花奎

摘要：蘇教版高中數(shù)學(xué)新教材（2019年版）與修訂之前的舊教材相比，一個(gè)顯著的變化是，新增了不少內(nèi)容拓展或數(shù)學(xué)文化方面的閱讀材料，并且將所有閱讀材料統(tǒng)一放置于每一章后面新設(shè)的《閱讀》欄目中?！堕喿x》欄目充分體現(xiàn)了教材的社會(huì)性、學(xué)科性與學(xué)習(xí)性。故教師應(yīng)該充分發(fā)掘其國(guó)家意志，追求立德樹人的效果;理解其學(xué)科意義，落實(shí)核心素養(yǎng)的培養(yǎng);深入其學(xué)習(xí)過(guò)程，促進(jìn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的完善。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教材 《閱讀》欄目 教育功能

蘇教版高中數(shù)學(xué)新教材（2019年版）與修訂之前的舊教材相比，有諸多變化和亮點(diǎn)。其中一個(gè)顯著的變化是，新增了不少內(nèi)容拓展或數(shù)學(xué)文化方面的閱讀材料，并且將所有閱讀材料統(tǒng)一放置于每一章新設(shè)的《閱讀》欄目中。顯然，作為新教材的重要組成部分，《閱讀》欄目的地位與作用不容忽視。通過(guò)研讀，筆者發(fā)現(xiàn)，《閱讀》欄目充分體現(xiàn)了教材的社會(huì)性、學(xué)科性與學(xué)習(xí)性，教師應(yīng)該充分挖掘其教育功能與價(jià)值，實(shí)現(xiàn)育人目標(biāo)。

一、發(fā)掘國(guó)家意志，追求立德樹人的效果

《學(xué)記》開篇以“君子如欲化民成俗，其必由學(xué)乎！”明義，指出國(guó)家興辦教育是為了改良社會(huì)、易風(fēng)化俗。教育作為一項(xiàng)國(guó)家事業(yè)，必然承擔(dān)著促進(jìn)社會(huì)發(fā)展與進(jìn)行社會(huì)教化的基本功能。在2018年的全國(guó)教育大會(huì)上，習(xí)近平總書記再次強(qiáng)調(diào)，“堅(jiān)持把立德樹人作為根本任務(wù)”。作為教育的內(nèi)容載體，教材必然要貫穿與突出立德樹人的價(jià)值訴求與基本指向。對(duì)此，教師在教學(xué)中需要進(jìn)一步發(fā)掘。

《閱讀》欄目中的數(shù)學(xué)文化內(nèi)容，蘊(yùn)含豐富的人文情感和哲學(xué)道理，可以對(duì)學(xué)生進(jìn)行德育。教師在教學(xué)中應(yīng)該充分挖掘相關(guān)因素，采取恰當(dāng)?shù)姆绞竭M(jìn)行滲透，從而實(shí)現(xiàn)立德樹人的教育功能。

例如，必修第二冊(cè)第11章《解三角形》中《閱讀》欄目的文章《流星不是地球蒸發(fā)物》中寫道：

仰望星空，時(shí)有流星劃過(guò)天際?！傲餍?，飛走天空，可能有一秒時(shí)的凝望，然而這一瞥的光明，已長(zhǎng)久遺留在人的心懷里。”（引自冰心《繁星·春水》）人們贊美流星，是因?yàn)樗紵咄曜约旱娜柯烦獭?/p>

……

我們知道，云層最高不超過(guò)15 km，所以可以斷定流星不是地球蒸發(fā)物，它一定是天外來(lái)客！正是余弦定理和正弦定理幫助人們邁出正確認(rèn)識(shí)流星的第一步！

這里，《繁星·春水》的引文讓學(xué)生不僅感覺(jué)到流星是宇宙的奇跡，而且感受到“流星”的奉獻(xiàn)和犧牲精神，激發(fā)了學(xué)生的崇敬之情。而且，利用余弦定理和正弦定理解決流星的高度問(wèn)題，斷定流星不是地球蒸發(fā)物，彰顯了批判和求實(shí)的精神。

再如，必修第二冊(cè)第15章《概率》中《閱讀》欄目的文章《制作楊輝三角形》，其中寫道：

制作一個(gè)如圖1所示的通道及下方相互隔離的儲(chǔ)槽。若把1粒球形小珠放入最上方的通道入口，則小珠落入下方每個(gè)儲(chǔ)槽的概率有何規(guī)律？

……

圖2所示的數(shù)表最早由我國(guó)宋朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家楊輝于1261年畫在他所著的《詳解九章算法》中，并說(shuō)明出于《釋鎖算書》，賈憲曾用過(guò)此圖。西方稱此圖為帕斯卡三角形，是帕斯卡于1654年發(fā)表的。

