王強(qiáng)強(qiáng)

摘? 要：數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累離不開數(shù)學(xué)活動(dòng)，數(shù)學(xué)活動(dòng)的開展必然以活動(dòng)素材為依托. 文章將一道教材例題拓展為綜合實(shí)踐的活動(dòng)素材，以學(xué)生的視角來預(yù)設(shè)活動(dòng)場景，以學(xué)生自主探究來創(chuàng)設(shè)活動(dòng)內(nèi)容，充分挖掘出例題的教學(xué)價(jià)值與潛在功能，重視直觀操作和邏輯推理的有機(jī)結(jié)合，讓學(xué)生在探究的過程中獲得豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

關(guān)鍵詞：例題教學(xué);活動(dòng)素材;活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

一、引言

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確提出，確定的目標(biāo)有兩類：一類是結(jié)果性目標(biāo);一類是過程性目標(biāo). 一般來說，結(jié)果性目標(biāo)是指向基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能的. 過程性目標(biāo)更多地指向數(shù)學(xué)基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，而數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)主要是過程性目標(biāo)的體現(xiàn). 這就意味著學(xué)生除了要掌握必要的數(shù)學(xué)知識(shí)和技能外，還要學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考，并在多樣化的數(shù)學(xué)活動(dòng)中積累經(jīng)驗(yàn).

接下來，就面臨一個(gè)教學(xué)上的實(shí)際困難：開展數(shù)學(xué)活動(dòng)所需要的素材從何而來？現(xiàn)行教材顯然不大可能一一提供. 這就需要我們在教學(xué)實(shí)踐中善于發(fā)現(xiàn)、敢于嘗試.

下面是浙教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級下冊（以下統(tǒng)稱“教材”）“5.2菱形”（第2課時(shí)）的一道例題教學(xué)處理（如圖1）. 研讀教材時(shí)，發(fā)現(xiàn)教材是以“一張長方形紙片的折疊”作為“合作學(xué)習(xí)”，進(jìn)而得出菱形判定的兩個(gè)定理，那么我們是否仍然可以嘗試通過“折疊”，對教材例題進(jìn)行重組與改編，將例題轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)的素材，讓學(xué)生在探究的過程中獲得豐富的活動(dòng)體驗(yàn).

二、例題呈現(xiàn)

題目 （教材第122頁例2）如圖2，在矩形ABCD中，對角線AC的垂直平分線與邊AD，BC分別交于點(diǎn)E，F(xiàn).求證：四邊形AFCE是菱形.

三、教學(xué)功能與價(jià)值分析

第一，例題為學(xué)生提供了一個(gè)利用“菱形的判定定理”進(jìn)行合理論證的機(jī)會(huì).明確“菱形”證明的基本套路：一是直接由“四邊形”，經(jīng)“四邊相等”證明;二是遵循“從一般到特殊”的路徑，由“四邊形”先說明是“平行四邊形”再說明是“菱形”.更進(jìn)一步明確四邊形、平行四邊形、菱形的從屬關(guān)系與邏輯結(jié)構(gòu);幫助學(xué)生加深對“四邊形到一般平行四邊形再到特殊平行四邊形是一個(gè)從一般到特殊的過程”的理解與貫通，理清知識(shí)脈絡(luò).

第二，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力，為學(xué)生從不同角度，利用多種方法去探究指明了方向.從菱形“邊”“對角線”的特性出發(fā)，去尋求證明思路，幫助學(xué)生深刻領(lǐng)悟其中所蘊(yùn)涵的轉(zhuǎn)化思想，即菱形向平行四邊形、三角形轉(zhuǎn)化的思想，從而豐富、積累獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的有效途徑.

第三，“垂直平分線”為“折疊活動(dòng)”的開展提供了操作的可能與良好的素材.例題中“AC的垂直平分線”完全可以與“對折操作”相匹配，實(shí)踐中完全可以引導(dǎo)學(xué)生將兩者進(jìn)行很好地融通，被學(xué)生發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用于活動(dòng)中.

