甄祎明 康玥媛

摘? 要：以中國、英國、韓國、芬蘭、日本、美國、澳大利亞和新加坡八國初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中的根式與無理數(shù)內(nèi)容為研究對象，利用NVivo11質(zhì)性分析軟件對其編碼，在定性與定量分析的基礎(chǔ)上得到我國數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中根式與無理數(shù)設(shè)置的一些啟示：適度加大無理數(shù)的內(nèi)容廣度，在教學(xué)建議中加強(qiáng)數(shù)學(xué)史的滲透，進(jìn)一步提出對根式與無理數(shù)的應(yīng)用性要求.

關(guān)鍵詞：根式;無理數(shù);初中數(shù)學(xué);課程標(biāo)準(zhǔn);國際比較

[2]是數(shù)學(xué)史上的第一個無理數(shù)，它的出現(xiàn)引發(fā)了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，并推動數(shù)系由有理數(shù)擴(kuò)充到了實數(shù)范圍. 初中階段，學(xué)生首次接觸根式與無理數(shù)，掌握根式為其學(xué)習(xí)無理數(shù)提供前期經(jīng)驗，無理數(shù)的學(xué)習(xí)則有助于其深入理解根式中的不盡根問題，并且兩者的學(xué)習(xí)能夠幫助學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)知數(shù)系. 然而，無理數(shù)概念屬于超經(jīng)驗數(shù)學(xué)的范疇，學(xué)生難以獲得不盡根式和無理數(shù)的現(xiàn)實經(jīng)驗，學(xué)生對兩者的理解存在一定障礙. 課程標(biāo)準(zhǔn)是一個國家教學(xué)的指導(dǎo)性文件，其對內(nèi)容的闡述會影響教師的教學(xué)，由此影響學(xué)生的學(xué)習(xí).

近年來，課程標(biāo)準(zhǔn)的國際比較研究具有較高熱度，將世界范圍內(nèi)具有代表性的課程標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行橫向比較，可以為研制本國課程標(biāo)準(zhǔn)、進(jìn)行課程建設(shè)提供經(jīng)驗. 然而，綜觀國內(nèi)的數(shù)學(xué)教育研究成果，相關(guān)課程標(biāo)準(zhǔn)研究多從宏觀上分析“數(shù)與代數(shù)”相關(guān)內(nèi)容，由此將根式、無理數(shù)等內(nèi)容蘊(yùn)含在整體分析中，少有研究聚焦于課程標(biāo)準(zhǔn)中的根式與無理數(shù)內(nèi)容深入比較分析.

基于上述背景，對中國、英國、韓國、芬蘭、日本、美國、澳大利亞和新加坡八國的初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中根式與無理數(shù)內(nèi)容進(jìn)行橫向比較，并確定具體研究問題為：八國數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中根式與無理數(shù)的引入時間有何異同？八國數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中根式與無理數(shù)的內(nèi)容廣度如何？八國數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中根式與無理數(shù)的內(nèi)容設(shè)置情況如何？

一、研究設(shè)計

1. 研究對象

選取中國、英國、韓國、芬蘭、日本、美國、澳大利亞和新加坡八國的初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)為研究對象，所選國家的教育水平具有代表性，并且部分課程標(biāo)準(zhǔn)在近幾年進(jìn)行了新的修訂，一些國家在國際大型測試PISA和TIMSS中表現(xiàn)優(yōu)異，具有較高的參考價值. 其中，不同國家課程標(biāo)準(zhǔn)的內(nèi)容劃分方式不同，中國、英國、韓國和芬蘭課程標(biāo)準(zhǔn)基于整個初中學(xué)段敘述課程內(nèi)容，日本、美國、澳大利亞和新加坡課程標(biāo)準(zhǔn)則基于年級劃分課程內(nèi)容及相關(guān)要求，各國數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的基本信息如下表所示.

