沈威 曹廣福

摘要：基于數(shù)學(xué)課題研究的創(chuàng)造性特征，初步提出中學(xué)數(shù)學(xué)課題式教學(xué)，圍繞數(shù)學(xué)形成的本來(lái)面目，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)“再創(chuàng)造”的過(guò)程，發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。中學(xué)數(shù)學(xué)課題式教學(xué)的邏輯起點(diǎn)是數(shù)學(xué)本原，根本動(dòng)力是問(wèn)題驅(qū)動(dòng)。其環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)主要應(yīng)回答“所教數(shù)學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)本原是什么”“學(xué)生擁有哪些數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)和生活經(jīng)驗(yàn)”等7個(gè)方面的問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：課題式教學(xué) 數(shù)學(xué)本原 問(wèn)題驅(qū)動(dòng) 再創(chuàng)造

中學(xué)數(shù)學(xué)的很多教學(xué)方法（模式）主要關(guān)注每節(jié)課的教學(xué)實(shí)施，但不關(guān)注各章節(jié)知識(shí)之間聯(lián)系的教學(xué)處理，造成每節(jié)課教學(xué)自成一體、相互分裂的局面，缺乏對(duì)各章節(jié)知識(shí)之間統(tǒng)領(lǐng)性問(wèn)題情境、數(shù)學(xué)思想、科學(xué)價(jià)值等的教學(xué)設(shè)計(jì)。這造成學(xué)生學(xué)到的是碎片化的知識(shí)點(diǎn)，沒(méi)有掌握與理解這些知識(shí)產(chǎn)生背后的重要性、關(guān)聯(lián)性、統(tǒng)領(lǐng)性。破解上述問(wèn)題的主要方向是，從教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法兩個(gè)方面入手，重構(gòu)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)方法（模式）?；诖?，初步提出中學(xué)數(shù)學(xué)課題式教學(xué)（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“課題式教學(xué)”）。

一、課題式教學(xué)的含義

（一）課題

“課題”一詞來(lái)源于科學(xué)研究話(huà)語(yǔ)體系?？茖W(xué)研究的課題主要分為經(jīng)驗(yàn)課題和理論課題。其中，經(jīng)驗(yàn)課題研究的目的是揭示、精確描述和認(rèn)真研究各種現(xiàn)象和過(guò)程的不同要素;理論課題研究的目的是根據(jù)科學(xué)原理和認(rèn)識(shí)方法研究和揭示決定客體形狀、結(jié)構(gòu)、特性的各種原因、聯(lián)系和相互關(guān)系。在開(kāi)展理論課題研究時(shí)，邏輯認(rèn)識(shí)方法非常重要，利用這一方法可在推理的基礎(chǔ)上解釋各種現(xiàn)象和過(guò)程，提出各種假設(shè)和猜想，并確定解決的途徑，建構(gòu)概念、原理與思想等。理論課題研究的特征是創(chuàng)造性。

數(shù)學(xué)研究的課題屬于理論課題，其研究的目的是揭示數(shù)學(xué)研究對(duì)象間的相互關(guān)系，建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)體系或解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，體現(xiàn)知識(shí)價(jià)值、思想價(jià)值和科學(xué)價(jià)值。因此，在確定數(shù)學(xué)研究課題時(shí)，要明確課題的形成背景是什么，從課題背景中可以凝練出哪些本原性問(wèn)題、哪些派生性問(wèn)題，哪些問(wèn)題值得研究，為什么要研究這些問(wèn)題，問(wèn)題的重要性體現(xiàn)在哪里，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是什么，要用到哪些方法，問(wèn)題是如何被解決的，由此形成了哪些新的數(shù)學(xué)知識(shí)，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的價(jià)值是什么，對(duì)科學(xué)研究的價(jià)值是什么，對(duì)技術(shù)發(fā)展有什么幫助，對(duì)社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展有什么作用等。經(jīng)過(guò)創(chuàng)造性的研究，建構(gòu)新的數(shù)學(xué)概念、原理、公式、法則、體系、結(jié)構(gòu)與方法等。

（二）課題式教學(xué)