第四，為多策略解決、多樣化操作、多層次思維提供示范. 突破教材例題背景單一，打破例題文本描述的枯燥，形式上體現(xiàn)多樣性與趣味性，加大可操作性與綜合性，更大程度上去挖掘與提升例題的教學(xué)價(jià)值與功能.

四、教學(xué)實(shí)施

第1階段：拋出問題——自主探索.

問題1：給你一張平行四邊形紙片，你能作出一個(gè)菱形嗎？說說你的做法與理由.

【設(shè)計(jì)意圖】由于菱形是特殊的平行四邊形，因此，筆者特意設(shè)計(jì)問題1，對學(xué)生的自身經(jīng)驗(yàn)及其自主性學(xué)習(xí)給予更多地關(guān)注，旨在“動(dòng)態(tài)”演示菱形的形成過程，明確菱形和平行四邊形的構(gòu)成關(guān)系，架構(gòu)菱形（新識(shí)領(lǐng)域）與平行四邊形（熟識(shí)領(lǐng)域）的邏輯關(guān)聯(lián)，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解菱形與平行四邊形的聯(lián)系，“喚醒”學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，營造問題情境，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

第2階段：匯報(bào)交流——矯正互學(xué).

要求學(xué)生回答并交流.教師進(jìn)行追問、激勵(lì)與評析，師生共同進(jìn)行相互矯正與完善.

作法1：如圖3，在AD上截取AE = AB，過點(diǎn)E作EF∥AB，交BC于點(diǎn)F，則四邊形ABFE是菱形.

理由：著眼于菱形的特性之——邊.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，故AD∥BC，即AE∥BF. 于是四邊形ABFE是平行四邊形（兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形）. 又因?yàn)锳E = AB，故[?ABFE]是菱形（有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形）.

作法2：如圖4，作∠BAD的平分線AF，交BC于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FE∥AB，交AD于點(diǎn)E，則四邊形ABFE是菱形.（由角的相等關(guān)系得出鄰邊相等關(guān)系，其余同作法1.）

作法3：如圖5，作∠BAD的平分線AF，交BC于點(diǎn)F，再作∠ABC的平分線BE，交AD于點(diǎn)E，連接EF，則四邊形ABFE是菱形.

變式練習(xí)1：如圖6，已知平行四邊形紙片ABCD，試用對折的方法在圖中作出一個(gè)菱形，使得點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，并說明理由.

作法1：如圖7，將[?ABCD]沿某直線折疊使點(diǎn)B，D重合，折痕分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接BE，DF，則四邊形BEDF是菱形.

作法2：如圖8，將[?ABCD]沿某直線折疊使點(diǎn)A，C重合，折痕分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接AF，CE，則四邊形AECF是菱形.

【設(shè)計(jì)意圖】變式練習(xí)1是依托“折紙活動(dòng)”而設(shè)計(jì)的一道開放探究題.完全就是教材例題的另一個(gè)模版，嘗試改變教材例題呆板的文字描述，試圖從“探究”的角度去推動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)程，引導(dǎo)學(xué)生去分析、操作、發(fā)現(xiàn). 同時(shí)，變式練習(xí)1是對學(xué)生逆向思維與推理能力的一個(gè)挑戰(zhàn)，為學(xué)生從不同角度、用多種方法去探究指明了方向.

如何逆向思維呢？我們不妨適當(dāng)還原學(xué)生的思維場景：（以圖7為例）由于最終作出的四邊形是BEDF，B，D兩點(diǎn)已經(jīng)確定，因此只要確定點(diǎn)E，F(xiàn)的位置即可. 如何確定點(diǎn)E與點(diǎn)F呢？因?yàn)樗倪呅蜝EDF是菱形，不難發(fā)現(xiàn)BD是其中的一條對角線，EF必定是另一條對角線，那么如何確定另一條對角線EF呢？引導(dǎo)學(xué)生從菱形對角線特性的角度去尋求問題解決策略. 根據(jù)菱形特性，EF必然是BD的垂直平分線. 看到“垂直平分線”我們不難想到“折疊”，可以說“垂直平分線”為折疊探究活動(dòng)的開展提供了操作的可能與良好的素材，“對折操作”完全可以與“垂直平分線”相匹配. 于是，通過逆向思維“作法1”很好地將兩者進(jìn)行融通. 使得不同作法的得出顯得自然而然、水到渠成.

