摘要：數(shù)學(xué)建模是真實(shí)世界與數(shù)學(xué)世界的溝通橋梁。將建模過(guò)程與教學(xué)內(nèi)容有機(jī)結(jié)合，能夠有效地促進(jìn)深度學(xué)習(xí)。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，經(jīng)歷建模過(guò)程包括在現(xiàn)實(shí)中尋找建模原型、提出數(shù)學(xué)問(wèn)題、通過(guò)多層次的表達(dá)建立模型、回歸生活應(yīng)用模型等基本環(huán)節(jié)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模;深度學(xué)習(xí);小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)

中圖分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1673-9094（2020）07B-0101-03

荷蘭教育家弗賴登塔爾認(rèn)為，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一方法是“再創(chuàng)造”。小學(xué)教學(xué)中的“建?！边^(guò)程，實(shí)際就是“再創(chuàng)造”的過(guò)程。經(jīng)歷建模過(guò)程即指學(xué)生親身經(jīng)歷探索和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的過(guò)程，它不僅包括尋求問(wèn)題解決的結(jié)果，更強(qiáng)調(diào)經(jīng)歷問(wèn)題產(chǎn)生、分析、解決的過(guò)程。從教學(xué)角度看，數(shù)學(xué)建模是一種數(shù)學(xué)活動(dòng)，能夠有效促進(jìn)深入學(xué)習(xí);從方法論看，深度學(xué)習(xí)可以通過(guò)經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模過(guò)程得以開展。

基于此，筆者嘗試將數(shù)學(xué)建模與教學(xué)內(nèi)容有機(jī)結(jié)合，創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實(shí)的情境，激發(fā)學(xué)生的建模需求。在多次優(yōu)化的過(guò)程中，經(jīng)歷對(duì)比、歸納、簡(jiǎn)化、概括，把知識(shí)建構(gòu)的主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生，讓學(xué)生去嘗試、探索、沉淀、總結(jié)、內(nèi)化，完成知識(shí)結(jié)構(gòu)的組織。

一、創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實(shí)情境，尋找建模原型

呈現(xiàn)在學(xué)生面前的數(shù)學(xué)模型情境，應(yīng)該是具有現(xiàn)實(shí)意義的，是實(shí)際生活中需要用數(shù)學(xué)知識(shí)解決的問(wèn)題。教學(xué)時(shí)應(yīng)從教材的視角出發(fā)，聯(lián)系學(xué)生的生活實(shí)際整體解讀，利用生活中的建模原型，找準(zhǔn)建模的知識(shí)起點(diǎn)。

在“確定位置”的教學(xué)中，教師將生活中的游戲素材及時(shí)引入課堂，將未經(jīng)簡(jiǎn)化抽象的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題與教材的內(nèi)容有機(jī)結(jié)合，以游戲的方式呈現(xiàn)。教學(xué)由游戲簡(jiǎn)單地導(dǎo)人：一位學(xué)生當(dāng)船長(zhǎng)，發(fā)出位置指令;一位學(xué)生當(dāng)炮手，根據(jù)指令對(duì)隱匿在漁船中的海盜船開炮。游戲中小平面海域內(nèi)的擊炮定位即確定位置的現(xiàn)實(shí)原型。這樣的情境不是數(shù)學(xué)化的“已知”和“求證”模式，而是一種真實(shí)的需求，是以克服困難為標(biāo)志的數(shù)學(xué)問(wèn)題原型。

二、依托教學(xué)情境，提出數(shù)學(xué)問(wèn)題

數(shù)學(xué)問(wèn)題的產(chǎn)生源于數(shù)學(xué)情境。從靜態(tài)角度看，它是學(xué)生對(duì)定位需求的文字或言語(yǔ)的表達(dá);從動(dòng)態(tài)角度看，它是學(xué)生產(chǎn)生問(wèn)題意識(shí)和生成數(shù)學(xué)思考的過(guò)程。根據(jù)建模原型，筆者嘗試設(shè)計(jì)了如下的教學(xué)情境：由兩位學(xué)生在配合下，定位擊沉海盜船。在海域圖頂點(diǎn)、在海域圖邊上依次出現(xiàn)海盜船后，船長(zhǎng)與炮手均能描述并定位。當(dāng)海域圖的中央某處再次出現(xiàn)海盜船時(shí)，小船長(zhǎng)無(wú)法準(zhǔn)確描述位置，小炮手無(wú)法擊沉。（圖1）