課題式教學(xué)以“數(shù)學(xué)教育是數(shù)學(xué)的再創(chuàng)造”和“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué)”為理念，以數(shù)學(xué)知識(shí)形成的歷史事實(shí)及其科學(xué)價(jià)值、學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)和生活現(xiàn)實(shí)為基礎(chǔ)，把數(shù)學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)為數(shù)學(xué)課題，引導(dǎo)學(xué)生圍繞促使理論產(chǎn)生的系列問(wèn)題展開(kāi)研究，通過(guò)問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)、提出、分析與解決，完成數(shù)學(xué)的“再創(chuàng)造”，使得學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，建構(gòu)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，發(fā)展數(shù)學(xué)思維。

要把數(shù)學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)為數(shù)學(xué)課題，教師需要掌握數(shù)學(xué)知識(shí)是如何產(chǎn)生的，源于什么樣的背景，解決了什么樣的問(wèn)題等。此外，由于學(xué)生受到知識(shí)面和思維能力的限制，課題式教學(xué)過(guò)程應(yīng)由教師主導(dǎo)，甚至主講。在課堂上，教師要引導(dǎo)學(xué)生完成三個(gè)核心過(guò)程：要學(xué)什么，為什么要學(xué)，怎么學(xué)。在教學(xué)中，學(xué)生可以參與或不參與教師問(wèn)題的回答，但要保持“火熱的思考”并與教師教學(xué)過(guò)程進(jìn)行內(nèi)在的互動(dòng)。

二、課題式教學(xué)的邏輯起點(diǎn)與根本動(dòng)力

（一）邏輯起點(diǎn)是數(shù)學(xué)本原

任何教學(xué)方法都有邏輯起點(diǎn)。課題式教學(xué)的邏輯起點(diǎn)是什么，是課題式教學(xué)設(shè)計(jì)首要面對(duì)的問(wèn)題。課題式教學(xué)與數(shù)學(xué)課題研究不同：中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)是完全成熟的數(shù)學(xué)理論體系，其形成的歷史背景與數(shù)學(xué)問(wèn)題、蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和應(yīng)用的科學(xué)價(jià)值等均客觀存在，是其得以形成的根據(jù)及存在的原因。哲學(xué)這樣界定“本原”：“本原意指某種東西的本性得以發(fā)端的根據(jù)及其存在得以可能的基礎(chǔ)，本原是一種特殊的存在，它的本性在時(shí)間中保持不變……本原都是貫穿其中的最具決定性的東西;與本原相比，其他的構(gòu)成要素顯得微不足道?！睋?jù)此，把數(shù)學(xué)知識(shí)形成的歷史背景與數(shù)學(xué)問(wèn)題、蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和應(yīng)用的科學(xué)價(jià)值等稱(chēng)為該數(shù)學(xué)知識(shí)的數(shù)學(xué)本原。

例如，高中數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)歸納法，它的數(shù)學(xué)本原是什么？華羅庚指出，小孩子學(xué)數(shù)數(shù)，先學(xué)會(huì)一個(gè)、兩個(gè)、三個(gè)……十、二十、三十……一百，然后學(xué)會(huì)兩百、三百……一千……，數(shù)字從一個(gè)一個(gè)增長(zhǎng)到一段一段增長(zhǎng);接著是飛躍前進(jìn)，從有限飛躍到無(wú)窮，到了某一時(shí)候，他說(shuō)領(lǐng)悟了，會(huì)說(shuō)“我什么數(shù)都會(huì)數(shù)了”。如果沒(méi)有這個(gè)飛躍，人生有限，數(shù)目無(wú)窮，就是學(xué)一輩子，也學(xué)不盡。解釋這個(gè)飛躍現(xiàn)象的原理正是數(shù)學(xué)歸納法。數(shù)學(xué)歸納法能極有力地幫助我們認(rèn)識(shí)客觀事物，由簡(jiǎn)到繁，由有限到無(wú)窮。

當(dāng)數(shù)學(xué)歸納法抽象為“當(dāng)n=1時(shí)命題正確，假設(shè)n=k時(shí)命題正確，當(dāng)n=k+1時(shí)命題也正確，則命題對(duì)所有自然數(shù)n都成立”時(shí)，其揭示了對(duì)于一個(gè)命題，僅僅驗(yàn)證有限次，即使是千次、萬(wàn)次，還不能肯定這個(gè)命題的一般正確性，必須要“當(dāng)n=1時(shí)命題正確”和“假設(shè)n=k時(shí)命題正確，當(dāng)n=k+1時(shí)命題也正確”同時(shí)成立，缺一不可。

