彭文春

【摘 要】本文以廣西高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課《平均變化率問(wèn)題》為例，闡述在教學(xué)中設(shè)計(jì)問(wèn)題，以問(wèn)題帶動(dòng)和引導(dǎo)學(xué)生掌握概念，從而培養(yǎng)學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的策略。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) 概念課 問(wèn)題引導(dǎo) 核心素養(yǎng)

【中圖分類號(hào)】G? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2020）26-0116-03

新高考改革即將到來(lái)，如何在課堂中培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)是我們一線教師需要長(zhǎng)期探索的一個(gè)課題。在數(shù)學(xué)概念課教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)是非畢業(yè)班教學(xué)的重點(diǎn)。數(shù)學(xué)概念課教學(xué)應(yīng)以問(wèn)題為主線，以問(wèn)題帶動(dòng)和引導(dǎo)學(xué)生掌握概念，從而培養(yǎng)學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)。本文以廣西高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課《平均變化率問(wèn)題》為例，分四個(gè)環(huán)節(jié)闡述在概念課教學(xué)中以問(wèn)題為主線培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)的方法。

一、巧設(shè)情境，導(dǎo)出問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生探究的興趣

尊重學(xué)生認(rèn)知的規(guī)律，巧妙創(chuàng)設(shè)情境，從情境中提出問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，能使一節(jié)課“活”起來(lái)。一節(jié)好的概念課離不開(kāi)巧妙的情境創(chuàng)設(shè)和有效的問(wèn)題導(dǎo)出。

上課開(kāi)始，教師在 PPT 中呈現(xiàn)一幅正在升起的五星紅旗畫(huà)面。這是建國(guó) 70 周年國(guó)慶大閱兵的場(chǎng)景。接下來(lái)讓學(xué)生欣賞一段國(guó)慶慶典晚會(huì)《奮斗吧，中華兒女》視頻片段。視頻展示中國(guó)幾十年來(lái)服務(wù)業(yè)增長(zhǎng)、貨物進(jìn)出口總額增長(zhǎng)、外匯儲(chǔ)備增長(zhǎng)、人均可支配收入增長(zhǎng)等條形圖。讓學(xué)生注意觀察視頻中出現(xiàn)的條形圖（如圖 1）。

設(shè)置問(wèn)題：“思考下面哪個(gè)時(shí)間段人均可支配收入增長(zhǎng)最快？是 1990—2005，2005—2015 還是 2015—2017？”讓學(xué)生討論，這時(shí)大多數(shù)學(xué)生能根據(jù)圖象進(jìn)行直觀判斷。教師對(duì)學(xué)生的回答給予肯定并作恰當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，然后示意學(xué)生通過(guò)動(dòng)手計(jì)算來(lái)驗(yàn)證自己判斷的準(zhǔn)確性。學(xué)生在運(yùn)算過(guò)程中有可能計(jì)算錯(cuò)誤，或者是直接將末年支配收入減去首年支配收入。這個(gè)時(shí)候需要老師用啟發(fā)式的問(wèn)題進(jìn)行引導(dǎo)：“你覺(jué)得直接用減法來(lái)進(jìn)行判斷對(duì)不對(duì)呢 ？因?yàn)榍懊鎯蓚€(gè)間隔 5 年，最后一個(gè)間隔 2 年。”由此學(xué)生容易想到應(yīng)該計(jì)算每年平均增長(zhǎng)值才是正確的。利用問(wèn)題讓學(xué)生初步有了計(jì)算平均值的意識(shí)，為下面的學(xué)習(xí)作鋪墊。

通過(guò)新中國(guó)成立 70 周年國(guó)慶慶典場(chǎng)景的設(shè)計(jì)，課前導(dǎo)入讓學(xué)生眼前一亮，激發(fā)學(xué)生的興趣。在計(jì)算平均值的過(guò)程中巧設(shè)并利用問(wèn)題一步一步地啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行思考，使學(xué)生充分理解求平均值的必要性，使整節(jié)課的開(kāi)頭自然而和諧。

二、哲理思辨，巧設(shè)問(wèn)題，用課本實(shí)例培養(yǎng)學(xué)科核心素養(yǎng)

一節(jié)好的概念課必須充滿哲理思辨、環(huán)環(huán)相扣，巧設(shè)問(wèn)題、承上啟下、過(guò)渡自然。要做到哲理思辨，巧設(shè)問(wèn)題，就要做到思想的錘煉、語(yǔ)言的揣摩和問(wèn)題過(guò)渡的自然。