教學(xué)中，可以融入楊輝三角形背后的數(shù)學(xué)文化，結(jié)合（a+b）n展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的分析，遵循由特殊到一般的原則，引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度認(rèn)識(shí)蘊(yùn)含在各個(gè)展開式二項(xiàng)式系數(shù)之間的關(guān)系。楊輝三角形背后的文化意蘊(yùn)，能使學(xué)生油然生起對(duì)祖國(guó)歷史文化的自豪，培養(yǎng)學(xué)生的愛(ài)國(guó)主義情懷。二項(xiàng)式系數(shù)規(guī)律的探究，能讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)內(nèi)容與形式的美，感受到數(shù)學(xué)的魅力——將求真和審美統(tǒng)一起來(lái)，既能提升學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能，又能提高學(xué)生的審美情趣。

二、理解學(xué)科意義，落實(shí)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)

教材具有學(xué)科性，必然蘊(yùn)含著學(xué)科意義。作為教學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)的學(xué)科意義是，以數(shù)學(xué)知識(shí)為基礎(chǔ)、以數(shù)學(xué)理論為框架，指向“數(shù)學(xué)的實(shí)質(zhì)”、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，服務(wù)于學(xué)生的生存與發(fā)展。數(shù)學(xué)教育的根本宗旨是教會(huì)學(xué)生思考。《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》提出，以核心素養(yǎng)為指導(dǎo)，其主要目的之一是促進(jìn)學(xué)習(xí)方式的改變，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，要加強(qiáng)“學(xué)法”指導(dǎo)。

《閱讀》欄目中的很多內(nèi)容也蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)研究路徑和方法的指導(dǎo)，可以用來(lái)培育學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。教師在教學(xué)中需要深度理解其學(xué)科意義，引導(dǎo)學(xué)生逐步學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界。

例如，必修第一冊(cè)第2章《常用邏輯用語(yǔ)》中《閱讀》欄目的文章《有趣的悖論》，介紹了兩個(gè)有趣的悖論——芝諾的“阿基里斯追龜悖論”、羅素的“理發(fā)師悖論”。在學(xué)生剛學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)不久，就介紹這兩個(gè)數(shù)學(xué)史上著名的悖論，不可不說(shuō)用意深遠(yuǎn)：奇趣且有一定難度的數(shù)學(xué)悖論可以充分引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知積極性，激發(fā)學(xué)生的探究欲望，讓學(xué)生欲罷不能，從而在探究學(xué)習(xí)的過(guò)程中提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力;數(shù)學(xué)悖論中蘊(yùn)含的邏輯矛盾可以充分訓(xùn)練學(xué)生的演繹推理思維，讓其體會(huì)數(shù)學(xué)的抽象性與嚴(yán)謹(jǐn)性。對(duì)于“阿基里斯追龜悖論”，學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)它與現(xiàn)實(shí)生活不符，但很難從邏輯上發(fā)現(xiàn)它到底錯(cuò)在哪里、推理的過(guò)程有什么問(wèn)題;在對(duì)其的深入探究中，學(xué)生便會(huì)產(chǎn)生有限與無(wú)限思想（無(wú)限個(gè)量的和——無(wú)窮級(jí)數(shù)，可以是有限的大?。┑拿妊浚瑸楹罄m(xù)極限與導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)埋下伏筆。對(duì)于“理發(fā)師悖論”，學(xué)生很容易通過(guò)修正理發(fā)師的規(guī)矩——將他自己排除在外來(lái)解決，自然而然地提出嚴(yán)格的“羅素悖論”又如何解決的問(wèn)題，從而展開深入的探究學(xué)習(xí)，進(jìn)一步提升自己的邏輯推理能力。

再如，必修第一冊(cè)第6章《冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)》中《閱讀》欄目的文章《“怎樣解題”表》，介紹了G.波利亞經(jīng)典的“怎樣解題表”。廣義地看，數(shù)學(xué)解題（數(shù)學(xué)問(wèn)題解決）就是數(shù)學(xué)研究的基本方式，從而應(yīng)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本方式?！霸鯓咏忸}表”將解題過(guò)程分成四個(gè)步驟，設(shè)置了大量的元認(rèn)知提示語(yǔ)，集中體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的基本思維方式以及理性探究精神，能夠有效引導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思維，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考（研究和學(xué)習(xí)）。

三、深入學(xué)習(xí)過(guò)程，促進(jìn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的完善

