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        走出教材,走進最近發(fā)展區(qū)

        2020-12-29 11:17:25孫慧
        科學(xué)大眾 2020年7期
        關(guān)鍵詞:教學(xué)設(shè)計

        孫慧

        摘 要:九年級學(xué)生已具備一定的幾何推理能力,雖然此內(nèi)容不在教科書范圍內(nèi),但在很多習(xí)題、課外輔導(dǎo)中都有涉及,學(xué)生頻頻遇到,為此,文章作了四點共圓的設(shè)計參考,執(zhí)教后效果良好。

        關(guān)鍵詞:四點共圓;教學(xué)設(shè)計;互逆命題

        1? ? 四點共圓的教學(xué)設(shè)計

        1.1? 環(huán)節(jié)1:概念明晰

        提問:任何4個點都能共處一個圓周上嗎?

        學(xué)生知道不可能,但不一定清楚具體緣由。教師給出四點共圓概念:如果同一平面內(nèi)的4個點恰好在同一個圓上,則稱這4個點共圓。加了口語“恰好”,給學(xué)生建立意識:并不是所有點都處在一個圓上的,并且接下來的內(nèi)容都是建立在“恰好”的基礎(chǔ)上。

        1.2? 環(huán)節(jié)2:性質(zhì)探究,加深理解

        提問:在人教版九年級上冊24章,已經(jīng)學(xué)習(xí)了圓的內(nèi)接四邊形的相關(guān)性質(zhì)。你能夠說出圓的內(nèi)接四邊形哪些特征?學(xué)生比較容易得出答案。

        性質(zhì)1:圓的內(nèi)接四邊形對角互補。

        提問:四邊形的一個內(nèi)角,只和它的對角互補嗎?

        引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)外角和內(nèi)角也是互補關(guān)系。

        性質(zhì)2:圓的內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對角。

        提問:通過前面的兩個性質(zhì)發(fā)現(xiàn)了四點共圓中的角相等。結(jié)合圖1,學(xué)生還能觀察到什么?

        給學(xué)生思考方向—角相等。利用同弧所對的圓周角相等,可發(fā)現(xiàn)∠D=∠C。連接CD,會有更多的相等角出現(xiàn),鼓勵學(xué)生用數(shù)學(xué)語言概述發(fā)現(xiàn)。

        性質(zhì)3:共圓的四個點,所連成同側(cè)共底的兩個三角形的頂角相等。

        環(huán)節(jié)2是對共圓的四點所圍成的四邊形的性質(zhì)的探究。結(jié)果發(fā)現(xiàn),3條性質(zhì)都是對角相等的分析,由此對共圓的四個點有更獨特的認識,有助于學(xué)生區(qū)別圓的內(nèi)接四邊形與普通四邊形。點撥性質(zhì)3的作用:只要證出四點是共圓的,即便圖中無圓,也可得到三角形中角的關(guān)系。此點撥可引發(fā)學(xué)生質(zhì)疑如何證明四點共圓的問題。

        1.3? 環(huán)節(jié)3:刨根問底,追溯源頭

        提問:“恰好”在一個圓上的4個點,才有以上角相等的特征性質(zhì)。那么怎樣的4個點,才能滿足“恰好”是需要解決的問題。教師通過書本告訴學(xué)生幾點確定一個圓也是值得研究的問題。

        提醒學(xué)生,不在同一直線上的三點確定一個圓。還有一個點,需要滿足什么條件才能在圓上的問題是需要探討的。因此,不妨先作出△ABC。具體如圖2所示。

        若點D在圓上,由性質(zhì)1可知∠D和∠B互補;若點D不在圓上,就只能在圓外或圓內(nèi),會出現(xiàn)的情況是需要考慮的問題。順著思路,假設(shè)點D在圓外。連接CD,交⊙O于點D′,連接AD′,發(fā)現(xiàn)如圖2所示,A、D′、C、B四點共圓,因此,∠AD′C和∠B互補。并且在△ADD′中,∠AD′C>∠D,即∠D+∠B≠180°;同理,若點D在圓內(nèi),也會發(fā)現(xiàn)∠D+∠B≠180°,因此得到四點共圓的關(guān)鍵所在:∠D+∠B=180°,即對角互補。

        判定1:對角互補的四邊形,4個頂點共圓。

        提問:對比性質(zhì)1和判定1,你發(fā)現(xiàn)了什么?

