曹珺

摘? 要：在數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，有助于學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)概念、形成數(shù)學(xué)判斷，進(jìn)行邏輯推理。將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)引入數(shù)學(xué)課堂，能讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)結(jié)論、建構(gòu)知識(shí)。通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，能轉(zhuǎn)變學(xué)生的認(rèn)知方式、思維方式、學(xué)習(xí)方式，從而不斷提升學(xué)生實(shí)驗(yàn)力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂中自由行走。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn);數(shù)學(xué)課堂

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是為了促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、驗(yàn)證數(shù)學(xué)猜想、歸納數(shù)學(xué)規(guī)律、解決數(shù)學(xué)問題而采用的一種具有建構(gòu)性、探索性、創(chuàng)造性的活動(dòng)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，有助于學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)概念、形成數(shù)學(xué)判斷，進(jìn)行邏輯推理。作為教師，要調(diào)動(dòng)學(xué)生數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的積極性、開掘?qū)W生數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的創(chuàng)造性，讓數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)成為學(xué)生需要，成為學(xué)生學(xué)習(xí)動(dòng)力。通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，轉(zhuǎn)變學(xué)生認(rèn)知方式、思維方式、學(xué)習(xí)方式。

一、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，讓數(shù)學(xué)概念直觀可感

概念是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基石。理解概念，是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的第一要?jiǎng)?wù)。但數(shù)學(xué)概念是抽象的、概括化的。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，能讓數(shù)學(xué)概念變得可感可觸。在實(shí)驗(yàn)過程中，學(xué)生能經(jīng)歷概念形成過程，建立對(duì)概念的本質(zhì)理解，形成對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)脈絡(luò)的深刻洞察。布魯納認(rèn)為，學(xué)生獲得數(shù)學(xué)概念的過程是一個(gè)逐步深入、遞進(jìn)的過程。鮮明的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，讓抽象的數(shù)學(xué)概念得以形象地展示。通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，學(xué)生能完成對(duì)概念的初步建構(gòu)。

案例1：蘇教版六年級(jí)下冊(cè)“反比例的量”。

實(shí)驗(yàn)背景：“反比例的量”這一數(shù)學(xué)概念，傳統(tǒng)的教學(xué)方式，就是教師簡單地、人為地出示大量的數(shù)量關(guān)系式，這些關(guān)系式有些是學(xué)生熟悉的，有些是學(xué)生不熟悉的。通過數(shù)量關(guān)系，抽象地概括數(shù)量關(guān)系的共同點(diǎn)，進(jìn)而定義出“反比例概念”。這樣的一種教學(xué)，是一種形式化的教學(xué)，學(xué)生干澀地發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系共同點(diǎn)，又囫圇吞棗地接受反比例的概念。學(xué)生對(duì)成反比例的量的概念學(xué)習(xí)是被動(dòng)的、模型化的、模式化的。筆者在教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的方式探索，深化學(xué)生對(duì)概念的理解。

實(shí)驗(yàn)過程：為了讓學(xué)生動(dòng)態(tài)地、形象化地、直觀化地認(rèn)識(shí)成反比例的量的特質(zhì)，筆者給學(xué)生提供了結(jié)構(gòu)化的實(shí)驗(yàn)素材，包括網(wǎng)格紙、長方形紙。要求學(xué)生設(shè)計(jì)一個(gè)面積為24平方厘米的長方形，將這些面積為24平方厘米的長方形放置到網(wǎng)格紙中，讓長方形的一個(gè)頂點(diǎn)和兩條邊重合。在此基礎(chǔ)上，再給長方形的這兩條邊命名，一條邊所在的射線為x軸，另一條邊所在的射線為y軸，然后讓學(xué)生順次將長方形的另一個(gè)頂點(diǎn)連接起來。

實(shí)驗(yàn)效果：在實(shí)驗(yàn)過程中，學(xué)生找到了許多驚人的發(fā)現(xiàn)，諸如反比例圖像和正比例圖像不同，正比例是一條過原點(diǎn)的直線，反比例是一條曲線;構(gòu)成的長方形長邊（一種量）越大、寬邊（另一種量）就越小，而長方形的面積保持不變（兩種量的積）;連成的反比例圖像，在x軸上越來越大，在y軸上就越來越小，反之亦然;反比例圖像向上無限接近y軸，向右無限接近x軸，但永遠(yuǎn)不和y軸、x軸相交，等等。

