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        形式各異 本質(zhì)歸一

        2020-09-26 11:16:35黃邵華
        關(guān)鍵詞:正弦定理解三角形余弦定理

        黃邵華

        [摘? 要] 已知斜三角形“邊邊角”解該三角形是高中數(shù)學(xué)“解三角形”一章中常見的問題,教師在教、學(xué)生在學(xué)的過程中常會(huì)用到“圖形法”“正弦定理法”“余弦定理法”三種方法判定解的個(gè)數(shù)或求具體解. 文章通過計(jì)算分析,論證了上述三種方法在判定解的個(gè)數(shù)的過程中進(jìn)行分類討論時(shí)的分類標(biāo)準(zhǔn)、分類類型及最終結(jié)論上的一致性,并且給出了具體問題中合理選用哪種方法的策略.

        [關(guān)鍵詞] 解三角形;邊邊角;作圖法;正弦定理;余弦定理

        “解斜三角形”是高中數(shù)學(xué)必修5中的一章,本章內(nèi)容主要介紹了正弦定理、余弦定理以及這兩個(gè)定理在解斜三角形等方面的應(yīng)用. 其中,解斜三角形一般分為這五類問題:“角邊角”“角角邊”“邊角邊”“邊邊邊”以及“邊邊角”問題. 其中前四類問題在有解的前提下則必然有且僅有一個(gè)解. 而“邊邊角”問題(即已知某斜三角形的兩邊和其中一條邊的對(duì)角,求三角形的另外一邊和兩角的問題),則是解斜三角形問題中一種常見的也是易錯(cuò)的題型.

        學(xué)生在初中學(xué)習(xí)三角形全等時(shí),已經(jīng)知道可以通過“角角邊”“角邊角”“邊角邊”“邊邊邊”四種方法來證明兩個(gè)斜三角形全等,到了高中學(xué)習(xí)正弦定理、余弦定理后,前二者可以優(yōu)先采用正弦定理入手解三角形,后二者可以優(yōu)先采用余弦定理入手解三角形. 同樣,學(xué)生在初中也學(xué)習(xí)過“邊邊角”不能夠用來證明三角形全等,如果已知某斜三角形的兩邊和其中一條邊的對(duì)角,那么該三角形可能會(huì)有多少組解、宜使用什么方法來求解,則需要在高中學(xué)習(xí)正弦定理、余弦定理后才能解決.

        高中生在學(xué)習(xí)解決這類“邊邊角”問題時(shí),一般會(huì)接觸到這三種方法:作圖法、正弦定理法、余弦定理法. 但是因?yàn)橹R(shí)和時(shí)間的跨度等原因,學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中卻很少會(huì)去思考,教師在教學(xué)過程中也很少會(huì)去提出下面幾個(gè)問題:這三種方法之間的關(guān)聯(lián)是什么?它們的過程和結(jié)論能否統(tǒng)一起來?在具體問題當(dāng)中應(yīng)該如何選擇方法?本文將對(duì)以上幾個(gè)問題進(jìn)行闡述.

        提出問題:已知△ABC為一個(gè)斜三角形,角A,B,C所對(duì)的邊的長度分別為a,b,c,若a,b及A為已知,解該三角形.

        首先,由題中的已知條件,如果僅僅需要判斷解的個(gè)數(shù),可以通過作圖法直觀判斷,具體如下.

        (1)若A為銳角,有以下5種情況:

        ①0

        ②a=bsinA,1個(gè)解

        ③bsinA

        ④a=b,1個(gè)解

        ⑤a>b,1個(gè)解

        (2)若A為鈍角,有以下2種情況:

        ①0

        ②a>b,1個(gè)解

        從上述圖中可以看到,若A是銳角,只要根據(jù)a與bsinA及b的大小關(guān)系作為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類,可以分為5種類型,最終的結(jié)果可能是0個(gè)解、1個(gè)解或2個(gè)解;若A是鈍角,則只需根據(jù)a與b的大小關(guān)系作為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類,可以分為2種類型,最終的結(jié)果可能是0個(gè)解或1個(gè)解.

        作圖法能夠很快判斷出解的個(gè)數(shù),只是一種定性的判斷,如果定量地具體求解角或者邊的值,這種方法就無能為力了,此時(shí)就需依靠正弦定理和余弦定理來求解.

        下面我們分析利用正弦定理求解過程中導(dǎo)致的不同情況是如何系統(tǒng)地與作圖法的不同情況一一對(duì)應(yīng)的.

