摘要：結(jié)構(gòu)不良問題并不是問題本身有錯誤或者不恰當(dāng)，而是指它沒有明確的結(jié)構(gòu)或解決途徑。結(jié)構(gòu)不良問題的解決有利于高級知識的獲得和能產(chǎn)性思維的培養(yǎng)。數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)不良問題的命制可以基于結(jié)構(gòu)不良問題的特點、真實的生活情境和數(shù)學(xué)的學(xué)科邏輯。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)試題 結(jié)構(gòu)不良 生活情境 學(xué)科邏輯

近年來，數(shù)學(xué)試題中的結(jié)構(gòu)不良問題引發(fā)了研究者的關(guān)注。新建構(gòu)主義認(rèn)為，結(jié)構(gòu)不良問題有助于發(fā)展學(xué)生的思維、遷移和創(chuàng)新能力。

一、結(jié)構(gòu)不良問題的特點

結(jié)構(gòu)不良問題并不是問題本身有錯誤或者不恰當(dāng)，而是指它沒有明確的結(jié)構(gòu)或解決途徑。通過對結(jié)構(gòu)良好問題與結(jié)構(gòu)不良問題的比較（如表1所示），可以看出結(jié)構(gòu)不良問題具有如下特點：（1）給定條件不完全;（2）目標(biāo)不確定;（3）不明確哪些概念、規(guī)則、原理對解決問題有用;（4）常常沒有確定、唯一的答案;（5）往往和具體情境相聯(lián)系或與多個知識領(lǐng)域相聯(lián)系;等等。

下面以一個具體的例子來說明：

（1）命題p：已知A（1，1）、B（-1，1）、C（-1，-1）、D（1，-1），則滿足∠AMD=∠BMC的所有點M都在y軸上。請你判斷這個命題的真假。

（2）命題p：已知A（1，1）、B（-1，1）、C（-1，-1）、D（1，-1），則滿足∠AMD=∠BMC的所有點M都在y軸上。能夠說明命題p是假命題的一個點M的坐標(biāo)為。

這兩個問題是基于同一個背景命制的。問題（1）是結(jié)構(gòu)良好的問題：給出一個具體的命題，判斷它的真假，問題條件清晰、目標(biāo)明確、答案唯一。而問題（2）的特點是答案不唯一，解決方案多樣化：既可以考慮正方形ABCD外接圓上的點（除A、B、C、D外），又可以考慮如曲線y=x（x>1）等上的點，還可以建立滿足∠AMD=∠BMC的點M的軌跡方程，從中選擇不在y軸上的一個點M。因此，問題（2）具備結(jié)構(gòu)不良問題的特征，雖然只是改變了問法，但更有利于考查學(xué)生的思維、遷移和創(chuàng)新能力。

根據(jù)現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)的研究，結(jié)構(gòu)不良問題主要有三種形式：一是問題的起點、目標(biāo)明確，也知道若干種解決問題的辦法，但不知道哪種辦法最好;二是問題的起點、目標(biāo)明確，但不知道解決問題的辦法;三是只有問題的起點明確，問題的目標(biāo)和解決問題的途徑、方法都不明確。

二、結(jié)構(gòu)不良問題的功能

（一）結(jié)構(gòu)不良問題的解決有利于高級知識的獲得

從知識觀來看，學(xué)習(xí)可以分為初級和高級兩個層次。解決結(jié)構(gòu)良好問題時，由于問題的設(shè)計相對簡單化，學(xué)生只需要再現(xiàn)其習(xí)得的知識和技能，這使學(xué)生獲得的是“惰性知識”，不利于其在具體情境中有效地遷移。新建構(gòu)主義認(rèn)為，結(jié)構(gòu)不良問題能夠促進(jìn)高級知識的獲得，為更復(fù)雜知識的掌握和運用做準(zhǔn)備。通常，結(jié)構(gòu)不良問題需要學(xué)生對問題進(jìn)行準(zhǔn)確的表征，建立問題解決空間，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生在自主建構(gòu)中提升問題解決能力和思維能力。