美國數(shù)學(xué)教育家杜賓塞斯認(rèn)為：“學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念需要進(jìn)行心理建構(gòu)，只有在自身已有知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，主動(dòng)建構(gòu)新知識(shí)的意義，才能達(dá)成真正的理解?！睘榱私W(xué)生的“心理表征”，完成學(xué)生的“心理建構(gòu)”。通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，將反比例的量演繹得可觸可感，學(xué)生對(duì)“什么是反比例”“怎樣的數(shù)量關(guān)系是反比例”等本質(zhì)有了深刻的感知、理解。

二、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，讓數(shù)學(xué)判斷直觀可觸

數(shù)學(xué)判斷是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種重要形式。數(shù)學(xué)判斷是建立在數(shù)學(xué)概念基礎(chǔ)上的，需要學(xué)生調(diào)動(dòng)自我已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)。瑞士教育心理學(xué)家皮亞杰深刻地指出，小學(xué)生的思維處于直觀動(dòng)作向具體形象過渡的階段，抽象思維還處于萌芽、初始狀態(tài)。對(duì)于一些數(shù)學(xué)概念、公式、定義、原理等的判斷還依靠于具體形象。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，能讓數(shù)學(xué)判斷直觀可觸。

案例2：蘇教版二年級(jí)上冊(cè)“求比一個(gè)數(shù)多（少）幾的實(shí)際問題”。

實(shí)驗(yàn)背景：學(xué)生對(duì)“求比一個(gè)數(shù)多（少）幾的實(shí)際問題”的解決障礙，往往集中于學(xué)生對(duì)“同樣多”沒有判斷。這是因?yàn)?，作為低年?jí)學(xué)段的二年級(jí)，學(xué)生還不能自覺地進(jìn)行比較。傳統(tǒng)的教學(xué)，往往是教師畫圖，引導(dǎo)學(xué)生直觀觀察，其效果總是不盡人意。究其根本，是因?yàn)閷W(xué)生的思維仍然處于直觀動(dòng)作階段。據(jù)此，我們用實(shí)驗(yàn)的方法，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)“同樣多”，對(duì)“比一個(gè)數(shù)多（少）幾”形成精準(zhǔn)的判斷。

實(shí)驗(yàn)過程：對(duì)“求比一個(gè)數(shù)多（少）幾的實(shí)際問題”的解決，我們通過實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生運(yùn)用不同的方法讓兩個(gè)數(shù)量同樣多。具體而言，就是擺出一定數(shù)量的圓片、一定數(shù)量的三角形塑料片，讓學(xué)生想辦法，讓圓片和三角形塑料片同樣多。這樣，“同樣多”之于學(xué)生，就不是一個(gè)靜態(tài)的概念，而是一個(gè)動(dòng)態(tài)的建構(gòu)。有學(xué)生通過增加一些三角形塑料片，讓圓片和三角形塑料片同樣多;有學(xué)生通過減少一些圓片，讓三角形塑料片和圓片同樣多;還有學(xué)生通過移多補(bǔ)少，讓圓片和三角形塑料片同樣多。在實(shí)驗(yàn)過程中，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行比較，引導(dǎo)學(xué)生判斷誰比誰多一些、多得多、同樣多。

實(shí)驗(yàn)效果：通過實(shí)驗(yàn)，學(xué)生不僅認(rèn)識(shí)了“同樣多”“多一些”，而且提升了學(xué)習(xí)的技能，學(xué)生不僅會(huì)進(jìn)行比較，而且認(rèn)識(shí)到，要將兩堆物體變成相同，相差數(shù)應(yīng)當(dāng)是移動(dòng)數(shù)的2倍，移動(dòng)數(shù)應(yīng)當(dāng)是相差數(shù)的一半。通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，學(xué)生不僅僅形成了靜態(tài)的認(rèn)知，更形成了動(dòng)態(tài)的判斷。深化了學(xué)生對(duì)數(shù)量關(guān)系的理解，讓學(xué)生掌握了解決問題的基本思路、基本策略、基本方法。學(xué)生對(duì)兩個(gè)數(shù)量是否同樣多、是多一些還是多得多、到底多多少、少多少等問題不再模糊，而是獲得了清晰的認(rèn)知。