        (1)若A是銳角,由正弦定理可得sinB=■.

        ①若01,B有0個(gè)解;

        ②若a=bsinA,則sinB=■=1,B=■,B有1個(gè)解;

        ③若bsinA

        ④若a=b,則B=A,B有1個(gè)解;

        ⑤若a>b,則sinB=■∈(0,1),B=B00

        (2)若A是鈍角,由正弦定理可得sinB=■.

        ①若a>b,則sinB=■∈(0,1),B只能是銳角,B有1個(gè)解;

        ②若a≤b,則sinB=■≥sinA,則B≥A,B有0個(gè)解.

        可以發(fā)現(xiàn),利用正弦定理求解的過程中,分類討論的標(biāo)準(zhǔn)、類型以及結(jié)論與作圖法是完全一致的. 也就是說,利用正弦定理求解過程中的每一種情況都可以用作圖法直觀表達(dá),反之,用作圖法討論的每一種情況,都可以通過正弦定理的計(jì)算驗(yàn)證.

        相比作圖法,正弦定理求解除了能夠判定解的個(gè)數(shù),還能夠求出另外一條邊的對(duì)角的大小,進(jìn)而通過正弦定理或余弦定理即可解該三角形了.

        實(shí)際上,在具體問題中,學(xué)生還可能用余弦定理來求解,下面我們分析利用余弦定理求解過程中討論的不同類別是如何系統(tǒng)地與作圖法、正弦定理法討論的不同類別一一對(duì)應(yīng)的.

        由余弦定理可得c2-2bcosA·c+b2-a2=0,這是一個(gè)關(guān)于c的一元二次方程,Δ=4b2cos2A-4(b2-a2)=4(a2-b2sin2A),且兩根之和c1+c2=2bcosA,兩根之積c1c2=b2-a2.

        (1)若A是銳角(cosA>0):

        ①若0

        ②若a=bsinA,則Δ=0,c=bcosA,c有1個(gè)解;

        ③若bsinA0,且c1+c2>0,c1c2>0,因此方程的2個(gè)解均為正數(shù),所以c有2個(gè)解;

        ④若a=b,則c2-2bcosA·c=0,c=2bcosA,c有1個(gè)解;

        ⑤若a>b,則Δ>0,且c1+c2>0,c1c2<0,因?yàn)閏>0,所以c有1個(gè)解.

        (2)若是鈍角(cosA<0):

        ①若a>b,則Δ>0,且c1+c2<0,c1c2<0,因?yàn)閏>0,c有1個(gè)解;

        ②若a≤b,則c1+c2<0,c1c2>0,則c1,c2<0,因?yàn)閏>0,c有0個(gè)解.

        從以上分析,我們可以發(fā)現(xiàn),利用余弦定理求解的過程中,分類討論的標(biāo)準(zhǔn)、類型以及結(jié)論與作圖法和正弦定理法也是完全一致的. 也就是說,利用正弦定理、余弦定理求解過程中的每一種情況都可以用作圖法直觀表達(dá),反之,用作圖法討論的每一種情況都可以通過正弦定理、余弦定理的計(jì)算驗(yàn)證.

        相比作圖法和正弦定理求解的方法,采用余弦定理求解除了能夠判定解的個(gè)數(shù),還能夠求出第三條邊的大小,進(jìn)而通過正弦定理或余弦定理即可解該三角形了.

        我們將前面的分析匯總成表1,表2.

        上述作圖法、正弦定理求解法、余弦定理求解法這三種方法,雖然求解的過程完全不同,但通過上述的理論分析,我們可以將他們統(tǒng)一起來理解. 雖然求解過程形式各異,但蘊(yùn)含的本質(zhì)歸一.

        最后,如果我們?cè)谟龅骄唧w的“邊邊角”問題時(shí),該如何合理選用以上三種方法呢?通過上面的分析,我們大致可以做出以下結(jié)論:

        (1)如果問題僅僅是判斷解的個(gè)數(shù),可依據(jù)實(shí)際情況,宜采用作圖法或正弦定理進(jìn)行判斷;

        (2)如果問題是求某一個(gè)角,宜采用正弦定理更便捷些;

        (3)如果問題是求某一條邊,宜采用余弦定理更便捷些;

        (4)如果問題是解該三角形,采用正弦定理或余弦定理均可.

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