在引入課本內(nèi)容時(shí)，教師用語(yǔ)言巧妙過(guò)渡?！笆澜缟系乃惺挛锒际窃谶\(yùn)動(dòng)變化的，它們可能表現(xiàn)在量的變化、形狀的大小變化，或者速度的快慢變化等上面。剛才我們研究了量的變化，接下來(lái)我們來(lái)研究形狀的大小變化”，從而自然地導(dǎo)入學(xué)習(xí)的第一個(gè)問(wèn)題“氣球膨脹率問(wèn)題”。

為了讓學(xué)生更深刻地體會(huì)，教師讓學(xué)生動(dòng)手做一個(gè)打氣球的實(shí)驗(yàn)。教師拿出氣球與 3 個(gè)打氣筒，請(qǐng)三位男生上來(lái)實(shí)驗(yàn)。第一位男生打氣 5 下，第二位男生打氣 10 下，第三位男生打氣 15 下。學(xué)生打完氣扎好氣球后并排站在同學(xué)們前面。教師讓學(xué)生觀察這三個(gè)氣球，并提問(wèn)：“你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？”啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)隨著氣球體積的增大，半徑增加得越來(lái)越慢的現(xiàn)象。為了能從數(shù)學(xué)的角度來(lái)描述這個(gè)現(xiàn)象，教師在此處恰當(dāng)?shù)貟伋鲆粋€(gè)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究。

如果我們把氣球看作一個(gè)球。打氣 5 下的體積為 1 L，氣球沒(méi)打氣時(shí)的體積 v0=0 L，半徑 r0=0 dm;打氣 5 下體積 v1=1 L，半徑 r1≈0.62 dm;再打氣 5 下，體積 v2=2 L，半徑 r2≈0.78 dm;繼續(xù)打氣 5 下，體積 v3=3 L，r3≈0.85 dm。那么，我們?nèi)绾斡脭?shù)字來(lái)描述剛才發(fā)現(xiàn)的這個(gè)現(xiàn)象呢？

這時(shí)，教師讓學(xué)生小組合作探究并通過(guò)數(shù)據(jù)展示的方式證明自己的發(fā)現(xiàn)：當(dāng)半徑的差除以體積的差時(shí)，得到的數(shù)據(jù)越來(lái)越小，從而說(shuō)明氣球半徑增加的速度越來(lái)越慢。

解決了第一個(gè)實(shí)例之后，教師再過(guò)渡：“剛才我們研究了物體形狀的大小變化，接下來(lái)，我們?cè)僖黄饋?lái)研究物體運(yùn)動(dòng)速度的快慢變化?！睆亩匀坏匾稣n本的第二個(gè)實(shí)例：我們國(guó)家的跳水隊(duì)是中國(guó)的夢(mèng)之隊(duì)之一，下面我們來(lái)欣賞一段高臺(tái)跳水視頻。請(qǐng)大家邊看視頻邊思考，如果把運(yùn)動(dòng)員看作一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，那么她在空中的運(yùn)動(dòng)軌跡是什么呢？

教師在此處播放一個(gè) 10 秒的小視頻，并在播放前給學(xué)生交代任務(wù)，讓學(xué)生帶著任務(wù)有目的地觀看視頻。播放完北京奧運(yùn)會(huì)女子雙人 10 米跳臺(tái)跳水賽視頻后，教師讓學(xué)生回答前面提出的問(wèn)題。學(xué)生都能理解跳水運(yùn)動(dòng)員在空中運(yùn)動(dòng)的軌跡類似二次函數(shù)圖形。教師再引出問(wèn)題：

在跳臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中，運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度 h（單位：m）與起跳后的時(shí)間 t（單位：s）存在函數(shù)關(guān)系：h（t）=-4.9 t2+6.5 t+10，如何計(jì)算 0≤t≤0.5 與 1≤t≤2 兩個(gè)時(shí)間段的平均速度？

設(shè)計(jì)這兩個(gè)時(shí)間段是讓學(xué)生在計(jì)算中發(fā)現(xiàn)產(chǎn)生負(fù)數(shù)從而引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)速度有正負(fù)之分，并引出在計(jì)算速度的增量的時(shí)候要給式子加上一個(gè)絕對(duì)值。通過(guò)與學(xué)生一起體驗(yàn)教材中的兩個(gè)實(shí)例，教師以問(wèn)題的形式引導(dǎo)學(xué)生計(jì)算平均變化率，為自然生成平均變化率的概念作重要的鋪墊。