（二）結(jié)構(gòu)不良問題的解決有利于能產(chǎn)性思維的培養(yǎng)

德國心理學(xué)家韋特海默（M.Wertheimer）提出：能產(chǎn)性思維是指面對一個問題時能產(chǎn)生一個新的解決方案。結(jié)構(gòu)良好問題往往與學(xué)生已經(jīng)解決過的問題相同或相似，學(xué)生只需要調(diào)用早已知道的解決路徑，就可以合理解決問題。比如，求函數(shù)f（x）=x³-15x²-33x+6的單調(diào)減區(qū)間，學(xué)生只需要利用導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性的關(guān)系，令f^′（x）=3x²-30x-33=3（x+1）（x-11）<0，解得-1

三、結(jié)構(gòu)不良問題的命制建議

（一）基于結(jié)構(gòu)不良問題的特點命制

命制結(jié)構(gòu)不良問題時，可以根據(jù)其特點，對條件、結(jié)論、方法等問題結(jié)構(gòu)要素進(jìn)行合理的設(shè)置。比如，通過條件部分呈現(xiàn)，或用到的概念、規(guī)則、原理不明確，或結(jié)論不唯一、解決方法多樣等，設(shè)計適度開放的問題。

在①b1+b3=a2，②a4=b4，③S5=-25這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中。若問題中的k存在，求出k的值;若k不存在，說明理由。

設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，{bn}是等比數(shù)列，，b1=a5，b2=3，b5=-81，是否存在k，使得Sk>Sk+1且Sk+1

這個結(jié)構(gòu)不良問題的特點是條件部分呈現(xiàn)，需要學(xué)生自主選擇適當(dāng)?shù)臈l件填入，構(gòu)成完整的問題。而根據(jù)選擇的條件不同，答案也相異：如果填入條件①，那么{an}是首項為-13、公差為3的等差數(shù)列，故{an}單調(diào)遞增，且a5<0，a6>0，所以存在k使得Sk>Sk+1且Sk+10，所以存在k使得Sk>Sk+1且Sk+1

這個題目，我們曾在高二的新授課上測試過學(xué)生，結(jié)果并不理想。究其原因，并不是解題難度大，而是傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)良好的題目訓(xùn)練出來的學(xué)生對這類“不走尋常路”的題目甚少接觸，也缺乏靈活選擇信息、運用知識的能力，因此不適應(yīng)。要改變這種現(xiàn)狀，可以從訓(xùn)練學(xué)生解決結(jié)構(gòu)不良問題著手，讓學(xué)生體會問題的豐富性和復(fù)雜性，學(xué)會對信息的取舍、評價以及推理、判斷。

（二）基于真實的生活情境命制

一方面，現(xiàn)實生活中有著大量的結(jié)構(gòu)不良問題，需要解決者從諸多現(xiàn)象中分析、設(shè)計出解決方案，這有利于我們設(shè)計結(jié)構(gòu)不良問題。另一方面，“學(xué)科核心素養(yǎng)實際上就是一種把所學(xué)的學(xué)科知識和技能遷移到真實生活情境的能力和品質(zhì)。要養(yǎng)成這種素養(yǎng)，學(xué)生的學(xué)習(xí)應(yīng)該是在一個又一個基于真實情境的問題中通過體驗、探究來建構(gòu)自己的知識，發(fā)展自己的能力”。所以，我們可以從真實的生活情境出發(fā)命制結(jié)構(gòu)不良問題，讓學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識和技能分析、解決實際問題。

