)⊙7過點時,如圖5,此時若△BCF、△BCH和△BCP為等腰直角三角形,連接TF,同理可得TC=V5,OT=V5-2.所以當(dāng)位于⊙7的內(nèi)部,恰好點A,0,G為線段BC的“等直點”時,t的取值范圍為ーV5《≤2

        ②當(dāng)位于⊙T的內(nèi)部,恰好線段BC的“等直點”為F,O,C時.如圖6,此時3p過點A,有OT=AT-OA=1;而當(dāng)⊙T過點P時,如圖7,連接TP,過點P作x軸的垂線,垂足為E,則有TE=V5,所以07=4-V5.則當(dāng)位于⊙T的內(nèi)部,恰好點F、の、G為線段BC的“等直點”時,t的取值范圍為1≤≤4-V5.

        ③當(dāng)位于⊙7的內(nèi)部,恰好線段BC的“等直點”為F,O,P時.如圖8,T過點G時,同理可得OT=V5;而當(dāng)⊙7過點O時,此時OT=3.所以當(dāng)位于⊙7的內(nèi)部,恰好點F,O,P為線段BC的“等直點”時,t的取值范圍為V5≤に3.綜上可知,當(dāng)位于⊙7的內(nèi)部,恰有三個點為線段BC的“等直點”時,t的取值范圍為ーV5《≤2-V5或1≤1≤4V5或V5≤《3.

        思考總結(jié)

        優(yōu)秀的新定義考題可引領(lǐng)教學(xué)方向,對于啟發(fā)學(xué)生思維有著積極作用上述所探究的是一道經(jīng)典的涉及直角坐標(biāo)系的幾何類新定義??碱},設(shè)問具有一定的難度梯度,可以引導(dǎo)學(xué)生理解“新定義”,總結(jié)方法,積累經(jīng)驗,處理相關(guān)的綜合問題.下面從解題策略、教學(xué)實踐等方面進(jìn)一步反思總結(jié).

        1.由試題看策略

        結(jié)合上述幾何新定義考題,可將其突破過程總結(jié)為定義理解、方法總結(jié)、綜合應(yīng)用三個階段,實際上這也是大多數(shù)“新定義”試題的解題模式,因此在實際解題時可以采用如下策略

        第一步,結(jié)合問題圖像,充分理解題干“新定義”'的表述內(nèi)容,初步利用定義來認(rèn)識簡單的問題.

        第二步,根據(jù)“新定義”來解決一些特殊的問題,總結(jié)相應(yīng)的解題方法和結(jié)論,形成定義問題的解題策略.

        第三步,活用方法和結(jié)論,結(jié)合相關(guān)知識探究一些綜合性問題,注意由定義出發(fā)構(gòu)建模型,利用關(guān)聯(lián)知識處理模型.

        幾何類“新定義”問題往往與幾何圖像聯(lián)系緊密,在實際求解時注意采用數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法,借用直觀的圖形簡化圖像,降低思維難度.同時合理利用圖形有助于發(fā)現(xiàn)圖像中的隱含關(guān)系,構(gòu)建解題思路.

        2.由試題看教學(xué)

        幾何“新定義”考題的“新”主要體現(xiàn)在形式上,對于學(xué)生而言,問題中的概念、定義是教材中所沒有的,但考題內(nèi)容并沒有脫離教材,因此教學(xué)“新定義”題首要是使學(xué)生脫離思想枷鎖.其次是幫助學(xué)生鞏固知識基礎(chǔ),由題干定義出發(fā),將所涉內(nèi)容定位到教材知識點上,如上述“等直點”顯然就是考查等腰直角三角形的性質(zhì),因此可聯(lián)系勾股定理、等角對等邊、“三線合一”等知識來處理.

        “新定義”題的突破過程對學(xué)生的能力和思維有著較高的要求,教學(xué)引導(dǎo)最關(guān)鍵的一點是提升學(xué)生的推理論證能力,問題的求解過程實則為“學(xué)以致用”的過程,因此需要引導(dǎo)學(xué)生注意總結(jié)方法,概括結(jié)論,活學(xué)活用,靈活變通.同時幾何“新定義”問題的解析方法較為多樣,對于涉及直角坐標(biāo)系的幾何類問題,可從函數(shù)、幾何兩大視角進(jìn)行突破,教學(xué)中應(yīng)鼓勵學(xué)生獨立思考,創(chuàng)新思維,綜合所學(xué)探究解法,優(yōu)化思路.教學(xué)課堂提倡開放、互動、交流、探索,以拓展學(xué)生思維,提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)為最終目的.

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