[摘要]函數(shù)與幾何壓軸題往往融合了函數(shù)、幾何兩大知識(shí)內(nèi)容，問題難度較大，學(xué)生容易陷入思維誤區(qū)，難以構(gòu)建解題思路.該類問題可視為是披著“函數(shù)”偽裝的幾何題，問題解析可重點(diǎn)關(guān)注其中的幾何特性，挖掘問題的幾何關(guān)系文章將對(duì)一道函數(shù)與幾何考題開展解法探究并反思教學(xué)，提出幾點(diǎn)建議

[關(guān)鍵詞]函數(shù);幾何;數(shù)形結(jié)合;等角;對(duì)稱;模型

作者簡(jiǎn)介：黃劉洋（1980），本科學(xué)歷，中小學(xué)一級(jí)教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)與研究工作，曾獲徐州市初中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課二等獎(jiǎng).

問題綜述

函數(shù)與幾何是初中數(shù)學(xué)兩大知識(shí)模塊，也是中考數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，以二次函數(shù)為背景融合幾何圖形的考題常以壓軸題的形式出現(xiàn)，該類考題往往探究?jī)纱髥栴}：一是幾何元素間的函數(shù)關(guān)系，

二是函數(shù)圖像中的圖形性質(zhì).在某些二次函數(shù)與幾何壓軸題中，雖然融合坐標(biāo)系、點(diǎn)坐標(biāo)、拋物線、直線等函數(shù)內(nèi)容但合理利用圖形性質(zhì)，從幾何視角加以突破往往可以得到意想不到的解題效果.即破除問題的“函數(shù)”偽裝，可發(fā)掘考題的“幾何”本質(zhì)，不會(huì)影響最終的結(jié)果，解析過(guò)程還更為簡(jiǎn)捷

向題探究

2020年常州市的中考數(shù)學(xué)第28題為典型的二次函數(shù)與幾何壓軸題，但在解答時(shí)可從幾何視角進(jìn)行思路探究，下面具體探討解法.

考題（2020年常州市中考數(shù)學(xué)第28題）如圖1，二次函數(shù)y=x2+bx+3的圖像與y軸交于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作x軸的平線交拋物線于另一點(diǎn)B，拋物線過(guò)點(diǎn)C（1，0），且頂點(diǎn)為D，連接AC，BC，BD

（1）填空：b=

（2）點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)大于1，直線PC交直線BD于點(diǎn)Q.若

∠CQD=∠ACB，求點(diǎn)P的坐標(biāo)

（3）點(diǎn)E在直線AC上，點(diǎn)E關(guān)于直線BD對(duì)稱的點(diǎn)為F，點(diǎn)F關(guān)于直線BC對(duì)稱的點(diǎn)為G，連接AC.當(dāng)點(diǎn)F在x軸上時(shí)，直接寫出AC的長(zhǎng).

思路突破：（1）使用待定系數(shù)法即可求出b的值，將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式y(tǒng)=x+bx+3中可求得b=-4.

（2）該問設(shè)定拋物線上一動(dòng)點(diǎn)P，構(gòu)建了等角∠CQD=∠ACB，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，幾何屬性顯著.可按照如下步驟進(jìn)行突破：第一步求出圖像中關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)，第二步把握?qǐng)D像中的特殊圖形和特殊性質(zhì)，構(gòu)建幾何模型求解.

第一步，根據(jù)題干條件求關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)，可知點(diǎn)A（0，3），B（4，3），C（1，0），D（2，-1）.

第二步，提取圖像中的特殊圖形和特殊關(guān)系，利用其幾何特性定位關(guān)鍵點(diǎn).

由點(diǎn)坐標(biāo)可知BC=3V2，CD=V2，BD=2V5，則有BC+CDP=BD由勾股定理的逆定理可得∠BCD=90°則△BCD為直角三角形.在Rt△BCD中，tan∠DBC-DC1=.而在Rt△AOCBC3中，已知OC=1，A0=3，則tan∠CAO=OC1所以可獲得等量關(guān)系∠DBC∠OAC.

根據(jù)點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)可求得直線BC的解析式為y=x-1，該直線與坐標(biāo)軸的夾角為45.過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線，設(shè)垂足為點(diǎn)H，則∠ACB=∠ACH+∠BCH，其中∠BCH=45°，所以∠ACB=45°+∠ACH，又知∠ACH=∠OAC，所以∠ACB=45+∠OAC.