在這個(gè)環(huán)節(jié)中，設(shè)計(jì)語(yǔ)言的過(guò)渡尤為重要，它能使整節(jié)課自然而順暢。在引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)平均變化率時(shí)，需要教師反復(fù)揣摩學(xué)生在體驗(yàn)及自我探究的過(guò)程中可能會(huì)出現(xiàn)的種種困難，需要教師能夠預(yù)測(cè)并能及時(shí)解決。例如，學(xué)生在計(jì)算實(shí)例一的氣球平均膨脹率時(shí)，對(duì)是半徑之差除以體積之差，還是體積之差除以半徑之差容易混淆。這是對(duì)膨脹率的概念理解不透徹造成的，教師要善于在此處加以引導(dǎo)。教師在學(xué)生探究的過(guò)程中還要注意使用恰當(dāng)?shù)恼Z(yǔ)言進(jìn)行激勵(lì)，肯定學(xué)生的表現(xiàn)，讓學(xué)生熱愛(ài)探究并敢于表達(dá)自己的觀點(diǎn)。張景中先生說(shuō)“用數(shù)學(xué)的眼光看世界”，數(shù)學(xué)來(lái)源于生活而高于生活，從哲學(xué)的角度出發(fā)把創(chuàng)設(shè)的情境與課本中的兩個(gè)實(shí)例貫穿起來(lái)，使整節(jié)課顯得自然。在這一環(huán)節(jié)中，教師還應(yīng)注重引導(dǎo)和鼓勵(lì)學(xué)生參與并體驗(yàn)活動(dòng)，自己動(dòng)手，通過(guò)探究自主解決問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題、計(jì)算能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

三、總結(jié)歸納，解決問(wèn)題，鞏固對(duì)概念的理解

在一節(jié)數(shù)學(xué)概念課教學(xué)中，教師應(yīng)該先讓學(xué)生體驗(yàn)、感受概念提出的必要性，然后才引出概念，并指導(dǎo)學(xué)生歸納概念的準(zhǔn)確含義。

本節(jié)課通過(guò)“氣球膨脹率”與“跳臺(tái)跳水”兩個(gè)生活中的實(shí)例，讓學(xué)生充分地感受平均變化率的真實(shí)含義。教師在此做恰當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，歸納得到平均變化率的定義。實(shí)例中的變化率可用式子? 表示，我們把這個(gè)式子稱為函數(shù) y=f（x）從 x1 到 x2 的平均變化率。習(xí)慣上我們用 ?x=x2-x1，相對(duì)應(yīng)的 ?y=y2-y1，于是平均變化率可以表示為：。歸納出平均變化率的計(jì)算公式之后教師可以在此處設(shè)計(jì)問(wèn)題：“思考式中對(duì) ?x 和 ?y 的范圍有要求嗎？”由于公式是以分式的形式出現(xiàn)，學(xué)生能夠快速地考慮到因?yàn)??x 為分母，所以不能等于 0，但可正可負(fù);?y 可正、可負(fù)，也可以等于 0。教師趁熱打鐵，再與學(xué)生一起總結(jié)求平均變化率的主要步驟。

概念的形成是否讓學(xué)生有深刻而準(zhǔn)確的認(rèn)知，是衡量一節(jié)概念課教學(xué)前兩個(gè)環(huán)節(jié)是否成功的重要標(biāo)準(zhǔn)。在概念形成之后，本節(jié)課還在此處設(shè)計(jì)四道選擇題，目的主要是加深對(duì)概念“變化率”中的關(guān)鍵詞“平均”“函數(shù)值的增量”的理解。

四、巧設(shè)角度，拓展探究，學(xué)以致用

拓展概念是一節(jié)概念課升華的部分，也是最后一個(gè)環(huán)節(jié)。概念的升華往往涉及能力的轉(zhuǎn)移或者是為下一個(gè)探究的課題作必要的鋪墊。這個(gè)環(huán)節(jié)起到了畫(huà)龍點(diǎn)睛的作用。本節(jié)課在這個(gè)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)了兩個(gè)探究題。

〖探究一〗畫(huà)出函數(shù) y=f（x）的圖象，并展示平均變化率的式子。提問(wèn)：從幾何的角度看，它和我們前面學(xué)習(xí)過(guò)的哪個(gè)公式的結(jié)構(gòu)相似呢？平均變化率又可以看成什么呢？