2. 研究方法與思路

研究利用NVivo11質(zhì)性分析軟件對八國課程標(biāo)準(zhǔn)中的根式與無理數(shù)內(nèi)容進(jìn)行編碼，并根據(jù)編碼結(jié)果，采用定性與定量相結(jié)合的方法進(jìn)行比較研究. 具體研究思路為：首先，確定編碼系統(tǒng)，將課程標(biāo)準(zhǔn)中根式與無理數(shù)所有相關(guān)內(nèi)容整理統(tǒng)計，以內(nèi)容知識點(diǎn)的形式高度概括;其次，進(jìn)行編碼，根據(jù)內(nèi)容知識點(diǎn)，將課程標(biāo)準(zhǔn)中的內(nèi)容條目以“最短整句”為單位進(jìn)行編碼;然后，編碼信度檢驗，由兩位研究者對課程標(biāo)準(zhǔn)文本進(jìn)行獨(dú)立編碼，通過NVivo11軟件的“編碼比較（coding comparison）”對兩份編碼的一致性進(jìn)行檢驗，結(jié)果顯示，兩位研究者對根式的編碼一致性為93.92%，無理數(shù)的編碼一致性為95.69%，說明研究的編碼一致性程度較高，研究結(jié)果可靠;最后，整理分析編碼結(jié)果并計算內(nèi)容廣度，根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果，分別比較根式與無理數(shù)的引入時間、內(nèi)容廣度和內(nèi)容設(shè)置，并做出定性與定量的分析.

在內(nèi)容廣度方面，曹一鳴將內(nèi)容廣度分為絕對廣度、可比廣度和相對廣度三類，根據(jù)研究的主題，選取相對廣度作為研究的內(nèi)容廣度模型，并將其界定為各國數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中知識點(diǎn)總量與八國最大值之間的比值.

二、研究結(jié)果及其分析

通過對八國課程標(biāo)準(zhǔn)中根式與無理數(shù)內(nèi)容條目的編碼，分別得到關(guān)于根式與無理數(shù)的引入時間、內(nèi)容廣度、內(nèi)容設(shè)置三方面的比較結(jié)果.

1. 引入時間比較

統(tǒng)計八國課程標(biāo)準(zhǔn)中根式與無理數(shù)內(nèi)容的引入時間（如圖1），可以發(fā)現(xiàn)，在根式的引入時間上，按學(xué)段分布的四國課程標(biāo)準(zhǔn)（中國、英國、韓國和芬蘭）均在初中學(xué)段引入根式. 按年級分布的四國課程標(biāo)準(zhǔn)（日本、美國、澳大利亞和新加坡）中，澳大利亞和新加坡分別在Y7年級、初中一年級（均相當(dāng)于我國七年級）引入根式，在四國中引入時間最早;美國和日本則分別在G8年級、九年級（均相當(dāng)于我國九年級）引入根式，在四國中引入時間最晚. 在無理數(shù)的引入時間上，按學(xué)段分布的四國課程標(biāo)準(zhǔn)均在初中學(xué)段引入無理數(shù). 按年級分布的四國課程標(biāo)準(zhǔn)中，新加坡在初中一年級（相當(dāng)于我國七年級）引入無理數(shù)，引入時間最早;澳大利亞在Y8年級（相當(dāng)于我國八年級）引入無理數(shù);美國和日本則分別在G8年級、九年級引入無理數(shù)，在四國中引入時間最晚.

在引入順序上，通過對課程標(biāo)準(zhǔn)文本的比較，發(fā)現(xiàn)八國課程標(biāo)準(zhǔn)均先引入根式，后引入無理數(shù). 在根式與無理數(shù)的知識連續(xù)性上，大部分國家在同一學(xué)段或同一年級學(xué)習(xí)根式與無理數(shù)，只有澳大利亞出現(xiàn)了一年的年級間斷.

2. 內(nèi)容廣度比較

對八國課程標(biāo)準(zhǔn)中根式與無理數(shù)內(nèi)容的編碼結(jié)果進(jìn)行整理分析，得到內(nèi)容知識點(diǎn)的統(tǒng)計結(jié)果，由此計算內(nèi)容廣度，并對其進(jìn)行比較分析.

（1）根式的內(nèi)容廣度比較.

