孫慧

摘 要：九年級學生已具備一定的幾何推理能力，雖然此內(nèi)容不在教科書范圍內(nèi)，但在很多習題、課外輔導中都有涉及，學生頻頻遇到，為此，文章作了四點共圓的設(shè)計參考，執(zhí)教后效果良好。

關(guān)鍵詞：四點共圓;教學設(shè)計;互逆命題

1? ? 四點共圓的教學設(shè)計

1.1? 環(huán)節(jié)1：概念明晰

提問：任何4個點都能共處一個圓周上嗎？

學生知道不可能，但不一定清楚具體緣由。教師給出四點共圓概念：如果同一平面內(nèi)的4個點恰好在同一個圓上，則稱這4個點共圓。加了口語“恰好”，給學生建立意識：并不是所有點都處在一個圓上的，并且接下來的內(nèi)容都是建立在“恰好”的基礎(chǔ)上。

1.2? 環(huán)節(jié)2：性質(zhì)探究，加深理解

提問：在人教版九年級上冊24章，已經(jīng)學習了圓的內(nèi)接四邊形的相關(guān)性質(zhì)。你能夠說出圓的內(nèi)接四邊形哪些特征？學生比較容易得出答案。

性質(zhì)1：圓的內(nèi)接四邊形對角互補。

提問：四邊形的一個內(nèi)角，只和它的對角互補嗎？

引導學生發(fā)現(xiàn)外角和內(nèi)角也是互補關(guān)系。

性質(zhì)2：圓的內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對角。

提問：通過前面的兩個性質(zhì)發(fā)現(xiàn)了四點共圓中的角相等。結(jié)合圖1，學生還能觀察到什么？

給學生思考方向—角相等。利用同弧所對的圓周角相等，可發(fā)現(xiàn)∠D=∠C。連接CD，會有更多的相等角出現(xiàn)，鼓勵學生用數(shù)學語言概述發(fā)現(xiàn)。

性質(zhì)3：共圓的四個點，所連成同側(cè)共底的兩個三角形的頂角相等。

環(huán)節(jié)2是對共圓的四點所圍成的四邊形的性質(zhì)的探究。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，3條性質(zhì)都是對角相等的分析，由此對共圓的四個點有更獨特的認識，有助于學生區(qū)別圓的內(nèi)接四邊形與普通四邊形。點撥性質(zhì)3的作用：只要證出四點是共圓的，即便圖中無圓，也可得到三角形中角的關(guān)系。此點撥可引發(fā)學生質(zhì)疑如何證明四點共圓的問題。

1.3? 環(huán)節(jié)3：刨根問底，追溯源頭

提問：“恰好”在一個圓上的4個點，才有以上角相等的特征性質(zhì)。那么怎樣的4個點，才能滿足“恰好”是需要解決的問題。教師通過書本告訴學生幾點確定一個圓也是值得研究的問題。

提醒學生，不在同一直線上的三點確定一個圓。還有一個點，需要滿足什么條件才能在圓上的問題是需要探討的。因此，不妨先作出△ABC。具體如圖2所示。

若點D在圓上，由性質(zhì)1可知∠D和∠B互補;若點D不在圓上，就只能在圓外或圓內(nèi)，會出現(xiàn)的情況是需要考慮的問題。順著思路，假設(shè)點D在圓外。連接CD，交⊙O于點D′，連接AD′，發(fā)現(xiàn)如圖2所示，A、D′、C、B四點共圓，因此，∠AD′C和∠B互補。并且在△ADD′中，∠AD′C>∠D，即∠D+∠B≠180°;同理，若點D在圓內(nèi)，也會發(fā)現(xiàn)∠D+∠B≠180°，因此得到四點共圓的關(guān)鍵所在：∠D+∠B=180°，即對角互補。

判定1：對角互補的四邊形，4個頂點共圓。

提問：對比性質(zhì)1和判定1，你發(fā)現(xiàn)了什么？

性質(zhì)1反過來說就是判定1。教師點撥，性質(zhì)1和判定1 是互逆命題。啟發(fā)學生要用規(guī)范的數(shù)學語言“互逆命題”，同時為后續(xù)判定方法的探究指明方向。

提問：那誰能說出判定2呢？

判定2是性質(zhì)2的逆命題，學生容易答出。

判定2：外角等于內(nèi)對角的四邊形4個頂點共圓。

提問：圖3中的∠D和∠B位于AC異側(cè)，如果兩角位于AC同側(cè)，那需要滿足什么條件，才能說明點D在圓上呢？

若點D在圓上，由性質(zhì)3可知∠D和∠B相等;若點D不在圓上，就只能在圓外或圓內(nèi)，會出現(xiàn)什么情況？順著思路，假設(shè)點D在圓外。連接BD，交⊙O于點D′，連接AD′，發(fā)現(xiàn)如圖3所示，A，D′，C，B四點共圓，因此∠AD′B和∠C相等。并且在△ADD′中，∠AD′B>∠D，即∠D≠∠C;同理，若點D在圓內(nèi)，也會發(fā)現(xiàn)∠D≠∠C，因此得到關(guān)鍵要素：∠D=∠C。這也就是性質(zhì)3的逆命題。

判定3：同側(cè)共底的兩個三角形的頂角相等，則四點共圓。

1.4? 環(huán)節(jié)4：例題訓練，鞏固新知

例1：如圖4所示，在四邊形ABCD中，BC=CD，對角線AC平分∠BAD，AB>AD。求證：A，B，C，D四點共圓。

思路點撥：利用角平分線的性質(zhì)，通過三角形全等證明∠ADB+∠B=180°，得到四點共圓。判定1，2皆可。

設(shè)計意圖：反思舊知，活用新知。

例2：如圖5所示，AB是⊙O的直徑，CD⊥AB于點K，點E是圓上一點，連接AE交DC于點F。證：E，F(xiàn)，B，K四點共圓。

思路點撥：圖中有很多直角，∠FEB=∠AEB=∠FKB=90°，連接BE，BE同側(cè)的角相等，調(diào)用判定3，四點共圓。

設(shè)計意圖：圖中的垂直就是角相等的暗示。

例3：如圖6所示，在△ABC中，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC。求證：B，E，F(xiàn)，C四點共圓。

思路點撥：由DE⊥AB，DF⊥AC，不難發(fā)現(xiàn)A，E，F(xiàn)，C四點共圓，因此∠ADE=∠AFE;由AD⊥BC，得到∠B=∠ADE，所以∠B=∠AFE，∠B+∠EFC=180°。

設(shè)計意圖：四點共圓的性質(zhì)和判定的綜合練習。

2? ? 教學立意反思

緊抓學生的最近發(fā)展區(qū)，是設(shè)計本課的宗旨。學生課下的自主學習已多次涉及四點共圓，本課的教學勢在必行。本課從圓的內(nèi)接四邊形出發(fā)，聯(lián)系舊知，得到四點共圓在角相等方面的性質(zhì);并通過互逆命題的猜想，得到四點共圓的判定方法，極大地擴充了學生對圓的內(nèi)接四邊形的認知范疇。

[參考文獻]

[1]王友峰.專業(yè)自主增設(shè)內(nèi)容，回看陳詞漏洞結(jié)構(gòu)[J].教學導航，2016（12）：10-11.