江文君 廖小勇

摘 要：數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)提出要讓學(xué)生體會(huì)和應(yīng)用數(shù)學(xué)思想與方法，模型思想的教學(xué)對(duì)學(xué)生理解抽象問題起著重要指導(dǎo)作用。本文在闡述模型思想及其教學(xué)要求基礎(chǔ)上，以“將軍飲馬”典型問題的教學(xué)設(shè)計(jì)為例，探討如何尋求合適的教學(xué)活動(dòng)和教學(xué)方法，以便更好地在初中數(shù)學(xué)“圖形與幾何”教學(xué)中滲透模型思想。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué);圖形與幾何;模型思想;數(shù)學(xué)教學(xué)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義。這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生初步形成模型思想，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識(shí)。”[1]對(duì)于“幾何與圖形”模塊中的教學(xué)，上述標(biāo)準(zhǔn)提出教學(xué)需要重視實(shí)物或模型在教學(xué)中的“奠基”作用，經(jīng)歷圖形的抽象、分類、性質(zhì)探討的過程，形成清晰的“圖形”認(rèn)識(shí)。

史寧中教授曾表示，數(shù)學(xué)發(fā)展所依賴的“基本思想”可以歸結(jié)為三個(gè)核心要素：抽象、推理、模型。學(xué)者陳蕾用“知聯(lián)系，悟應(yīng)用;助抽象，煉思維”12字闡述過滲透模型思想的價(jià)值。[2]但當(dāng)前不少初中數(shù)學(xué)教師在課堂上往往將“模型思想”等同于數(shù)學(xué)建模，等同于數(shù)學(xué)應(yīng)用，忽視其中的差異，對(duì)模型思想的理解過于狹窄。還有部分教師對(duì)具有較強(qiáng)現(xiàn)實(shí)背景的“原坯問題”，因其對(duì)初中生而言模型的建立過程過于復(fù)雜，其結(jié)果也存在不確定性而存有排斥心理。

因此，本文試討論在初中數(shù)學(xué)“圖形與幾何”教學(xué)中如何滲透模型思想的教學(xué)問題，限于篇幅僅以“將軍飲馬”典型問題的教學(xué)設(shè)計(jì)為例而展開。不當(dāng)之處，請(qǐng)同人批評(píng)指正。

一、模型思想及其教學(xué)要求

模型思想是指能夠有意識(shí)地運(yùn)用數(shù)學(xué)的概念、原理和方法去理解、描述和解決現(xiàn)實(shí)世界中某類問題的思想。模型思想對(duì)學(xué)生理解抽象問題起著重要的指導(dǎo)作用，其教學(xué)要求的要義就是能夠把握客觀對(duì)象的本質(zhì)與規(guī)律，并能用合適的數(shù)學(xué)語言描述和用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)出來，從而獲得刻畫客觀對(duì)象的數(shù)學(xué)模型。狹義上看，模型思想是指建立數(shù)學(xué)模型來解決實(shí)際問題的思想;廣義上看，模型思想的本質(zhì)是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思維解決問題。

根據(jù)初中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)現(xiàn)狀及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)特點(diǎn)，我們認(rèn)為在教學(xué)中滲透模型思想應(yīng)注意幾點(diǎn)：一是滲透模型思想首先要讓學(xué)生明確數(shù)學(xué)與客觀世界的關(guān)系，將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，使學(xué)生能夠更好地理解模型思想，為培養(yǎng)學(xué)生建模能力打下基礎(chǔ)，幫助學(xué)生更好地把握核心概念，從而理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)。而數(shù)學(xué)化解決的問題，最終還是要回歸到實(shí)際，解決實(shí)際問題，這才是數(shù)學(xué)模型思想的最終歸宿。二是模型思想的教學(xué)不能脫離知識(shí)體系的構(gòu)建單獨(dú)滲透，而是要在傳授知識(shí)的同時(shí)適當(dāng)?shù)貪B透模型思想。模型思想的滲透目的在于使學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)知識(shí)及本質(zhì)，教師在課堂教學(xué)的安排上就應(yīng)該有意識(shí)地給數(shù)學(xué)思想的教學(xué)預(yù)留適當(dāng)時(shí)間，以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體進(jìn)行，注意將數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)思想融為一體，因勢(shì)利導(dǎo)，水到渠成。三是模型思想是抽象的，是學(xué)生在學(xué)習(xí)掌握知識(shí)的過程中逐漸積累的、一個(gè)長期的反復(fù)的認(rèn)知過程。滲透模型思想本質(zhì)的領(lǐng)悟，需要教師結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)循序漸進(jìn)地反復(fù)滲透，以提高學(xué)生建模能力，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)模型思想的領(lǐng)悟。通過滲透的漸進(jìn)性，匯滴水為江海，變“點(diǎn)”為“線”，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中不斷感悟，成螺旋上升的狀態(tài)。