        性質(zhì)1反過來說就是判定1。教師點撥,性質(zhì)1和判定1 是互逆命題。啟發(fā)學(xué)生要用規(guī)范的數(shù)學(xué)語言“互逆命題”,同時為后續(xù)判定方法的探究指明方向。

        提問:那誰能說出判定2呢?

        判定2是性質(zhì)2的逆命題,學(xué)生容易答出。

        判定2:外角等于內(nèi)對角的四邊形4個頂點共圓。

        提問:圖3中的∠D和∠B位于AC異側(cè),如果兩角位于AC同側(cè),那需要滿足什么條件,才能說明點D在圓上呢?

        若點D在圓上,由性質(zhì)3可知∠D和∠B相等;若點D不在圓上,就只能在圓外或圓內(nèi),會出現(xiàn)什么情況?順著思路,假設(shè)點D在圓外。連接BD,交⊙O于點D′,連接AD′,發(fā)現(xiàn)如圖3所示,A,D′,C,B四點共圓,因此∠AD′B和∠C相等。并且在△ADD′中,∠AD′B>∠D,即∠D≠∠C;同理,若點D在圓內(nèi),也會發(fā)現(xiàn)∠D≠∠C,因此得到關(guān)鍵要素:∠D=∠C。這也就是性質(zhì)3的逆命題。

        判定3:同側(cè)共底的兩個三角形的頂角相等,則四點共圓。

        1.4? 環(huán)節(jié)4:例題訓(xùn)練,鞏固新知

        例1:如圖4所示,在四邊形ABCD中,BC=CD,對角線AC平分∠BAD,AB>AD。求證:A,B,C,D四點共圓。

        思路點撥:利用角平分線的性質(zhì),通過三角形全等證明∠ADB+∠B=180°,得到四點共圓。判定1,2皆可。

        設(shè)計意圖:反思舊知,活用新知。

        例2:如圖5所示,AB是⊙O的直徑,CD⊥AB于點K,點E是圓上一點,連接AE交DC于點F。證:E,F(xiàn),B,K四點共圓。

        思路點撥:圖中有很多直角,∠FEB=∠AEB=∠FKB=90°,連接BE,BE同側(cè)的角相等,調(diào)用判定3,四點共圓。

        設(shè)計意圖:圖中的垂直就是角相等的暗示。

        例3:如圖6所示,在△ABC中,AD⊥BC,DE⊥AB,DF⊥AC。求證:B,E,F(xiàn),C四點共圓。

        思路點撥:由DE⊥AB,DF⊥AC,不難發(fā)現(xiàn)A,E,F(xiàn),C四點共圓,因此∠ADE=∠AFE;由AD⊥BC,得到∠B=∠ADE,所以∠B=∠AFE,∠B+∠EFC=180°。

        設(shè)計意圖:四點共圓的性質(zhì)和判定的綜合練習(xí)。

        2? ? 教學(xué)立意反思

        緊抓學(xué)生的最近發(fā)展區(qū),是設(shè)計本課的宗旨。學(xué)生課下的自主學(xué)習(xí)已多次涉及四點共圓,本課的教學(xué)勢在必行。本課從圓的內(nèi)接四邊形出發(fā),聯(lián)系舊知,得到四點共圓在角相等方面的性質(zhì);并通過互逆命題的猜想,得到四點共圓的判定方法,極大地擴充了學(xué)生對圓的內(nèi)接四邊形的認知范疇。

        [參考文獻]

        [1]王友峰.專業(yè)自主增設(shè)內(nèi)容,回看陳詞漏洞結(jié)構(gòu)[J].教學(xué)導(dǎo)航,2016(12):10-11.

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