學(xué)生在情境的引導(dǎo)下，產(chǎn)生了值得思考的數(shù)學(xué)問(wèn)題：如果將這片海平面看作一個(gè)長(zhǎng)方形，將海盜船看作一個(gè)點(diǎn)，如何在平面中清楚地表達(dá)這個(gè)點(diǎn)的位置？這樣的數(shù)學(xué)問(wèn)題不是教師提出的，也不是教材提出的，而是學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界后提出的疑惑與思考。

三、經(jīng)歷建模過(guò)程，建立數(shù)學(xué)表達(dá)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是一個(gè)生動(dòng)活潑的、主動(dòng)的和富有個(gè)性的過(guò)程。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是學(xué)生個(gè)體“生活經(jīng)驗(yàn)”與群體“履歷經(jīng)驗(yàn)”的疊加與重組，因此在教學(xué)中，應(yīng)充分發(fā)揮學(xué)生的積極性，鼓勵(lì)學(xué)生自主探究，交流思考，分享發(fā)現(xiàn)，獲得感悟。

1.個(gè)體的表達(dá)

學(xué)習(xí)中被放在首位的應(yīng)該是獨(dú)立思考習(xí)慣的培養(yǎng)與思維品質(zhì)的錘煉，而不是獲取特定的知識(shí)。因此教學(xué)中，教師應(yīng)為學(xué)生提供自主探索的機(jī)會(huì)，鼓勵(lì)學(xué)生積極思考，使他們從被動(dòng)的學(xué)習(xí)者轉(zhuǎn)化為主動(dòng)的探索者。教學(xué)中，教師給予學(xué)生獨(dú)立思考、個(gè)性表達(dá)的機(jī)會(huì)，請(qǐng)學(xué)生結(jié)合操作卡用自己的方法表示出海盜船的位置。（圖2、圖3、圖4、圖5）

根據(jù)操作活動(dòng)，教師發(fā)現(xiàn)學(xué)生能夠根據(jù)已有的生活經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，創(chuàng)造出了許多他們自己的表述方法：東南西北的方位表述法、分成大塊區(qū)域的描述法、結(jié)合鐘面的描述法、只畫橫線的一維描述法、格子圖中的二維描述法。這些個(gè)體的表達(dá)既反映了學(xué)生的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，也為進(jìn)一步建構(gòu)模型提供了寶貴的素材。

2.學(xué)生社群的表達(dá)

在實(shí)際教學(xué)中，教師組織學(xué)生之間展開交流與討論，通過(guò)分析與評(píng)價(jià)他人的策略與意圖，在反思和碰撞中初步形成模型的雛形。交流中，學(xué)生社群一方面需要閱讀他人的表征圖文并理解他人的想法，另一方面又必須以書面或口頭的形式評(píng)述他人的模型，在表達(dá)個(gè)體思維與反思他人觀點(diǎn)的同時(shí)，達(dá)到修正模型與深入思考的雙重功效。

在教學(xué)活動(dòng)中，通過(guò)學(xué)生展示鐘面圖、一維圖、二維圖，由學(xué)習(xí)者、教師和學(xué)習(xí)伙伴等形成學(xué)習(xí)社群，通過(guò)對(duì)話、溝通的方式，提出不同看法以刺激個(gè)體反省思考。在交互質(zhì)疑辯論的過(guò)程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了最后兩種方法是類似的，位置的描述明確而清晰，有的學(xué)生建議把行和列標(biāo)上序號(hào)，從零數(shù)起。在集體的交流碰撞中，學(xué)生逐漸優(yōu)化確定位置的二維模型表達(dá)。

3.數(shù)學(xué)的表達(dá)

在建立模型的過(guò)程中，學(xué)生不僅需要思考方向正確，還需要自覺(jué)努力尋求指向目標(biāo)的最便捷的邏輯途徑，體現(xiàn)思維的和諧進(jìn)化，進(jìn)而通過(guò)不斷重組和轉(zhuǎn)換認(rèn)識(shí)問(wèn)題中的關(guān)系及本質(zhì)，完善模型結(jié)構(gòu)。因此教學(xué)中教師要給學(xué)生提供運(yùn)用符號(hào)的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生經(jīng)歷從“感性”到“理性”，再到“運(yùn)用”的過(guò)程，甚至讓學(xué)生經(jīng)歷創(chuàng)造符號(hào)、完善符號(hào)的過(guò)程。