讓學(xué)生觀察平均變化率的式子 ，結(jié)合函數(shù) y=f（x）的圖象，從幾何的角度，學(xué)生不難看出，它表示割線 AB 的斜率，這就是平均變化率的幾何意義。

〖探究二〗利用剛才的第二個(gè)實(shí)例，讓學(xué)生計(jì)算在跳臺(tái)跳水中運(yùn)動(dòng)員在? 這段時(shí)間里的平均速度，并思考運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間是否靜止？用平均速度描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么問(wèn)題。

在此處學(xué)生計(jì)算有困難，畢竟有些學(xué)生在計(jì)算能力方面不是強(qiáng)項(xiàng)。教師可以提醒學(xué)生通過(guò)觀察圖象來(lái)解決問(wèn)題。由于二次函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，而? 恰好關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，學(xué)生把數(shù)據(jù)代入式子可以發(fā)現(xiàn)分子上的兩個(gè)因式相反，合為 0，于是便能快速地算出來(lái)。接著提出問(wèn)題：“ 是不是說(shuō)運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間里是靜止的呢？”學(xué)生顯然覺(jué)得不是?！翱磥?lái)用平均速度描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不準(zhǔn)確，那么用什么來(lái)描述物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)更準(zhǔn)確呢？”由此問(wèn)題引出“瞬時(shí)速度”。“如何求瞬時(shí)速度呢？”由于前面已經(jīng)有了平均變化率的公式，學(xué)生不難想到只要使時(shí)間差不斷地趨近于 0 即可?！凹热凰矔r(shí)速度是使時(shí)間差不斷地趨近于 0，那么我們繼續(xù)探究：當(dāng)點(diǎn) B 逼近點(diǎn) A 時(shí)，即 ?x→0 時(shí)，割線 AB 會(huì)有什么變化？此時(shí)的平均變化率又表示什么呢？”這樣的問(wèn)題既能培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想，又能讓學(xué)生感知解決問(wèn)題方法的多樣性，開(kāi)闊學(xué)生的思維。之后，教師利用幾何畫(huà)板進(jìn)行動(dòng)態(tài)展示，學(xué)生通過(guò)觀察很快發(fā)現(xiàn)，隨著點(diǎn) B 不斷地靠近點(diǎn) A，割線 AB 逐漸變成點(diǎn) A 處的切線。此時(shí)的平均變化率成為點(diǎn) A 處的瞬時(shí)速度。由于 ?x→0，分母不斷趨近于 0。運(yùn)用前面所學(xué)知識(shí)已經(jīng)無(wú)法解決，從而引出了導(dǎo)數(shù)。本節(jié)課的最后為下一節(jié)課導(dǎo)數(shù)的概念做了必要的鋪墊。

第四個(gè)環(huán)節(jié)的兩個(gè)探究緊密聯(lián)系，側(cè)重培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想和觀察能力。數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)中重要的思想，通過(guò)觀察圖象讓數(shù)學(xué)問(wèn)題形象化，從而為解決問(wèn)題提供了更多的方法，讓探究變得易于操作。動(dòng)態(tài)的幾何畫(huà)板展示體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的美，增加學(xué)生的興趣，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的核心素養(yǎng)。

一節(jié)數(shù)學(xué)概念課教學(xué)，教師在備課與磨課的過(guò)程中應(yīng)該注重設(shè)計(jì)，并引導(dǎo)學(xué)生去探究。設(shè)計(jì)問(wèn)題的手段可以是播放視頻、游戲、模擬實(shí)驗(yàn)等，學(xué)生在探究過(guò)程中可以采用小組合作探究、實(shí)驗(yàn)探究等方式。教師在學(xué)生探究的過(guò)程中通過(guò)問(wèn)題的引導(dǎo)讓學(xué)生的思維碰撞出火花，并在引導(dǎo)學(xué)生的過(guò)程中注意使用鼓勵(lì)性的語(yǔ)言激發(fā)學(xué)生往下探究的興趣。以問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生收獲知識(shí)并培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)是需要一線教師不斷探究并實(shí)踐的課題。教師要通過(guò)問(wèn)題引導(dǎo)，使學(xué)生不斷地探究，從而上好每一節(jié)概念課。

【參考文獻(xiàn)】

[1]楊興剛.數(shù)學(xué)文化背景下基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的“平均變化率”教學(xué)設(shè)計(jì)[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2017（11）.

（責(zé)編 盧建龍）