魏選平

摘要：本文詳細介紹了由特殊到一般的教學(xué)方法，在小學(xué)、中學(xué)及大學(xué)學(xué)習(xí)中的體現(xiàn)，反映出辯證的哲學(xué)思想，此方法對現(xiàn)實的數(shù)學(xué)教學(xué)具有很強的指導(dǎo)性。

關(guān)鍵詞：特殊 ?一般 ? 哲學(xué) ? 數(shù)學(xué)教學(xué)

一 引言

世界上任何事物都處于相互聯(lián)系之中，矛盾的普遍性寓于特殊性之中，并通過特殊性表現(xiàn)出來，該規(guī)律在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上也有指導(dǎo)意義。基于同類問題的最簡單特殊問題與同類復(fù)雜問題間的平行的相似性，由最簡單特殊問題研究、概括總結(jié)推廣出同類復(fù)雜問題的解決方法?？v觀各年級的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，都先由特殊的實例概況歸納出本質(zhì)規(guī)律，從而熟能生巧地總結(jié)概括推廣出概念、定理，公式。這些定理、公式可解決同類事物中的所有復(fù)雜問題，由小學(xué)、初中、高中、大學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程，無不體現(xiàn)出由特殊到一般，再由一般到特殊的規(guī)律。這種規(guī)律和方法具體體現(xiàn)在小學(xué)、初中、高中、大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的知識點和知識體系上。

二 小學(xué)、初中、高中、大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的體現(xiàn)

1 小學(xué)學(xué)習(xí)中的體現(xiàn)

圓的周長公式也可由生活中的特殊到一般規(guī)律歸納出來。例如，車輪滾動一周的長度就是周長，如何測車輪周長用圓片試試看，圓片向右滾動一周，用線繞圓片一周可測量出圓的周長與直徑有關(guān)，找3個大小不同的圓片分別測量出園的周長和直徑，做一做，填一填。如下表 所示。

測量會有誤差，可多測幾次求平均值，會發(fā)現(xiàn)園的周長總是與直徑的3倍多一點，從而得出圓的周長除以直徑 的商是一固定的數(shù)，稱其為圓周率，用字母表示，計算時常數(shù)取3.14，從而可用圓的周長公式求出所有圓的周長。該例從生活中的簡單的特例概況出圓的周長公式。利用所求不同的圓的周長，這是由特殊到一般公式，再由一般公式到特殊問題的問題。

2 初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的體現(xiàn)

勾股定理的學(xué)習(xí)可聯(lián)系生活實際，對于任意三角形，只要是直角三角形，它的三邊的長度就為一對勾股數(shù)，反過來，只要一三角形的三邊長互為勾股數(shù)，則該三角形一定是直角三角形。從而總結(jié)出勾股定理。即任意直角三角形中，兩直角邊的平方和一定等于斜邊的平方。由勾股定理可解決不同直角三角形的邊角問題，尤其是從直角三角形的形狀特性可總結(jié)出其性質(zhì)規(guī)律，由勾股定理和直角三角形的性質(zhì)可解決所有直角三角形問題。這是由特殊到一般公式，再由一般公式到特殊問題的問題。

3 高中的體現(xiàn)

初中七年級下冊講了變量的關(guān)系，變量的三種表示方法（解析式、列表法、圖像法），也是高中的冪函數(shù)、對數(shù)和指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的表示方法。對高中的冪函數(shù)、對數(shù)和指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)學(xué)習(xí)中，都可以用函數(shù)表達式先列表，找出幾個特殊的點，然后，用光滑的曲線連接起來，就構(gòu)成了函數(shù)的圖形，通過觀察、分析、總結(jié)出函數(shù)圖形的特征和本質(zhì)，用自己的語言描述一下，就得到了函數(shù)的性質(zhì)。那么，這種用變量的關(guān)系總結(jié)出的簡單的方法，可以用到高中一般復(fù)雜函數(shù)的學(xué)習(xí)中。無不體現(xiàn)出由簡單到復(fù)雜，由特殊到一般的學(xué)習(xí)方法。

4 大學(xué)高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的體現(xiàn)

4.1 在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的定義時，先通過講曲線上任意一點處切線和變速直線運動物體的瞬時速度這兩個實例，在通過觀察、分析和總結(jié)這兩個實例的共同的相似的本質(zhì)和特征，在熟能生巧的基礎(chǔ)上，按照由特殊到一般的方法推廣和深入，從而用自己的語言概括總結(jié)出導(dǎo)數(shù)的定義。

4.2 在學(xué)習(xí)微分方程的概念時，先講簡單的實例，已知曲線通過一定點，且在該曲線上任一點處的切線的斜率，求這曲線的方程。這道實例的解的過程是，首先設(shè)曲線方程，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出微分方程，最后用數(shù)學(xué)方法解出微分方程的解。對于這樣的簡單實例的解題過程，加以概括、總結(jié)和提煉，按照由特殊到一般的方法加以推廣和深入，也可得到適用于所有微分方程的本質(zhì)概念。微分方程也是方程。所有微分方程和小學(xué)四年級的方程間具有平行的相似性。小學(xué)學(xué)過，含有未知數(shù)的等式是方程。大學(xué)的研究對象為函數(shù)，所以，含有未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的方程為微分方程;小學(xué)學(xué)過，能使方程成立的未知數(shù)的值為方程的解。同樣，能使微分方程成立的未知函數(shù)的值為微分方程的解;小學(xué)學(xué)過，含有未知數(shù)的最高階次數(shù)為方程的次數(shù)。同樣，含有未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)為微分方程的階數(shù)。顯然，小學(xué)的簡單方程和大學(xué)的微分方程間具有平行的相似性，由這種相似性，可以由小學(xué)的簡單方程的學(xué)習(xí)，平行遞推出大學(xué)的微分方程的學(xué)習(xí)，從而使微分方程的學(xué)習(xí)變得通俗易懂。

三 結(jié)論

綜上所述，小學(xué)、初中、高中、大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的知識點和知識體系都體現(xiàn)出了由特殊到一般，再由一般到特殊的規(guī)律，這就啟示我們在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中只有抓住同類簡單特殊問題與一般復(fù)雜問題間的相似性，才能由小學(xué)、初中、高中的簡單特殊問題的學(xué)習(xí)和研究，熟能生巧地推廣和概括出大學(xué)的一般復(fù)雜問題的學(xué)習(xí)。小學(xué)、中學(xué)、大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的每一個重要公式、概念、定理都是從生活中簡單特殊的實例總結(jié)概括歸納出來的，由這些基本定理公式又可解決形形色色的同類所有問題。也體現(xiàn)出了由特殊到一般，再由一般到特殊的規(guī)律。只要掌握了從特殊到一般的方法，就能提高學(xué)生的自學(xué)能力，就能增強教師的教學(xué)能力。一般來說，特殊的實例都很簡單，一般問題都很復(fù)雜，這種方法也是從最簡單的問題中學(xué)會復(fù)雜問題的解決辦法，這不能不說是一種智慧。有了這種智慧，不但能學(xué)好數(shù)學(xué)，也能學(xué)會分析和解決新問題的能力。