若直線BD與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)K，則有∠CKD=∠BCK+∠DBC，其中∠BCK=45°，推得∠CKD=45°∠DBC=45°+∠OAC，即∠CKD=∠ACB當(dāng)Q位于CD的上方時(shí)，若∠CQD=∠ACB，此時(shí)直線BD與x軸的交點(diǎn)就為點(diǎn)Q的位置，即點(diǎn)Q與點(diǎn)K相重合，如圖

2.拋物線y=x2-4x+3與x軸的另一交點(diǎn)為P，令y=0，解得x=1或x=3，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，0）

顯然在CD的下方，BD的延長(zhǎng)線上存在一個(gè)對(duì)稱的點(diǎn)Q，此時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)C，K剛好構(gòu)成一個(gè)以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的等腰三角形，此時(shí)∠CKQ=∠CQK.如圖3，過(guò)點(diǎn)C作BD的垂線，設(shè)垂足為點(diǎn)M.利用點(diǎn)坐標(biāo)可得直線BD的解析式為y=2x-5，則可設(shè)直線CM的解析式為y=ーx+，代入點(diǎn)坐標(biāo)可得=，則直線CMx+，聯(lián)立直線CM與BD的方程，可解得點(diǎn)M的坐標(biāo)為點(diǎn)M為線段KQ的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為則直線CQ的105解析式為y=聯(lián)立直線CQ與拋物線的解析式，可得交點(diǎn)P的坐標(biāo)為

綜上可知，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，0）或（3）該問進(jìn)行了二次對(duì)稱設(shè)點(diǎn)，其中點(diǎn)E關(guān)于直線BD的對(duì)稱點(diǎn)為F，點(diǎn)F關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)為C，問題幾何屬性突出，顯然可直接利用對(duì)稱性質(zhì)來(lái)構(gòu)建解析模型.題干設(shè)定點(diǎn)F位于x軸上，點(diǎn)E位于直線AC上，可設(shè)定直線AC關(guān)于直線BD對(duì)稱，則對(duì)稱直線與x軸的交點(diǎn)就為點(diǎn)F，如圖4所示

設(shè)直線AC與BD的交點(diǎn)為N，聯(lián)立兩直線解析式，可求得點(diǎn)N的坐標(biāo)為8觀察可知∠ACB=∠CNB+∠DBC，又知∠ACB=45°+∠DBC，顯然∠CNB=45°，由對(duì)稱性可得∠DNF=45°，即∠CNF-90°，直線AC⊥NF.直線AC的斜率kc=-3，則直線NF的斜率為kw=，結(jié)合點(diǎn)N的坐標(biāo)可得直線NF的解析式為y則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（7，0則CF=CC=6.由于直線BC與x軸的夾角為45°，由對(duì)稱性可知△CFG為等腰直角三角形，即CG⊥x軸，所以點(diǎn)G的坐標(biāo)為（1，6）.結(jié)合點(diǎn)A（0，3）可得線段AC=

解后反思

上述考題為二次函數(shù)與幾何壓軸題，后兩問為核心之問，問題以函數(shù)曲線和坐標(biāo)系為背景分別探究等角條件下的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)以及二次對(duì)稱關(guān)系所得線段長(zhǎng).從問題的突破過(guò)程來(lái)看，破除問題的“函數(shù)”表象，深刻挖掘問題的幾何特性是關(guān)鍵，下面對(duì)考題進(jìn)行反思探討.

1.第二問的解法思考

考題所涉兩問均含有極強(qiáng)的幾何屬性，第二問探究等角關(guān)系條件下的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，上述突破過(guò)程充分挖掘出兩大幾何特性：一是∠BCD為特殊的直角，二是∠DBC=∠OAC，為后續(xù)的等角轉(zhuǎn)化提供了條件.關(guān)于點(diǎn)Q的兩個(gè)位置，常規(guī)思路是分別討論，故情形二還需獨(dú)立探究，但從幾何等角視角來(lái)看，則可視為關(guān)于特定直線的對(duì)稱情形，可構(gòu)建等腰三角形，利用特殊三角形性質(zhì)直接完成突破，這是幾何法突破的優(yōu)勢(shì).