（2015年高考全國Ⅰ理科數(shù)學(xué)卷第19題）某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費x（單位：千元）對年銷售量y（單位：t）和年利潤z（單位：千元）的影響。對近8年的年宣傳費xi和年銷售量yi（i=1，2，…，8）數(shù)據(jù)做了初步處理，得到散點圖（見圖1）及一些統(tǒng)計量的值（見表2）。

x-y-w-∑8i=1（xi-x-）2∑8i=1（wi-w-）246.65636.8289.81.6∑8i=1（xi-x-）（yi-y-）∑8i=1（wi-w-）（yi-y-）1469108.8注：表中wi=xi ，w-=18∑8i=1wi。

（1）根據(jù)散點圖判斷，y=a+bx與y=c+dx哪一個適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）

（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程;

（3）已知這種產(chǎn)品的年利率z與x、y的關(guān)系為z=0.2y-x。根據(jù)（2）的結(jié)果回答下列問題：

①當(dāng)年宣傳費x=49時，年銷售量及年利潤的預(yù)報值是多少？

②當(dāng)年宣傳費x為何值時，年利潤的預(yù)報值最大？

這一題也屬于結(jié)構(gòu)不良問題，它的特點是源于真實的生活情境，目標(biāo)不夠清晰。因此，很多學(xué)生不能從模糊的問題情境中發(fā)現(xiàn)和提出問題解決的目標(biāo)。其實，發(fā)現(xiàn)和提出問題比分析和解決問題難度更大。因為分析和解決問題時，問題的“已知”和“所求”都是清晰的，學(xué)生只需要調(diào)用已有的知識和方法，就可以得到問題的答案;但是，發(fā)現(xiàn)和提出問題時，問題的“已知”和“未知”往往并不清楚，學(xué)生需要多角度思考，確定已知條件和解決目標(biāo)，這對學(xué)生的創(chuàng)造性思維提出了要求。

從散點圖中可以看出，8個點的分布更符合y=c+dx的圖像，因此，y=c+dx適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費x的回歸方程類型。于是，問題就轉(zhuǎn)化為求出這個回歸方程。由題意，可得d∧=∑ni=1（wi-w-）（yi-y-）∑ni=1（wi-w-）2=108.81.6=68，c∧=y--d∧w-=563-68×6.8=100.6，因此，y∧=100.6+68x。所以，當(dāng)x=49時，年銷售量y的預(yù)報值y∧=100.6+6849≈576.6，年利潤z的預(yù)報值z∧=576.6×0.2-49≈66.32。又因為z∧=-x+13.6x+20.12，所以當(dāng)x=6.8，即x≈46.24時，z∧取到最大值。

這個問題受考試模式的限制，提供了兩種模型選擇。其實，如果是課堂教學(xué)，可以僅提供收集、處理后的數(shù)據(jù)信息，請學(xué)生嘗試估計年利潤的預(yù)報值何時最大。這樣的結(jié)構(gòu)不良問題更有價值，更有助于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力。

國際上，在“問題解決”的評價方面，比較有影響力的是國際經(jīng)合組織（OECD）構(gòu)建的PISA數(shù)學(xué)測試。這個測試的目的是考查學(xué)生是否掌握參與社會生活所需要的問題解決能力和終身學(xué)習(xí)能力，而其試題幾乎全部是來自真實生活情境的結(jié)構(gòu)不良問題。

不過，依據(jù)上述原則命制試題時，我們還要根據(jù)考查意圖進(jìn)行適當(dāng)?shù)奶幚恚禾蕹x目標(biāo)的細(xì)枝末節(jié)，保留關(guān)鍵性事實。在選題時，要貼近學(xué)生的知識水平、生活經(jīng)驗，使學(xué)生能充分地理解情境;在知識點上，要與課程標(biāo)準(zhǔn)和教材內(nèi)容緊密聯(lián)系，便于學(xué)生找到解決問題的基本依據(jù)。