著名數(shù)學(xué)教育家G.波利亞深刻地指出：“抽象的道理很重要，但是要用一切辦法使它們能看得見、摸得著?！睘榱四茏寣W(xué)生的數(shù)學(xué)判斷更理性、更自覺，可以通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，助推學(xué)生的數(shù)學(xué)判斷，讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)判斷的方法。抽象的數(shù)學(xué)原理通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)茏兊每筛锌捎|。

三、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：讓數(shù)學(xué)推理直觀可循

學(xué)生的數(shù)學(xué)推理是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要手段。東北師范大學(xué)史寧中教授認(rèn)為，學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有三：抽象、推理、模型。數(shù)學(xué)概念的建立，主要依靠抽象。而數(shù)學(xué)推理則貫穿著學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的完整過程。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，基于學(xué)生的年齡特點(diǎn)和認(rèn)知規(guī)律，不宜采用那種純推理的學(xué)習(xí)方式，而應(yīng)將直觀的教學(xué)與演繹教學(xué)結(jié)合起來。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)推理有跡可循。

案例3：蘇教版四年級(jí)下冊(cè)“三角形的三邊關(guān)系”。

實(shí)驗(yàn)背景：“三角形的三邊關(guān)系”歷來是學(xué)生認(rèn)識(shí)三角形的難點(diǎn)。很多教師在教學(xué)中都會(huì)安排簡單的“小棒實(shí)驗(yàn)”，即讓學(xué)生用規(guī)格不同的小棒搭建三角形，從而讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到“只有當(dāng)兩根小棒的長度之和大于第三根小棒的長度時(shí)，三根小棒才能拼接成一個(gè)三角形”。但是與此帶來的一個(gè)問題是，由于小棒本身的寬度、厚度的存在，許多學(xué)生認(rèn)為，當(dāng)兩根小棒的長度之和等于第三根小棒時(shí)，三根小棒也能拼接成三角形。顯然，三角形的三邊關(guān)系這一知識(shí)點(diǎn)是一種超驗(yàn)性的知識(shí)。據(jù)此，我們讓數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)成為學(xué)生數(shù)理推理的向?qū)А?/p>

實(shí)驗(yàn)過程：對(duì)于“三角形的三邊關(guān)系”這一超驗(yàn)性的數(shù)學(xué)知識(shí)，我們力圖通過實(shí)驗(yàn)與推理相結(jié)合的方法，來廓清學(xué)生的認(rèn)知。為此，我們分層次引導(dǎo)學(xué)生展開數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：首先是兩根小棒的長度之和大于第三根小棒的長度;其次是兩根小棒的長度之和小于第三根小棒的長度;再次是兩根小棒的長度之和等于第三根小棒的長度。對(duì)于前兩次的實(shí)驗(yàn)，學(xué)生都能達(dá)成共識(shí)。對(duì)于第三次實(shí)驗(yàn)，我們?cè)趯W(xué)生產(chǎn)生歧義時(shí)，讓學(xué)生用筆畫來進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)?zāi)馨l(fā)現(xiàn)兩根線段之和等于第三根線段時(shí)，這兩根線段與第三根線段重合了。這樣的實(shí)驗(yàn)，能為學(xué)生運(yùn)用“兩點(diǎn)之間線段最短”的推理教學(xué)奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

實(shí)驗(yàn)效果：將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與數(shù)學(xué)推理相結(jié)合，是小學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)應(yīng)當(dāng)采用的一種方式。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，是一種經(jīng)驗(yàn)性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，能為學(xué)生積淀豐富的感性認(rèn)知。而數(shù)學(xué)推理，能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維得到磨礪。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)為數(shù)學(xué)推理提供了外援幫助，數(shù)學(xué)推理是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的內(nèi)援支撐。將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與數(shù)學(xué)推理結(jié)合起來，能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從感性走向理性、從疏漏走向嚴(yán)密。學(xué)生不僅知其然，更知其所以然。

將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與推理融合，能讓實(shí)驗(yàn)推動(dòng)學(xué)生的推理，也能讓推理反哺學(xué)生的實(shí)驗(yàn)。弗賴登塔爾說：“數(shù)學(xué)知識(shí)既不是教出來的，也不是學(xué)出來的，而是研究出來的。”數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)不僅是學(xué)生獲取知識(shí)的手段，更是幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)結(jié)論、找到“嚴(yán)格”證明結(jié)論的路徑。在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光來觀照、用數(shù)學(xué)的大腦來分析、用數(shù)學(xué)的語言來表達(dá)，從而不斷提升學(xué)生的實(shí)驗(yàn)?zāi)芰Γl(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。