陳夢(mèng)云

摘要：“數(shù)形結(jié)合”在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中是一種非常重要的思想。在小學(xué)階段，無(wú)論是老師在課堂教學(xué)中，還是學(xué)生在練習(xí)思考時(shí)，都會(huì)用到數(shù)形結(jié)合的思想。它可以幫助學(xué)生更好地理解題目要表達(dá)的意思，也可以幫助學(xué)生直觀地找到題目的突破口，將抽象的信息變得具體，從而得以解答。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合;以數(shù)解形;以形助數(shù);數(shù)形互譯

小學(xué)階段中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是非常重要的，它能夠?yàn)橐院蟮膶W(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，同時(shí)也蘊(yùn)含了很多數(shù)學(xué)的思考方法和解題方法。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)中，我們需要滲透一些基本的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法。其中，數(shù)形結(jié)合的思想是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最常見的一種解題思考方法，它能夠?qū)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中抽象的問題具體化，復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化。下面我們就從三個(gè)方面來(lái)研究學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的思想：

一、以數(shù)解形

“以數(shù)解形”是指當(dāng)給出的圖形沒有精確地?cái)?shù)據(jù)條件，無(wú)法求出其結(jié)果時(shí)我們可以賦予圖形的某些屬性一些數(shù)據(jù)，利用數(shù)據(jù)的精確性、可操作性來(lái)解決問題。

例如，在教學(xué)三年級(jí)下學(xué)期長(zhǎng)方形和正方形的面積時(shí)，碰到這樣的一道選擇題：已知長(zhǎng)方形的面積是4平方厘米，如果將長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬都變成原來(lái)的2倍，那么現(xiàn)在長(zhǎng)方形的面積是多少平方厘米？在解決這道練習(xí)時(shí)我發(fā)現(xiàn)同學(xué)們有兩種方法：①由于長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬，所以長(zhǎng)擴(kuò)大2倍，寬擴(kuò)大2倍，那么它的面積也就是擴(kuò)大4倍，所以現(xiàn)在長(zhǎng)方形的面積是4×4=16平方厘米。②假設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是4厘米，寬是1厘米，它的面積是4平方厘米。那么長(zhǎng)和寬擴(kuò)大2倍后就變成長(zhǎng)是8厘米，寬是2厘米，那么面積就是16平方厘米。上面的兩種方法都可以做出正確答案，而第二種方法賦予長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬一個(gè)特定的數(shù)據(jù)，讓原本模糊的圖形變得有數(shù)可算，學(xué)生也更好地掌握了這類題目的解題方法。

再如，在教學(xué)四年級(jí)下冊(cè)《三角形的三邊關(guān)系》一課時(shí)，題目給出4根小棒，分別長(zhǎng)8cm，4cm，5cm，2cm，要求任意選三根小棒，能圍成一個(gè)三角形嗎？很明顯這是一道關(guān)于三角形三邊的幾何練習(xí)，如果單純地按照要求來(lái)解決這個(gè)問題的話相當(dāng)?shù)膹?fù)雜。因此教師引導(dǎo)學(xué)生完成如下的表格，利用“數(shù)”來(lái)解決問題。

學(xué)生任意選擇三條邊以后，根據(jù)表格要求，將其中的兩條邊長(zhǎng)度相加，和另一條邊進(jìn)行比較。通過多次的計(jì)算，很快就能發(fā)現(xiàn)當(dāng)任意兩條邊長(zhǎng)度的和大于第三邊時(shí)才可以圍成三角形。

利用可操作的數(shù)據(jù)來(lái)計(jì)算，解決數(shù)學(xué)中的圖形問題，這就是“以數(shù)解形”。通過這樣的方法，可以很好的幫助學(xué)生解決問題。

二、以形助數(shù)