變式練習(xí)2：如圖9，在[?ABCD]中，點(diǎn)E在線段AB上，試在圖中作出一個(gè)內(nèi)接菱形EFGH，使得點(diǎn)F，G，H分別在邊BC，CD，AD上，并說明理由.

作法：如圖10，在DC上截取DG = BE，連接EG，作線段EG的垂直平分線，分別交AD，BC于點(diǎn)H，F(xiàn)，于是四邊形EFGH就是所求作的菱形（理由略）.

【設(shè)計(jì)意圖】提出數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，還有一個(gè)重要目的，就是培養(yǎng)學(xué)生在活動(dòng)中從數(shù)學(xué)的角度進(jìn)行思考，直觀、合理地獲得一些結(jié)果，提出猜想. 猜想：因?yàn)樗倪呅蜤FGH是菱形，所以FH必然是EG的垂直平分線，于是只要確定點(diǎn)G的位置即可.如何確定點(diǎn)G呢？通過觀察，大多數(shù)學(xué)生會(huì)想到“在DC上截取DG = BE”，教師用幾何畫板軟件進(jìn)行驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)猜想是正確的.這種基于理解的問題分析，恰恰是解決特殊四邊形問題的基本套路，是逆向思維的理解與貫通，并為接下來菱形的證明提供了思考的方向.

接下來，如何驗(yàn)證是“菱形”呢？要作出的是一個(gè)菱形，借助以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，大多數(shù)學(xué)生會(huì)從菱形的邊或?qū)蔷€這兩方面入手.現(xiàn)在已知“FH⊥EG”，那么只需說明“四邊形EFGH是平行四邊形”即可.引導(dǎo)學(xué)生緊緊抓住“DG與BE之間的位置及數(shù)量關(guān)系”獲得問題解決的多種策略. 使直觀操作和邏輯推理有機(jī)地結(jié)合在一起，使推理證明成為學(xué)生觀察、實(shí)驗(yàn)、探究得出結(jié)論的自然延續(xù).

第3階段：嘗試運(yùn)用——解決問題.

問題2：試折疊所給的矩形紙片，得到一個(gè)菱形，且使其四個(gè)頂點(diǎn)都在矩形的邊上.

【設(shè)計(jì)意圖】應(yīng)該說“問題1”的解決為“問題2”提供了豐富的、可以借鑒的經(jīng)驗(yàn).從“平行四邊形紙片”到“矩形紙片”創(chuàng)造性地使用素材（紙片），充分地挖掘出素材“差異”所帶來的教學(xué)價(jià)值與潛在功能——一題多變、一題多用，幫助學(xué)生將零散的經(jīng)驗(yàn)豐富化、條理化，讓學(xué)生逐步地明確解決菱形問題的方法，實(shí)現(xiàn)了將知識(shí)向能力的轉(zhuǎn)化.

作法1：（著眼于菱形的特性之——邊）如圖11，將矩形紙片ABCD對折兩次，依次連接矩形四條邊的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，則四邊形EFGH即為菱形（理由略）.

作法2：（著眼于菱形的特性之——對角線）如圖12，將矩形紙片ABCD沿EF折疊使點(diǎn)A，C重合，折痕EF交BC于點(diǎn)E、交AD于點(diǎn)F，連接AE，CF，四邊形AECF即為菱形（理由略）.

作法3：將矩形紙片ABCD沿任意線段EF折疊，如圖13，得四邊形[CDEF]. 使得[DE]交BC于點(diǎn)G，延長[CF]交AD于點(diǎn)H，四邊形GEHF即為菱形（理由略）.

【設(shè)計(jì)意圖】“作法2”巧妙地將“教材例題”蘊(yùn)于其中，使得教材例題的呈現(xiàn)自然、簡潔.“教材例題”只是作為活動(dòng)中的一種形式，被學(xué)生發(fā)現(xiàn)并得以解決.“作法3”則是對“作法2”的進(jìn)一步優(yōu)化，是從特殊到一般的轉(zhuǎn)化與提煉，更是對“教材例題”深入挖掘后的思維的“再認(rèn)識(shí)”與“再提高”.