在初中階段，根式多包含平方根和立方根兩部分主要內(nèi)容. 通過編碼結(jié)果，發(fā)現(xiàn)八國課程標(biāo)準(zhǔn)在根式的知識點(diǎn)設(shè)置方面有較大差異，大部分國家對根式的闡述較少. 其中，四國設(shè)置“平方根的概念、平方根的表示”兩個知識點(diǎn)，說明平方根是這些國家普遍重視的知識點(diǎn);三國設(shè)置“平方根的開方計算、立方根的表示”;而“算術(shù)平方根、平方根的實際問題、二次根式、最簡二次根式、乘方與開方的關(guān)系、計算器的使用”則分別只有一國設(shè)置，各國課程標(biāo)準(zhǔn)對此部分內(nèi)容的設(shè)置較少關(guān)注.

統(tǒng)計編碼結(jié)果，得到八國課程標(biāo)準(zhǔn)的根式知識點(diǎn)共計17項，具體為：算術(shù)平方根的概念、算術(shù)平方根的表示、平方根的概念、平方根的表示、平方根的開方計算、平方根的四則運(yùn)算、平方根的估值、平方根的意義、平方根的實際問題、立方根的概念、立方根的表示、立方根的開方計算、二次根式的概念、二次根式的四則運(yùn)算、最簡二次根式、乘方與開方的關(guān)系、計算器的使用. 結(jié)合各國課程標(biāo)準(zhǔn)中所含知識點(diǎn)的個數(shù)，計算得到八國課程標(biāo)準(zhǔn)中根式的內(nèi)容廣度（如圖2）. 由圖2可知，各國課程標(biāo)準(zhǔn)中根式內(nèi)容廣度的最值差距明顯，并且其數(shù)值普遍較低. 在根式內(nèi)容廣度的比較上，內(nèi)容廣度最大的為中國課程標(biāo)準(zhǔn)，并且其數(shù)值遠(yuǎn)超八國廣度均值（0.31）;內(nèi)容廣度最小的為芬蘭課程標(biāo)準(zhǔn)，并且芬蘭課程標(biāo)準(zhǔn)是八國中唯一沒有提及根式內(nèi)容的課程標(biāo)準(zhǔn);其他六國的內(nèi)容廣度差異較小，大部分較為接近平均值（0.31）.

（2）無理數(shù)的內(nèi)容廣度比較.

通過編碼結(jié)果，發(fā)現(xiàn)八國課程標(biāo)準(zhǔn)中對無理數(shù)的闡述普遍較少. 其中，四國設(shè)置了“無理數(shù)的概念”這一知識點(diǎn)，表明其對無理數(shù)概念理解的重視;而“比較大小、數(shù)軸表示、聯(lián)系實際”三個知識點(diǎn)則各只有一國設(shè)置，說明此部分不是各國課程標(biāo)準(zhǔn)普遍關(guān)注的內(nèi)容.

在編碼結(jié)果的統(tǒng)計中，八國課程標(biāo)準(zhǔn)中提到的無理數(shù)相關(guān)知識點(diǎn)共計5項，具體為：無理數(shù)的概念、比較大小、數(shù)軸表示、聯(lián)系實際、無理數(shù)的估值，數(shù)量相對較少. 通過計算八國課程標(biāo)準(zhǔn)中無理數(shù)的內(nèi)容廣度（如圖3），可以發(fā)現(xiàn)，八國課程標(biāo)準(zhǔn)的無理數(shù)內(nèi)容廣度存在較大差異. 其中，內(nèi)容廣度最大的國家是美國，其次是中國和韓國，再次是澳大利亞，并且其內(nèi)容廣度與八國平均值（0.28）相近，而英國、芬蘭、日本和新加坡四國課程標(biāo)準(zhǔn)沒有提及無理數(shù)相關(guān)內(nèi)容，其無理數(shù)內(nèi)容廣度為0，在八國中排名靠后.

3. 內(nèi)容設(shè)置比較

（1）根式的內(nèi)容設(shè)置比較.

我國課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)化根式內(nèi)容的地位，其內(nèi)容廣度高出平均值近70個百分點(diǎn). 其中，我國比其他國家多設(shè)置的內(nèi)容條目有“算術(shù)平方根的概念、算術(shù)平方根的表示、二次根式的概念、二次根式的四則運(yùn)算、最簡二次根式、乘方與開方的關(guān)系、計算器的使用”7項內(nèi)容條目;比其他國家缺少“平方根的估值、平方根的意義、平方根的實際問題”3項內(nèi)容條目.