數(shù)學(xué)歸納法不但能幫助我們“進(jìn)”，即由有限到無(wú)窮，還可以幫助我們“退”，即把一個(gè)比較復(fù)雜的問(wèn)題“退”成最簡(jiǎn)單、最原始的問(wèn)題，把這個(gè)最簡(jiǎn)單、最原始問(wèn)題想通了、想透了，再用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)一個(gè)“飛躍”，問(wèn)題也就迎刃而解了。此外，數(shù)學(xué)歸納法形成的數(shù)學(xué)依據(jù)是自然數(shù)的皮亞諾公理，由此就建立了數(shù)學(xué)歸納法與自然數(shù)性質(zhì)的關(guān)系。

課題研究創(chuàng)造的是學(xué)術(shù)形態(tài)的數(shù)學(xué)知識(shí)。將其轉(zhuǎn)化為課題式教學(xué)時(shí)，首先要把學(xué)術(shù)形態(tài)的數(shù)學(xué)知識(shí)形成的數(shù)學(xué)本原做教育形態(tài)化加工，把數(shù)學(xué)知識(shí)的數(shù)學(xué)本原蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和科學(xué)價(jià)值與學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)和生活經(jīng)驗(yàn)相結(jié)合，重構(gòu)出適合學(xué)生學(xué)習(xí)的問(wèn)題情境。由此可見(jiàn)，課題式教學(xué)的邏輯起點(diǎn)是數(shù)學(xué)知識(shí)的數(shù)學(xué)本原。數(shù)學(xué)本原對(duì)課題式教學(xué)的價(jià)值在于提供了數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的真實(shí)原因和過(guò)程，為數(shù)學(xué)知識(shí)教育形態(tài)的“再加工”指明了方向，使教師把數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生過(guò)程中經(jīng)歷的關(guān)鍵性步驟融入其教學(xué)形態(tài)，確保學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)“再創(chuàng)造”的“仿真”過(guò)程，而不是憑空捏造。如此周折的目的在于讓學(xué)生在數(shù)學(xué)知識(shí)的“再創(chuàng)造”中像數(shù)學(xué)家創(chuàng)造該知識(shí)時(shí)那樣思考，與思想對(duì)話(huà)，包括提出了哪些問(wèn)題，用到了哪些數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想，做了哪些思辨，思維如何加工知識(shí)，甚至走了哪些彎路等。

（二）根本動(dòng)力是問(wèn)題驅(qū)動(dòng)

推動(dòng)人類(lèi)去認(rèn)識(shí)事物的根本動(dòng)力是問(wèn)題。問(wèn)題是求知的前提、探索的動(dòng)力。問(wèn)題起于求知，求知導(dǎo)致探索，探索導(dǎo)致解答，于是知識(shí)產(chǎn)生了。數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的本原情境不一定適合學(xué)生，也就需要數(shù)學(xué)知識(shí)的數(shù)學(xué)本原與學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)和生活經(jīng)驗(yàn)有機(jī)結(jié)合，重構(gòu)出揭示數(shù)學(xué)本原并適合學(xué)生的問(wèn)題情境。教師引導(dǎo)學(xué)生圍繞問(wèn)題情境產(chǎn)生問(wèn)題，形成概念、原理或理論產(chǎn)生的原始問(wèn)題，即本原性問(wèn)題;而在尋求問(wèn)題解答的過(guò)程中，也就是在理論發(fā)展的過(guò)程中，由于自身矛盾沖突生發(fā)新的問(wèn)題，被稱(chēng)為派生性問(wèn)題。本原性問(wèn)題和派生性問(wèn)題推動(dòng)課題式教學(xué)深入進(jìn)行。

例如，華羅庚指出了數(shù)學(xué)歸納法的數(shù)學(xué)本原，但不是直接以該數(shù)學(xué)本原為例展示如何教學(xué)的，而是把這個(gè)數(shù)學(xué)本原和學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)相結(jié)合，重構(gòu)了一個(gè)袋子摸球的問(wèn)題情境：