教材也是學(xué)材，具有學(xué)習(xí)性，必然蘊(yùn)含著學(xué)習(xí)的過(guò)程——雖然有時(shí)只給出學(xué)習(xí)的引子。有意義的學(xué)習(xí)是一種深度學(xué)習(xí)，應(yīng)該抓住知識(shí)的內(nèi)核，觸及心靈的深處，不斷擴(kuò)大知識(shí)間的聯(lián)系，完善知識(shí)的結(jié)構(gòu)。

《閱讀》欄目中的很多內(nèi)容是正文內(nèi)容的拓展延伸，可以用來(lái)引導(dǎo)學(xué)生展開深度學(xué)習(xí)。教師要由此通過(guò)不斷的追問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生深入學(xué)習(xí)過(guò)程，探究相關(guān)知識(shí)的本質(zhì)內(nèi)涵、來(lái)龍去脈。

例如，必修第二冊(cè)第10章《三角恒等變換》中《閱讀》欄目的文章《弦表與托勒密定理》，介紹了托勒密推導(dǎo)兩角差的正弦公式（用于制作弦表）時(shí)運(yùn)用的托勒密定理。對(duì)此，教師可設(shè)計(jì)一系列探究活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生展開深度學(xué)習(xí)，揭示托勒密定理的內(nèi)涵、價(jià)值和變化等，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)。筆者的教學(xué)設(shè)計(jì)如下：

1.情境引入?？肆_狄斯·托勒密是古希臘著名的天文學(xué)家、地理學(xué)家、物理學(xué)家，一生著述甚多，其中《天文學(xué)大成》共13卷，《地理學(xué)指南》共8卷，引領(lǐng)西方科學(xué)上千年。他提供了人類歷史上最早的有數(shù)學(xué)標(biāo)識(shí)的地圖投影法、經(jīng)緯線、星歷表。數(shù)學(xué)是天文學(xué)、地理學(xué)、物理學(xué)的工具性學(xué)科，托勒密的專業(yè)研究需要數(shù)學(xué)研究作為支撐。他的一個(gè)數(shù)學(xué)研究結(jié)論流傳至今，即托勒密定理：圓的內(nèi)接四邊形的兩組對(duì)邊乘積之和等于兩條對(duì)角線的乘積。

2.探究問(wèn)題1：能用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言表述托勒密定理嗎？會(huì)證明嗎？

引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言表述托勒密定理，理解托勒密定理描述的是四點(diǎn)共圓長(zhǎng)度方面的關(guān)系;引導(dǎo)學(xué)生多角度思考托勒密定理的證明方法（如三角形相似法、等面積變換法等），建立四點(diǎn)共圓與三點(diǎn)共圓的聯(lián)系及長(zhǎng)度關(guān)系與角度關(guān)系、面積關(guān)系等的聯(lián)系。

3.探究問(wèn)題2：為什么將托勒密定理放在《三角恒等變換》這一章中介紹？它與三角恒等變換知識(shí)有什么聯(lián)系？

引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)托勒密定理所表述的四點(diǎn)共圓長(zhǎng)度方面的關(guān)系與兩角和與差的正、余弦公式所表述的角度方面的關(guān)系，在結(jié)構(gòu)上很相似（都是“ac+bd=ef”的形式），進(jìn)而得到將三角函數(shù)看作直徑為1的圓中角對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)，利用托勒密定理證明兩角和與差的正、余弦公式。這是數(shù)學(xué)史上關(guān)于三角函數(shù)的重要觀點(diǎn)，由此便可進(jìn)一步介紹弦表的由來(lái)。

4.探究問(wèn)題3：托勒密定理還有哪些應(yīng)用？

引導(dǎo)學(xué)生在從幾何到三角的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步從幾何到代數(shù)（數(shù)形結(jié)合），發(fā)現(xiàn)托勒密定理在更廣闊領(lǐng)域內(nèi)的應(yīng)用，感受托勒密定理的豐富價(jià)值。

5.探究問(wèn)題4：托勒密定理可以推廣和拓展嗎？

引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)探究認(rèn)識(shí)到以下幾點(diǎn)：（1）托勒密定理的一個(gè)退化結(jié)論是“若4個(gè)不同點(diǎn)A、B、C、D順次在一條直線上，則也有AB·CD+AD·BC=AC·BD”;（2）托勒密定理的一個(gè)推廣結(jié)論是“對(duì)于任意平面凸四邊形ABCD，總有AB·CD+AD·BC≤AC·BD”;（3）托勒密定理是勾股定理和余弦定理的一般形式;（4）托勒密定理是多項(xiàng)式乘法法則的幾何形式……

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