通過分析課程標(biāo)準(zhǔn)文本對根式內(nèi)容的闡述，發(fā)現(xiàn)在根式的內(nèi)容設(shè)置方面，各國多對“平方根與立方根的概念、表示方法、計算”進(jìn)行闡述. 特別的是，我國課程標(biāo)準(zhǔn)對二次根式相關(guān)內(nèi)容及計算器的使用進(jìn)行闡述，提出對多種形式根式的計算要求. 日本課程標(biāo)準(zhǔn)提出“平方根在實際問題中的應(yīng)用”要求，日本和韓國的課程標(biāo)準(zhǔn)提出對“平方根意義”的理解，英國和澳大利亞兩國則提出“對平方根的估值”. 總體上，相較于中國，這些國家更為注重根式在內(nèi)涵理解和知識應(yīng)用層面的要求.

（2）無理數(shù)的內(nèi)容設(shè)置比較.

在無理數(shù)的內(nèi)容設(shè)置上，美國課程標(biāo)準(zhǔn)中無理數(shù)的內(nèi)容廣度高出平均值近70個百分點(diǎn)，比其他國家多設(shè)置的內(nèi)容條目有“大小比較、數(shù)軸表示”2項內(nèi)容條目;比其他國家缺少“聯(lián)系實際”1項內(nèi)容條目.

通過分析課程標(biāo)準(zhǔn)文本對無理數(shù)內(nèi)容的闡述，發(fā)現(xiàn)在無理數(shù)的內(nèi)容設(shè)置方面，各國課程標(biāo)準(zhǔn)多對無理數(shù)的概念理解提出要求. 而美國課程標(biāo)準(zhǔn)還提出“無理數(shù)的數(shù)軸表示、估計表達(dá)式的值、用有理數(shù)逼近無理數(shù)”等要求，這樣的內(nèi)容設(shè)置有助于學(xué)生深刻理解無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)的概念內(nèi)涵，并由此滲透逼近思想. 此外，韓國課程標(biāo)準(zhǔn)提出“平方根和無理數(shù)可以利用畢達(dá)哥拉斯定理引入;利用邊長為1的正方形的對角線長度等，直觀地理解無理數(shù)的存在”，這樣的表述順應(yīng)了無理數(shù)的歷史發(fā)展脈絡(luò)，有助于學(xué)生正確建立無理數(shù)概念，由此為數(shù)系擴(kuò)充的學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ). 總體而言，相較于中國，這些國家更注重學(xué)生對無理數(shù)的概念內(nèi)涵、產(chǎn)生過程的理解.

三、研究結(jié)論及啟示

基于以上研究結(jié)果，得到如下研究結(jié)論.

其一，在引入時間上，八國課程標(biāo)準(zhǔn)根式與無理數(shù)的引入時間具有較強(qiáng)的一致性，普遍先引入根式、后引入無理數(shù)，并且兩者的引入時間具有連續(xù)性.

其二，在內(nèi)容廣度上，八國課程標(biāo)準(zhǔn)的根式內(nèi)容廣度普遍較低，無理數(shù)的內(nèi)容廣度最值差距明顯，呈現(xiàn)出“兩極分化”特征. 總體而言，與根式相比之下，八國課程標(biāo)準(zhǔn)中的無理數(shù)內(nèi)容條目均較少.

其三，在內(nèi)容設(shè)置上，八國課程標(biāo)準(zhǔn)中根式與無理數(shù)的內(nèi)容設(shè)置則各具特色，并主要體現(xiàn)為對內(nèi)涵理解、知識應(yīng)用、產(chǎn)生過程的關(guān)注.

基于以上結(jié)論，對我國課程標(biāo)準(zhǔn)中根式與無理數(shù)的設(shè)置提出如下建議.