從一個(gè)袋子里摸出的第一個(gè)是紅玻璃球、第二個(gè)是紅玻璃球，甚至第三個(gè)、第四個(gè)、第五個(gè)都是紅玻璃球時(shí)，我們會(huì)立刻出現(xiàn)一個(gè)猜想：是不是這個(gè)袋子里的東西全部是紅玻璃球？但是，當(dāng)有一次摸出一個(gè)白玻璃球時(shí)，第一個(gè)猜想便失敗了。這時(shí)，我們就會(huì)出現(xiàn)第二個(gè)猜想：是不是袋里的東西全部是玻璃球？但是，當(dāng)有一次摸出一個(gè)木球時(shí)，第二個(gè)猜想又失敗了。這時(shí)，我們又會(huì)出現(xiàn)第三個(gè)猜想：是不是袋子里的東西全部是球？這個(gè)猜想對(duì)不對(duì)，還必須加以檢驗(yàn)：要把袋子里的東西全部摸出來(lái)，才能見(jiàn)分曉。

由此，華羅庚引出一個(gè)問(wèn)題：袋子里的東西是有限的，總可以把它摸完，由此可以得出一個(gè)肯定的結(jié)論，但是，如果東西是無(wú)窮的，那怎么辦？這個(gè)問(wèn)題就是形成數(shù)學(xué)歸納法的本原性問(wèn)題，可據(jù)此引出從有限個(gè)到無(wú)窮個(gè)的歸納原理。

當(dāng)然，不是只能用這個(gè)問(wèn)題情境形成數(shù)學(xué)歸納法的本原性問(wèn)題。有教師以多米諾骨牌視頻為問(wèn)題情境，形成本原性問(wèn)題：視頻中的多米諾骨牌是有限的，可以看到能否全部倒下，但是，如果多米諾骨牌是無(wú)窮的，那它們都能倒下嗎？要讓多米諾骨牌都倒下，需要什么條件？

在獲得數(shù)學(xué)歸納法之后，再在數(shù)學(xué)歸納法的基礎(chǔ)上提出“若n不是從1開(kāi)始的，而是從k0開(kāi)始的，數(shù)學(xué)歸納法還正確嗎？”“假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，那么n=k+2時(shí)命題成立嗎？”等派生性問(wèn)題，不斷完善數(shù)學(xué)歸納法的知識(shí)體系。

由問(wèn)題驅(qū)動(dòng)形成的探究動(dòng)機(jī)，推動(dòng)著學(xué)生數(shù)學(xué)概念與原理的生成，從無(wú)知到有知，從少知到多知，從未知到已知，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)發(fā)展的“再創(chuàng)造”過(guò)程，善于觀察各種生活現(xiàn)象，并透過(guò)這些現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)有規(guī)律的知識(shí)，形成數(shù)學(xué)思想，進(jìn)而發(fā)展發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的洞察力、分析和解決問(wèn)題的思考力。

三、課題式教學(xué)的基本環(huán)節(jié)

確立課題式教學(xué)的邏輯起點(diǎn)與根本動(dòng)力后，就要設(shè)計(jì)切實(shí)可行的教學(xué)環(huán)節(jié)，為把課題式教學(xué)落到實(shí)處提供依據(jù)。課題式教學(xué)的設(shè)計(jì)是一個(gè)有目的、有結(jié)構(gòu)、有順序、有層次的方法論體系，要解決如何使課題式教學(xué)更貼切體現(xiàn)“再創(chuàng)造”的數(shù)學(xué)教育思想的問(wèn)題。具體的環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)主要應(yīng)回答以下7個(gè)方面的問(wèn)題：

1.所教數(shù)學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)本原是什么？德國(guó)哲學(xué)家、教育家卡爾·雅斯貝爾斯指出：“教育的關(guān)鍵全在于選擇完善的教育內(nèi)容，盡可能使學(xué)生之‘思導(dǎo)向事物的本原，而不誤入歧途?！睌?shù)學(xué)本原包括數(shù)學(xué)內(nèi)容是如何產(chǎn)生的，產(chǎn)生的真實(shí)原因是什么，經(jīng)歷了哪些標(biāo)志性過(guò)程，出現(xiàn)了哪些轉(zhuǎn)折，新出現(xiàn)的問(wèn)題屬于什么轉(zhuǎn)折，問(wèn)題的解決帶來(lái)了哪些科學(xué)價(jià)值，蘊(yùn)含著哪些數(shù)學(xué)思想等，需要教師深入了解數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的歷史背景與科學(xué)價(jià)值，以及課程在發(fā)生、發(fā)展過(guò)程中面臨什么樣的問(wèn)題。這是決定課題式教學(xué)成敗的關(guān)鍵。