二、在“圖形與幾何”教學(xué)中的滲透模型思想

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中滲透數(shù)學(xué)模型思想，既是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)特殊階段更好構(gòu)建數(shù)學(xué)邏輯思維、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)自學(xué)能力的教學(xué)方式，也是提升初中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)品質(zhì)的重要方法。

圖形世界的直觀性決定了其教學(xué)過程中更易滲透建模思想，無論是平面幾何模型，還是立體幾何模型，學(xué)生都能較容易地找到具體事物與之對(duì)應(yīng)。學(xué)生對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)是由簡到易、呈螺旋式上升的，先了解幾何模型的特點(diǎn)，再從具體事物中抽象出具體的數(shù)學(xué)模型，通過對(duì)模型的認(rèn)識(shí)分析并解決問題。初中階段的“圖形與幾何”分為圖形的性質(zhì)、圖形的變化、圖形與坐標(biāo)。以下我們僅通過圖形的性質(zhì)解決“將軍飲馬”的問題來進(jìn)行討論。

問題1唐代詩人李欣的《古從軍行》的開頭兩句說“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”。詩中隱含者一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題：如圖1—1，將軍在觀望烽火之后從山腳上的瞭望臺(tái)出發(fā)，奔向交河旁邊飲馬，飲馬后再到軍營，試問位于交河上的哪一點(diǎn)飲馬時(shí)才能使總的路程最短？（假設(shè)可騎馬過河）

問題2據(jù)說，在古希臘有一位聰明過人的學(xué)者，名叫海倫。有一天，一位將軍向他請(qǐng)教了一個(gè)問題：如圖1—2，從軍營A地出發(fā)到河邊飲馬，然后再軍營B地，走什么樣的路線最短？如何確定飲馬的地點(diǎn)？

師：這需要我們解決什么問題？

生1：問題1，如圖2—1把河看作直線，軍營看作點(diǎn)A，烽火臺(tái)看作點(diǎn)B，直線的異側(cè)有兩點(diǎn)A和B，在直線上求作一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小。

生2：問題2，我們可以把它看作一個(gè)求最短路徑的問題。如圖2—2，直線的同側(cè)有兩點(diǎn)A和B，在直線上求作一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小。

（教學(xué)處理：古詩和小故事引出課題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣;詢問學(xué)生需要解決什么問題，誘導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)問題，遵循數(shù)學(xué)化原則，促使學(xué)生在觀察、認(rèn)識(shí)和改造客觀世界的過程中，運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維和方法來分析和研究客觀世界的種種現(xiàn)象并加以整理和組織;明確數(shù)學(xué)與生活的關(guān)系，將生活問題數(shù)學(xué)化，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光去看世界，讓其充分體會(huì)到數(shù)學(xué)與生活實(shí)際的聯(lián)系，明白數(shù)學(xué)的實(shí)用性。）

師：如何使PA+PB的值最??？

生3：對(duì)于問題1，連接AB交直線于點(diǎn)P，點(diǎn)P就是所求作的點(diǎn)，此時(shí)PA+PB的值最小。

師：為什么？

生3：如果P不在線段AB和直線的交點(diǎn)上，而在其他地方，不妨設(shè)為點(diǎn)P′，如圖3，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，線段AB將是點(diǎn)A和點(diǎn)B所有連線中最短的一條，即AB

師：其他人還有不同的看法嗎？

生4：根據(jù)“三角形任意兩邊之和大于第三邊”，可以得到，在△ABP′中，AB

（教學(xué)處理：問題1的設(shè)置意在對(duì)“兩點(diǎn)之間線段最短”這一公理進(jìn)行復(fù)習(xí)，提煉出解決問題的模型，為問題2的解決做鋪墊。遵循循序漸進(jìn)的原則，教學(xué)設(shè)計(jì)由易到難，由簡到繁，逐步深化提高，使學(xué)生系統(tǒng)地掌握基礎(chǔ)知識(shí)、技術(shù)、技能和科學(xué)的鍛煉方法。）

師：問題2呢？

生5：如圖4，過點(diǎn)A作AP丄交直線于一點(diǎn)P，根據(jù)“過直線外一點(diǎn)到直線上各點(diǎn)的所有連線中，垂線段最短”，可得PA+PB的值最小。