變式練習(xí)3：如圖14，在矩形ABCD中，E為邊BC上一點(diǎn)，且AE = CE.試僅用一把無刻度的直尺，畫出一個(gè)以AE為邊的菱形，并說明理由.

作法：如圖15，第一步：連接AC，BD相交于點(diǎn)O;第二步：作射線EO交AD于點(diǎn)F，連接CF，則四邊形AECF就是所求作的菱形（理由略）.

【設(shè)計(jì)意圖】“變式練習(xí)3”創(chuàng)設(shè)學(xué)生主動(dòng)運(yùn)用已有知識(shí)解決新問題的情境，給學(xué)生更多自主學(xué)習(xí)、合作交流的機(jī)會(huì)，促進(jìn)學(xué)生的主體參與，讓學(xué)生在探究的過程中豐富活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

五、教學(xué)反思

1. 以學(xué)生的學(xué)習(xí)視角預(yù)設(shè)活動(dòng)場景，喚醒、激發(fā)學(xué)生的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

設(shè)置問題1的目的之一是營造問題情境，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的興趣;其二，也是最主要的目的，是從學(xué)生的“現(xiàn)實(shí)知識(shí)基礎(chǔ)”出發(fā)，喚醒學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，引發(fā)學(xué)生思考，并促使學(xué)生在思考的過程中不斷進(jìn)行自我辨析、自我甄別、自我完善. 思考什么呢？一是要思考要作出菱形，首先要確保它是平行四邊形，明確一般平行四邊形與特殊平行四邊形之間的從屬關(guān)系與邏輯結(jié)構(gòu);二是要思考如何快速、準(zhǔn)確地作出平行四邊形，明確一般的平行四邊形成立的標(biāo)準(zhǔn)（即平行四邊形判定）;三是要思考具備怎樣條件的平行四邊形才是菱形，明確菱形作為特殊四邊形所具有的特性（即菱形的判定）. 隨著思考的深入，理性分析不斷得到完善，問題解決的策略才會(huì)慢慢地清晰. 事實(shí)上，從學(xué)生作法當(dāng)中，我們也深刻地感受到學(xué)生“冷靜思維”帶來作法上的不斷創(chuàng)新、突破，緊緊圍繞菱形“邊”“對角線”的特性，特別是作法2、作法3，是學(xué)生通過自身的獨(dú)立思考、相互交流、體驗(yàn)感悟，幾何畫板軟件操作驗(yàn)證后的“集體智慧”的產(chǎn)物，可以說變式練習(xí)1的作法1、作法2（以及問題2的作法2）的得出已然完成“教材例題”所承載的教學(xué)功能.

問題1多樣化、多角度動(dòng)態(tài)演示菱形的形成過程，引導(dǎo)學(xué)生親身體驗(yàn)、感知菱形與一般的平行四邊形的圖形特征差異，進(jìn)一步明確菱形與平行四邊形的構(gòu)成關(guān)系，更好地呈現(xiàn)喚醒、激發(fā)學(xué)生基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)等諸多學(xué)習(xí)過程，內(nèi)化和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

2. 以學(xué)生的自主探究創(chuàng)設(shè)活動(dòng)素材，積累、發(fā)展學(xué)生的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

問題2是對問題1的繼承與拓展，滲透類比、轉(zhuǎn)化、化歸等數(shù)學(xué)思想，突出探究的過程，重視直觀操作和邏輯推理的有機(jī)結(jié)合，使推理證明成為學(xué)生觀察、實(shí)驗(yàn)、探究得出結(jié)論的自然延續(xù)，呈現(xiàn)積累、發(fā)展學(xué)生基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的活動(dòng)過程，幫助學(xué)生將零散的經(jīng)驗(yàn)豐富化、條理化，不單單是簡單地完成對教材例題的解答，更是在問題解決的過程中，不斷提煉方法、提升思維、打磨策略，形成有效化、多樣化的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)與學(xué)科素養(yǎng). 一是經(jīng)驗(yàn)的遷移：學(xué)生運(yùn)用問題1積累的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)即時(shí)解決問題2，