2.學(xué)生擁有哪些數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)和生活經(jīng)驗(yàn)？包括學(xué)生已經(jīng)掌握了哪些數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、定理、公式、法則、思想與方法，具備了怎樣的觀察能力、猜想能力、歸納能力、演繹能力、直覺(jué)能力等，在日常生活中使用了哪些學(xué)習(xí)工具、娛樂(lè)玩具等，具備了怎樣的操作與理解科學(xué)知識(shí)以及分析與解決問(wèn)題的能力等。

3.基于數(shù)學(xué)本原和學(xué)生數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)與生活經(jīng)驗(yàn)應(yīng)重構(gòu)什么樣的問(wèn)題情境？問(wèn)題情境是數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的根本原因，因此，問(wèn)題情境要蘊(yùn)含數(shù)學(xué)知識(shí)形成的數(shù)學(xué)本原或科學(xué)價(jià)值。此外，問(wèn)題情境還要適應(yīng)學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)和生活經(jīng)驗(yàn)，反映概念與定理產(chǎn)生與發(fā)展的必然，因此，重構(gòu)的問(wèn)題情境要具有統(tǒng)領(lǐng)性，揭示數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，應(yīng)是一系列內(nèi)容形成的基礎(chǔ)。超出學(xué)生數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)或生活經(jīng)驗(yàn)的問(wèn)題情境必然讓學(xué)生難以理解，會(huì)增加他們思考的負(fù)擔(dān)，影響學(xué)習(xí)的有效開(kāi)展。

4.從問(wèn)題情境中引出的本原性問(wèn)題是什么？派生性問(wèn)題是什么？事實(shí)上，本原性問(wèn)題和派生性問(wèn)題并不是此時(shí)才去挖掘的，而應(yīng)是在弄清數(shù)學(xué)本原時(shí)就已經(jīng)明確的，此時(shí)只不過(guò)是確認(rèn)何時(shí)把本原性問(wèn)題和派生性問(wèn)題從問(wèn)題情境中引導(dǎo)出來(lái)，判斷由本原性問(wèn)題和派生性問(wèn)題可以形成哪些章節(jié)內(nèi)容。但是，這樣的環(huán)節(jié)必不可少，是連接問(wèn)題情境與學(xué)生“再創(chuàng)造”的核心載體——缺少它們，學(xué)生的“再創(chuàng)造”就無(wú)從談起。

5.為什么要研究這些問(wèn)題，它們的重要性體現(xiàn)在哪里？探究某一內(nèi)容必然有其必要性，教師要挖掘出探究這一內(nèi)容的根本原因，即其重要性體現(xiàn)在哪些方面，有什么數(shù)學(xué)價(jià)值，有什么科學(xué)價(jià)值，對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決有什么幫助，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有什么作用。

6.解決這些問(wèn)題的關(guān)鍵是什么？包括如何研究所確定的本原性問(wèn)題和派生性問(wèn)題，研究這些問(wèn)題需要哪些概念、性質(zhì)、定理、公式、思想、方法等，如何運(yùn)用它們解決問(wèn)題，解決問(wèn)題的每一步是怎么想到的，運(yùn)用了哪些數(shù)學(xué)工具，這些數(shù)學(xué)工具是如何想到的，其數(shù)學(xué)關(guān)系是如何轉(zhuǎn)換的，需要用到哪些思維操作，這些思維操作對(duì)解決問(wèn)題能起到哪些關(guān)鍵作用等。

7.解決這些問(wèn)題能夠帶來(lái)什么？包括通過(guò)問(wèn)題解決建構(gòu)的知識(shí)對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容體系的完善有什么價(jià)值;對(duì)其他學(xué)科和社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展有什么價(jià)值;對(duì)學(xué)生的觀察、實(shí)驗(yàn)、想象、直覺(jué)、猜想、檢驗(yàn)、反駁等科學(xué)研究方法訓(xùn)練有什么幫助;對(duì)學(xué)生的歸納、演繹、聚合、發(fā)散等思維能力，邏輯、形象和直覺(jué)等思維方式，創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力等的提升有什么價(jià)值;對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)與立德樹(shù)人根本任務(wù)的落實(shí)有什么作用。