2.第三問的解法思考

第三問題干進(jìn)行了二次對(duì)稱變換，函數(shù)背景下求解對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)的常規(guī)思路是求直線解析式，聯(lián)立直線方程求交點(diǎn)，其復(fù)雜程度較高，計(jì)算量較大，很容易出錯(cuò).但上述突破過(guò)程完全將其視為特殊的幾何問題，挖掘出其中的關(guān)鍵條件∠CNB=45°，確定了直線AC⊥NF，從而簡(jiǎn)潔地求得點(diǎn)F和點(diǎn)C的坐標(biāo).整個(gè)過(guò)程圍繞幾何對(duì)稱構(gòu)建思路，把握?qǐng)D像中的特殊圖形一等腰直角三角形，特殊關(guān)系一幾何垂直，完成了函數(shù)問題的幾何轉(zhuǎn)化與突破.

3.問題突破的深度思考

函數(shù)與幾何壓軸題的信息量較大，其特殊之處在于以坐標(biāo)系為背景，故使得幾何圖形具有定位特點(diǎn).但本質(zhì)上還可以視為幾何問題，解析重點(diǎn)還是幾何特性分析，實(shí)際解析時(shí)仍需破除問題的函數(shù)外表，挖掘幾何特性，直觀分析問題.而在實(shí)際探究過(guò)程中，建議采用數(shù)形結(jié)合的方法，從幾何視角切人問題，挖掘其中的特殊性質(zhì)，構(gòu)建直觀的模型，巧妙利用函數(shù)的幾何意義突破.可按照如下步驟進(jìn)行解題：

第一步，觀察幾何圖像，理解問題條件;

第二步，根據(jù)圖形的性質(zhì)和關(guān)系挖掘幾何元素的聯(lián)系;

第三步，利用函數(shù)與幾何的關(guān)聯(lián)，找準(zhǔn)切入視角，綜合使用幾何分析與函數(shù)解析法，由幾何特性構(gòu)建模型，運(yùn)用方程思想處理交點(diǎn).對(duì)于涉及多情形的問題，注意使用分類討論法，全面探究結(jié)論的可能性.

教學(xué)建議

1.引導(dǎo)探究，歸納解法

函數(shù)與幾何壓軸題是中考常見題型，問題結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，學(xué)生理解存在定難度，往往難以破除“函數(shù)”表象，不能準(zhǔn)確把握問題的幾何特性教學(xué)中建議采用引導(dǎo)探究的方式，以典型問題為例，指導(dǎo)學(xué)生剖析問題條件，理解圖像特征，挖掘隱含特性.必要時(shí)可以采用圖像拆解的方式，隱去圖像中的不必要元素，如拋物線、直線等，引導(dǎo)學(xué)生聚焦幾何圖形，提取圖中的特殊圖形和特殊關(guān)系.幾何推理、數(shù)形解析是突破該類問題的常用方法，教學(xué)中要注重該方法的總結(jié)歸納，引導(dǎo)學(xué)生掌握方法精髓，充分?jǐn)?shù)形結(jié)合，合理聯(lián)想構(gòu)形，使學(xué)生真正掌握解題策略.

2.知識(shí)優(yōu)化，思想滲透

函數(shù)與幾何問題涉及初中數(shù)學(xué)兩大知識(shí)模塊，其中的概念、定理、公式是最基礎(chǔ)的內(nèi)容，僅僅理解其本身是不夠的，還需深刻挖掘定理定義的深層內(nèi)容，如斜率的幾何意義、交點(diǎn)與方程的聯(lián)系，因此教學(xué)中有必要依托知識(shí)關(guān)聯(lián)深化學(xué)生認(rèn)知，形成完善的知識(shí)體系.

另外，教材的定義定理是知識(shí)的外在形式，而數(shù)學(xué)思想是對(duì)知識(shí)的內(nèi)在升華教學(xué)中應(yīng)加強(qiáng)對(duì)思想方法的滲透.以函數(shù)與幾何問題為例，需要引導(dǎo)學(xué)生感悟解題過(guò)程中的數(shù)形結(jié)合思想、構(gòu)造思想、分類討論思想、方程思想等，逐步提升學(xué)生的思維水平.

總之，考題教學(xué)不能一味地就題論題，僅關(guān)注問題的常規(guī)解法，這樣容易局限學(xué)生思維，教學(xué)中應(yīng)注重問題探究，引導(dǎo)學(xué)生深度挖掘問題，透過(guò)問題表象，形成類型問題的本質(zhì)解法.課堂教學(xué)應(yīng)適時(shí)點(diǎn)撥學(xué)生，拓展學(xué)生思路，讓學(xué)生充分參與課堂討論，提升學(xué)生思維的靈活性.