1. 適度加大無理數(shù)的內(nèi)容廣度

通過對課程標(biāo)準(zhǔn)文本的分析，發(fā)現(xiàn)相較于無理數(shù)，我國的根式知識點(diǎn)數(shù)量約為無理數(shù)知識點(diǎn)數(shù)量的六倍，而無理數(shù)是實數(shù)中的重要內(nèi)容，甚至是實數(shù)系擴(kuò)充的關(guān)鍵內(nèi)容，課程標(biāo)準(zhǔn)對無理數(shù)的關(guān)注將影響到教師對無理數(shù)內(nèi)容的重視程度，進(jìn)而影響到學(xué)生對此部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)效果. 在歷史上，無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)引發(fā)了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，并推動了數(shù)系的擴(kuò)充，其在數(shù)系中的重要性與地位不容忽視. 我國課程標(biāo)準(zhǔn)在重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)根式內(nèi)容、構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)的同時，也應(yīng)注意對各部分內(nèi)容做出更加全面的要求. 在新課程標(biāo)準(zhǔn)的修訂中，我國課程標(biāo)準(zhǔn)可考慮適當(dāng)增加無理數(shù)的內(nèi)容占比，并細(xì)化其內(nèi)容條目，豐富其內(nèi)容要求，由此強(qiáng)化無理數(shù)的重要地位，協(xié)調(diào)課程標(biāo)準(zhǔn)中根式與無理數(shù)的內(nèi)容廣度.

2. 在教學(xué)建議中加強(qiáng)數(shù)學(xué)史的滲透

歷史上，人類對無理數(shù)的認(rèn)識從“根號型”開始，并且無理數(shù)從出現(xiàn)到被廣泛接受經(jīng)歷了相當(dāng)長的時間，根據(jù)人類學(xué)習(xí)的歷史相似性，學(xué)生對無理數(shù)的接受和理解存在較大的困難. 韓國課程標(biāo)準(zhǔn)提出“以正方形的對角線直觀地理解無理數(shù)”的教學(xué)與學(xué)習(xí)建議，則順應(yīng)了數(shù)學(xué)史脈絡(luò)，較為具體地給出了教學(xué)設(shè)計示例，這樣的教學(xué)過程有助學(xué)生體驗知識的產(chǎn)生過程并從中滲透數(shù)學(xué)文化. 我國課程標(biāo)準(zhǔn)可以考慮在教學(xué)建議中加強(qiáng)對數(shù)學(xué)史的關(guān)注，并將建議具體化，從而利于教師準(zhǔn)確把握課程標(biāo)準(zhǔn)的意圖，使學(xué)生有機(jī)會更廣泛地了解知識的發(fā)生背景、原因及過程，啟發(fā)其思考知識的內(nèi)在聯(lián)系，從而在宏觀上把握實數(shù)系的發(fā)展脈絡(luò)，在微觀上理解根式與無理數(shù)之間的密切聯(lián)系.

3. 進(jìn)一步提出對根式與無理數(shù)的應(yīng)用性要求

情境能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、促進(jìn)其數(shù)學(xué)理解，國際項目PISA的歷次測評框架均體現(xiàn)出其對真實情境的關(guān)注，強(qiáng)調(diào)個體利用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力，并注重學(xué)生應(yīng)用能力的發(fā)展. 通過比較發(fā)現(xiàn)，在根式與無理數(shù)的闡述中，日本和韓國課程標(biāo)準(zhǔn)均對相關(guān)內(nèi)容在實際問題中的應(yīng)用提出要求，注重對學(xué)生應(yīng)用意識的培養(yǎng)，而我國課程標(biāo)準(zhǔn)沒有提及相關(guān)要求. 應(yīng)用知識解決實際問題，是推動數(shù)學(xué)不斷發(fā)展的重要因素之一，更是新時代人才必備的核心能力. 我國課程標(biāo)準(zhǔn)可以考慮提出對根式與無理數(shù)的應(yīng)用性要求，強(qiáng)化知識的實用價值，并拓展教學(xué)資源，指引教師進(jìn)一步挖掘生活中的素材，甚至是跨學(xué)科的應(yīng)用，從而使學(xué)生在實際問題的解決中體會根式、無理數(shù)引入的必要性，在知識的感悟、形成、發(fā)展過程中體會其應(yīng)用價值.

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