解決上述7個(gè)問(wèn)題之后，便可以設(shè)計(jì)課題式教學(xué)的架構(gòu)。教師在教學(xué)伊始，要從宏觀層面對(duì)相關(guān)內(nèi)容產(chǎn)生的背景及其數(shù)學(xué)價(jià)值、科學(xué)價(jià)值做出明確說(shuō)明。之后，可展示設(shè)計(jì)好的具有統(tǒng)領(lǐng)性的問(wèn)題情境，啟發(fā)與引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)問(wèn)題情境從無(wú)到有地凝練本原性問(wèn)題和派生性問(wèn)題。教師可以先讓學(xué)生從中提出問(wèn)題，然后根據(jù)學(xué)生所提問(wèn)題做出進(jìn)一步引導(dǎo)。如果學(xué)生所提問(wèn)題就是本原性問(wèn)題，教師可以引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)研究;如果學(xué)生所提問(wèn)題不是本原性問(wèn)題，教師需要進(jìn)一步將學(xué)生導(dǎo)向本原性問(wèn)題;如果學(xué)生想不到，教師可以自己提出本原性問(wèn)題，由此形成一個(gè)宏觀課題。而后，教師要引導(dǎo)學(xué)生分析如何解決本原性問(wèn)題，進(jìn)一步引出一系列派生性問(wèn)題，由此形成一系列子課題——每一個(gè)子課題就形成一個(gè)章節(jié)，也就形成了數(shù)學(xué)內(nèi)容各章節(jié)的學(xué)習(xí)任務(wù)。每一章節(jié)之間既具有相對(duì)獨(dú)立性，又相互有著邏輯關(guān)系，表現(xiàn)出邏輯環(huán)環(huán)相扣，內(nèi)容層層遞進(jìn)。

在每一章節(jié)的教學(xué)過(guò)程中，教師可以啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生思考，但是學(xué)生思維能力和知識(shí)儲(chǔ)備等因素決定了學(xué)生很難獨(dú)立發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題，決定了課堂教學(xué)要以教師講解示范為主，向?qū)W生展示如何發(fā)現(xiàn)、提出問(wèn)題，如何尋找解決問(wèn)題的方法，遇到困難時(shí)如何調(diào)整解決思路，如何評(píng)估解題思路，這些思路是如何想到的等。通過(guò)教師的示范引導(dǎo)，讓學(xué)生親身體會(huì)思維深處蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題的能力。每一章節(jié)的教學(xué)都要回答幾乎同樣的4個(gè)問(wèn)題：課題的意義是什么？其在課程中的地位是什么？需要解決哪些問(wèn)題？解決問(wèn)題的途徑是什么？回答完這4個(gè)問(wèn)題后，便可順利進(jìn)入下一章節(jié)的學(xué)習(xí)。整個(gè)課程的教學(xué)如同一個(gè)大課題被分解為若干個(gè)子課題，層層推進(jìn)。完成整個(gè)研究過(guò)程后，課題研究也就完成了，課程的教學(xué)任務(wù)便隨之完成。

總之，課題式教學(xué)在尊重?cái)?shù)學(xué)本原的基礎(chǔ)上，從宏觀、中觀到微觀層面對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行課題式研究的重構(gòu)，把教學(xué)過(guò)程當(dāng)成科研過(guò)程?！捌涑蹼y知”決定了課題式教學(xué)需要教師投入足夠的精力，充分把握數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的發(fā)生過(guò)程，熟悉數(shù)學(xué)史，從中找出或通過(guò)合情推理梳理出數(shù)學(xué)理論產(chǎn)生的根源。此外，教師要具備科學(xué)研究的經(jīng)驗(yàn)，才能真正做到把教學(xué)過(guò)程當(dāng)成科研過(guò)程。綜合運(yùn)用講授式、啟發(fā)式、探究式等教學(xué)方法中的有效做法，使學(xué)生真正經(jīng)歷數(shù)學(xué)“再創(chuàng)造”的過(guò)程，發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

本文系廣東省教育科學(xué)規(guī)劃項(xiàng)目“數(shù)學(xué)教師實(shí)踐性知識(shí)及其教學(xué)表現(xiàn)研究”（編號(hào)：2018GXJK184）的階段性研究成果。

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