生6：不對(duì)，AP是點(diǎn)A到直線的最短線段，但是不代表PA+PB的值最小。

師：那么同學(xué)們看看問題2和問題1之間有什么聯(lián)系和區(qū)別？

生7：問題1的兩點(diǎn)在直線的異側(cè)，問題2的兩點(diǎn)在直線的同側(cè)。

師：問題1大家已經(jīng)解決了，那么如何處理問題2呢？

生8：我們是不是可以把問題2兩點(diǎn)在直線同側(cè)的情況轉(zhuǎn)化成問題1兩點(diǎn)在直線異側(cè)的情況處理？

師：怎樣轉(zhuǎn)化？

（學(xué)生先獨(dú)立思考，再進(jìn)行小組討論。）

生9：如圖5—1，作點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)A'，由于軸對(duì)稱性可得，在直線上任取一點(diǎn)P，都有PA=PA，所以求PA+PB的最小值，即求PA+PB的最小值。而兩點(diǎn)在直線異側(cè)的情況，問題1中已解決。如圖5—2可知，當(dāng)P在線段AB'和直線的交點(diǎn)上時(shí)，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，知PA+PB的值最小，因?yàn)镻A+PA，得在P點(diǎn)時(shí)PA+PB的值最小。

生10：老師，除了根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”證明，還有其他方法。如圖6，假設(shè)P'為直線上除點(diǎn)P外的任意一點(diǎn)，根據(jù)“三角形任意兩邊之和大于第三邊”，在△PAB中，PA+PB>AB，也就是PA+PB>PA+PB，即在P點(diǎn)時(shí)PA+PB的值最小。

師：大家的回答都很正確，下面請(qǐng)一位同學(xué)來總結(jié)一下將軍飲馬問題這個(gè)模型的典型特征和它的解決方法？

生11：將軍飲馬問題的特征是有三個(gè)點(diǎn)，兩個(gè)定點(diǎn)和一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，兩個(gè)定點(diǎn)在直線的同側(cè)，以動(dòng)點(diǎn)所在的直線為對(duì)稱軸，求這個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的線段和最小。

生12：首先，對(duì)問題里動(dòng)點(diǎn)及定點(diǎn)進(jìn)行分析;接著，通常以動(dòng)點(diǎn)所在的直線為對(duì)稱軸，做出兩個(gè)定點(diǎn)其中的一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn);然后，連接對(duì)稱點(diǎn)與另外一個(gè)定點(diǎn)，線段與對(duì)稱軸直線的交點(diǎn)即為所求的動(dòng)點(diǎn)位置。

（教學(xué)處理：先提問題1為問題2做鋪墊，誘導(dǎo)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題，體現(xiàn)學(xué)生的主體及教師的主導(dǎo)作用。要求學(xué)生先各自獨(dú)立思考，再分小組討論問題，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力及合作探究能力。遵循適度性原則，講解基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)適當(dāng)?shù)貪B透模型思想，我們知道模型思想的滲透目的在于使學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)本質(zhì)。將數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)思想融為一體，因勢(shì)利導(dǎo)，水到渠成。）

結(jié)語

本文就初中數(shù)學(xué)“圖形與幾何”模塊一個(gè)問題的教學(xué)做了簡要分析，探討了模型思想的教學(xué)滲透問題。事實(shí)上，模型思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透是多方面的。在實(shí)際教學(xué)過程中，教師對(duì)教材中模型思想的挖掘程度、對(duì)學(xué)生進(jìn)行滲透的方法、想要達(dá)到怎樣的滲透程度，都直接關(guān)系到學(xué)生最終對(duì)模型思想的掌握程度。教師需要緊跟課改的步伐，適時(shí)改變自己的教學(xué)方法及教學(xué)觀念，努力提升自己的教學(xué)水平;不斷地嘗試和創(chuàng)新，以求更好地發(fā)揮數(shù)學(xué)模型思想在數(shù)學(xué)教學(xué)的優(yōu)勢(shì)，從而提升數(shù)學(xué)教學(xué)的品質(zhì)。

參考文獻(xiàn)

[1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]陳蕾.滲透模型思想的教學(xué)策略：以小學(xué)數(shù)學(xué)為例[J].上海教育科研，2018（10）：93-96.

作者簡介

江文君，女，黃岡師范學(xué)院2019級(jí)教育碩士，學(xué)科教學(xué)·數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)位研究生。

廖小勇，男，黃岡師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院教授，碩士生導(dǎo)師，研究方向：數(shù)學(xué)教育學(xué)。