（三）基于數(shù)學(xué)的學(xué)科邏輯命制

數(shù)學(xué)研究（學(xué)習(xí)）要解決的問題不僅是“是什么”，更側(cè)重“為什么”，同時還有“在什么條件下形成這個結(jié)論”等。因此，我們可以基于數(shù)學(xué)的學(xué)科邏輯設(shè)計結(jié)構(gòu)不良問題：要深入研究教材知識，以教材中的基本問題為依托，開發(fā)適宜的情境并科學(xué)地設(shè)問，將教學(xué)內(nèi)容轉(zhuǎn)化為符合學(xué)科邏輯的結(jié)構(gòu)不良問題，形成“像科學(xué)家一樣思考”的問題鏈。

比如，教學(xué)高中數(shù)學(xué)“導(dǎo)數(shù)”這部分內(nèi)容時，我們多次以三次函數(shù)為模型，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的知識并感受導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的工具性作用。因此，我們可以從學(xué)生熟悉的三次函數(shù)出發(fā)，命制以三次函數(shù)性質(zhì)的探究為主體的結(jié)構(gòu)不良問題：

已知三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d，其中a、b、c、d∈R，且a≠0。記f（x）的圖像為曲線C，已知C的對稱中心為O′-b3a，f-b3a。

（1）已知S是C上的動點，證明：當(dāng)且僅當(dāng)點S在C的對稱中心O′時，過點S且與C相切的直線有且僅有1條;

（2）如圖2，記過點O′且與C相切的直線方程為y=h（x），該直線與C將平面分為四個部分。過坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點M（m，n）作C的切線l，判斷直線l的條數(shù)，并確定此時點M的位置。

如果利用這個問題開展研究性學(xué)習(xí)，學(xué)生可以借助信息技術(shù)手段合理地猜測數(shù)學(xué)結(jié)論，明確解決問題的思路和方案，再通過自主探究、合作交流等方式嚴(yán)格地論證數(shù)學(xué)結(jié)論：當(dāng)點M在C的對稱中心O′處或點M的坐標(biāo)滿足n>f（m），

n>h（m）或n

nf（m），

n

n>h（m）（即點M在圖2中的區(qū)域Ⅱ）時，直線l有3條。經(jīng)歷上述的問題解決過程，學(xué)生能逐漸形成主動探究的習(xí)慣，培養(yǎng)實踐能力和創(chuàng)新精神。

如果作為測試題（特別適合改編成為高考數(shù)學(xué)卷中即將出現(xiàn)的新題型——多項選擇題），我們可以給出一個具體的三次函數(shù)，進(jìn)而給出不同的點M（恰好位于點O′處、曲線C上不同于O′的點處、區(qū)域Ⅰ和區(qū)域Ⅱ），考查切線的條數(shù)，從中反映學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺、實踐能力和創(chuàng)新品質(zhì)。

總之，數(shù)學(xué)試題命制從結(jié)構(gòu)良好到結(jié)構(gòu)不良，是新課程、新高考的一個亮點。由于結(jié)構(gòu)不良問題本身的特點給學(xué)生提供了更為廣闊的空間，有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)并提出問題、分析并解決問題能力的培養(yǎng)以及學(xué)科核心素養(yǎng)的形成。希望同仁們能重視結(jié)構(gòu)不良問題的命制，讓解決這些問題的過程體現(xiàn)其教育價值，更好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。此外，值得一提的是，最大的結(jié)構(gòu)不良問題其實就是數(shù)學(xué)寫作的主題（話題）。而數(shù)學(xué)寫作也是當(dāng)下數(shù)學(xué)教學(xué)研究的一個熱點，值得做更深入的研究。

參考文獻(xiàn)：

[1] 任子朝.從能力立意到素養(yǎng)導(dǎo)向[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2018（13）.

[2] 張東.加強(qiáng)結(jié)構(gòu)不良問題的教學(xué)，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力——一道期末試題引發(fā)的思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2016（2）.

[3] 劉明，丁菁.促進(jìn)高中學(xué)生數(shù)學(xué)探究的課程資源庫建設(shè)概述[J].教育研究與評論（中學(xué)教育教學(xué)），2017（8）.