運(yùn)用建模思想觀照數(shù)學(xué)教學(xué)，其意義就是要在認(rèn)知過(guò)程中建立一種符號(hào)化的、具有數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)特征的“模型”載體。通過(guò)這樣具有“模型”功能的載體，為學(xué)生提供數(shù)學(xué)抽象的機(jī)會(huì)，為后續(xù)學(xué)習(xí)提供基礎(chǔ)支撐。結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，教師在教學(xué)中加人了“海盜船來(lái)襲，快速記錄定位”的環(huán)節(jié)。由快速記錄的需求，學(xué)生產(chǎn)生了簡(jiǎn)化數(shù)對(duì)寫法的需求。在快速記錄位置的過(guò)程中，學(xué)生創(chuàng)造了很多記錄的方法，有的學(xué)生只寫行和列的數(shù)字，有的在行和列之間加上了短橫，有的在數(shù)字之前加上了方向箭頭。在不同的寫法中，通過(guò)觀察、對(duì)比、交流、求同，學(xué)生發(fā)現(xiàn)行和列的數(shù)字必須規(guī)定先后次序，也不能寫得連在一起，于是學(xué)生就自然生成了數(shù)對(duì)的數(shù)學(xué)表達(dá)方式——先列再行，中間用逗號(hào)分隔，每一個(gè)位置外面加上括號(hào)。通過(guò)解決問(wèn)題的過(guò)程中產(chǎn)生的關(guān)于模型表達(dá)的多重體驗(yàn)，學(xué)生加深了對(duì)知識(shí)的理解和內(nèi)化。

四、應(yīng)用數(shù)學(xué)模型，回歸生活現(xiàn)場(chǎng)

數(shù)學(xué)模型來(lái)源于生活，也運(yùn)用于生活。數(shù)學(xué)模型的建模不是一個(gè)線性過(guò)程，而是一個(gè)微調(diào)循環(huán)的過(guò)程。教學(xué)中，教師除了引導(dǎo)學(xué)生探究模型，更應(yīng)不斷地帶領(lǐng)學(xué)生從數(shù)學(xué)世界返回真實(shí)世界，即學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的視角去觀察世界，用數(shù)學(xué)的方法認(rèn)識(shí)世界，甚至用數(shù)學(xué)的思想去改造世界。學(xué)生在真實(shí)的世界中尋找原型，應(yīng)用模型，建構(gòu)對(duì)數(shù)學(xué)模型的表象支撐。

在教學(xué)中，教師出示了三幅數(shù)學(xué)情境圖，通過(guò)逐一出示人物小軍的座位、動(dòng)物小猴家的位置、小熊做操的位置，引導(dǎo)學(xué)生觀察描述。在對(duì)比求同中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)這三幅場(chǎng)景表面看起來(lái)不一樣，但如果用數(shù)學(xué)的眼光來(lái)觀察，都可以用數(shù)對(duì)（3，2）來(lái)表示。學(xué)生的思維豁然開朗，頭腦中模型也更加豐富多樣。學(xué)生體會(huì)了模型的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，思維走向了深刻。

用所建立的數(shù)學(xué)模型來(lái)解答生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，有助于學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)模型的實(shí)際應(yīng)有價(jià)值，體驗(yàn)到所學(xué)知識(shí)的用途和益處，有助于建立數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，即用數(shù)學(xué)的眼光來(lái)觀察，用數(shù)學(xué)的模型來(lái)解釋。

綜上所述，結(jié)合教材內(nèi)容，從現(xiàn)實(shí)生活中找到建模原型，依托原型提出數(shù)學(xué)問(wèn)題，通過(guò)師生之間的相互啟發(fā)，經(jīng)歷建模過(guò)程，建立數(shù)學(xué)表達(dá)，將問(wèn)題的解決與生活實(shí)際相聯(lián)結(jié)溝通，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的有效方式。從個(gè)體表達(dá)到數(shù)學(xué)表達(dá)，從不全面到全面，從生活到數(shù)學(xué)、又回歸生活，既是一段數(shù)學(xué)建模的經(jīng)歷，也是一個(gè)深入學(xué)習(xí)的過(guò)程。

責(zé)任編輯：丁偉紅

收稿日期：2019-12-17

作者簡(jiǎn)介：沈君，江陰市花園實(shí)驗(yàn)小學(xué)（江蘇江陰，214431）教師。