“以形助數(shù)”是指利用圖形的直觀性幫助學(xué)生更好地理解題目中的條件和問題，從而幫助學(xué)生正確解答。

在三年級(jí)上學(xué)期的《間隔排列》中，很多題目單純地靠大腦思考排列的規(guī)律是很容易出錯(cuò)的，很多學(xué)生會(huì)出現(xiàn)遺漏或者重復(fù)等問題，這時(shí)候如果我們按照題目的意思畫出對(duì)應(yīng)的圖形，就可以省事很多。像這樣的一道練習(xí)，有一根長(zhǎng)120米的馬路，要在馬路的一側(cè)種樹（起點(diǎn)和終點(diǎn)都要種），每隔3米種一棵樹，可以種幾棵？我們知道在計(jì)算時(shí)由于每隔3米種一棵，所以我們的算式是120÷3+1=41棵。但是很多學(xué)生最后都沒有把終點(diǎn)的那棵樹加上去導(dǎo)致出錯(cuò)。這時(shí)如果我們畫一張圖（如下）：

那么我們觀察圖片就不難發(fā)現(xiàn)樹的棵樹比3米的段數(shù)多1，所以需要加1。

再如，在小學(xué)數(shù)學(xué)中我們經(jīng)常會(huì)碰到的行程問題，甲地到乙地是斜坡路，一輛貨車上坡速度是每小時(shí)30km，下坡速度是每小時(shí)60km，這輛貨車從甲地開往乙地再開回甲地共需4.5小時(shí)，甲乙兩地相距多少千米？像這樣的行程問題，憑空想象很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤，這時(shí)候我們不妨畫一張圖（如下）

從圖上我們不難發(fā)現(xiàn)，在火車行駛的這4.5個(gè)小時(shí)里，它主要經(jīng)歷了上坡、下坡這樣一個(gè)過程，那么我們就可以設(shè)甲乙兩地相距s千米。列式，可以求出s=90千米。

將繁瑣的文字條件轉(zhuǎn)化成清晰的圖形，把復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，這就是“以形助數(shù)”的用處。

三、數(shù)形互譯

“數(shù)形互譯”是指同時(shí)利用“以數(shù)解形”和“以形助數(shù)”，將問題中的數(shù)量關(guān)系表示到圖形上，把抽象的關(guān)系變得具體直觀，然后對(duì)圖形進(jìn)行觀察、分析，將圖形譯成算式解決問題。

在小學(xué)階段，最典型的“數(shù)形互譯”習(xí)題應(yīng)當(dāng)是雞兔同籠問題了。雞兔有20個(gè)頭，共有腳54只，求雞兔各有幾只？這是小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)下冊(cè)中解決問題的策略——假設(shè)的一道習(xí)題。在課堂上講解這道題目是用假設(shè)的方法解決的。假設(shè)20個(gè)頭都是雞的，那么也就是有20×2=40只腳，還多余的54-40=14只腳，以一對(duì)兩只的方法安在雞的身上就變成四只腳的兔子，則有14÷2=7只，所以兔子有7只，雞有13只。但是對(duì)于低年級(jí)的孩子還說用假設(shè)的方法他們可能不大理解，如果我用數(shù)形互譯的方法去解釋，即使是一年級(jí)的孩子也能夠解決這道題目。我們可以這樣做（如圖）：

先讓小朋友們畫20個(gè)圓圈表示動(dòng)物的頭，由于雞兔最少都有2只腳，所以在他們身上每只都添上2只腳，這樣就還剩54-2×20=14只腳，由于兔子有4只腳，所以我們可以把剩下的14只腳以兩只一對(duì)的方法畫上去，如圖3，這樣我們就可以在圖上清楚的看出兔子有7只，雞有13只。

在整個(gè)講解雞兔同籠的過程中，學(xué)生不需要額外的運(yùn)用數(shù)學(xué)的知識(shí)，只要知道一些生活常識(shí)就可以解決這個(gè)問題了，主要就是歸功于圖形與數(shù)的相互轉(zhuǎn)換，這就是“數(shù)形互譯”帶來(lái)的優(yōu)勢(shì)。

總之，“數(shù)形結(jié)合”是我們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常用的解題方法，不論是小學(xué)階段還是以后的學(xué)習(xí)過程中，它都可以幫助我們正確地找到解題的突破口，順利解答問題。