摘? 要：高考數(shù)學試題對素養(yǎng)的考查有著不同的水平層次，以2020年全國高考數(shù)學試題為例，設置情境、直觀、想象三個關鍵維度，每個維度劃分為由低到高的三個層次，構(gòu)成直觀想象素養(yǎng)的不同水平層次. 素養(yǎng)水平層次的有效劃分，有助于在數(shù)學教學中對直觀想象能力進行系統(tǒng)而有步驟的培養(yǎng).

關鍵詞：高考試題;直觀想象;素養(yǎng)水平;教學情境

直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)和變化，利用空間形式特別是圖形理解和解決數(shù)學問題的素養(yǎng). 作為數(shù)學學科的六大核心素養(yǎng)之一，直觀想象在分析問題和解決問題中起著重要的作用. 根據(jù)《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》（以下簡稱《標準》）的說明，直觀想象素養(yǎng)在學業(yè)水平測試和高考中體現(xiàn)出不同的水平層次.

一、直觀想象素養(yǎng)的不同層次水平分析

結(jié)合《標準》和教學中的實際情況，筆者嘗試確定直觀想象素養(yǎng)中的三個關鍵詞：情境，直觀，想象.

第一個關鍵詞是“情境”（Situation）. 根據(jù)試題提供的問題背景，可能是數(shù)學情境、生活情境、科學情境等. 按其內(nèi)容的綜合程度與學生認知的接受程度，可以將其分為三個層次：熟悉的情境（S1），關聯(lián)的情境（S2），綜合的情境（S3）.

第二個關鍵詞是“直觀”（Visual），面對情境及提出的問題，直接接觸事物而獲得的感性認識，直觀側(cè)重于對圖形的認知. 根據(jù)試題給出的條件，在對圖形的獲取上可以分為三個層次：看圖（V1），構(gòu)圖（V2），變圖（V3）. 其中，“看圖”是指問題給出了所需要的圖形，解題者可以直接“看圖說話”;“構(gòu)圖”是需要根據(jù)條件從“數(shù)”中抽象出“形”，或根據(jù)事物的結(jié)構(gòu)特點構(gòu)造圖形來描述和表達問題;“變圖”則需要有策略地對條件進行轉(zhuǎn)化再構(gòu)造合適的圖形，或?qū)D形進行分解、組合、變換等創(chuàng)造性處理，以更好地反映事物的本質(zhì)與聯(lián)系.

第三個關鍵詞是想象（Imagine），想象是人在頭腦中對已儲存的表象進行加工改造形成新形象的心理過程，想象與思維有密切的聯(lián)系，按其思維的深度可以分為三個層次：描述（I1），分析（I2），探索（I3）. 其中，“描述”指能夠通過圖形直觀認識數(shù)學問題，能夠用圖形描述和表達熟悉的數(shù)學問題，直觀認識數(shù)學問題，體會圖形與圖形、圖形與數(shù)、圖形與實物之間的聯(lián)系;“分析”指能聯(lián)想圖形的性質(zhì)，挖掘條件和目標之間的聯(lián)系，能借助圖形發(fā)現(xiàn)問題、啟迪思路;“探索”指能借助圖形進行有深度、多角度、有創(chuàng)新地思考，能提出問題、研究問題，優(yōu)化問題結(jié)構(gòu)，探求事物的本質(zhì).

這三個關鍵詞構(gòu)成素養(yǎng)這一個整體的三個維度，可以用一個數(shù)組[Si，Vj，Ik]（[i，j，k∈1，2，3]）來表示某個水平，借助立方體可以體現(xiàn)直觀想象蘊含的豐富、立體的水平層次感，如圖1所示. 例如，[S1，V1，I1]就表示在學生熟悉的情境下，直接觀察已給的圖形，對問題進行簡單的描述.

二、高考試題中直觀想象素養(yǎng)的水平體現(xiàn)舉例

在高考試題中，體現(xiàn)直觀想象素養(yǎng)的主要有三個方面：一是數(shù)與形的轉(zhuǎn)化;二是形與形的轉(zhuǎn)換;三是物與形的聯(lián)結(jié). 下面以2020年高考數(shù)學全國卷（理科）試題為主，舉例考察直觀想象素養(yǎng)的水平層次.

1. 數(shù)與形的轉(zhuǎn)化

高中數(shù)學的重點研究對象之一是數(shù)與形及其關系，數(shù)與形是一個整體的兩個方面，相互依賴且不可分割. 例如，實數(shù)與點的對應，造就了函數(shù)與圖象、方程與曲線、不等式與平面區(qū)域、代數(shù)式與幾何量之間的相互聯(lián)系與轉(zhuǎn)化，各“數(shù)”有各“形”.

例1 （全國Ⅰ卷·理2）設集合[A=xx2-4≤0]，[B=x2x+a≤0]，且[A∩B=x-2≤x≤1]，則[a]的值為（??? ）.

（A）-4??? （B）-2??? （C）2??? （D）4

問題以學生熟悉的兩個數(shù)集的交集為背景，可以構(gòu)造數(shù)軸上的區(qū)間，用圖形描述集合的關系. 此題可以用（S1，V2，I1）表示水平，歸為水平一.

例2 （全國Ⅰ卷·理11）已知[⊙M：x2+y2-2x-][2y-2=0]，直線[l：2x+y+2=0]，[P]為[l]上的動點，過點[P]作[⊙M]的切線[PA，PB]，切點為[A，B]，當[PMAB]最小時，直線[AB]的方程為（??? ）.

（A）[2x-y-1=0]??????????????? （B）[2x+y-1=0]

（C）[2x-y+1=0]?????????????? （D）[2x+y+1=0]

該題已知直線與圓的方程，能根據(jù)方程畫曲線，進行簡單的幾何作圖，如圖2所示. 這是在熟悉的情境下通過作圖對問題進行簡單地描述，但是點[P]的運動可以引起幾何量[PMAB]的變化. 由于[PMAB=][2S四邊形APBM=4S△PBM=2PBBM=4PM2-4]，[PMAB]取到最小值時，點[P]的位置即為點[M]在直線[l]上的射影，再求相應位置時直線[AB]的方程，可以結(jié)合圖象及選擇支提供的信息，確定答案選D，如圖3所示.

這是一個涉及多知識點的數(shù)學關聯(lián)情境，需要動態(tài)的直觀，能對幾何量進行轉(zhuǎn)化，反映出圖形的本質(zhì). 這個分析過程可以用水平（S2，V3，I2）表示.

例3 （全國新高考Ⅰ卷21 / Ⅱ卷22）已知函數(shù)[fx=][aex-1-lnx+lna.]

（1）當[a=e]時，求曲線[y=fx]在點[1，f1]處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積.

（2）若[fx≥1]，求a的取值范圍.

該題是含參數(shù)的不等式恒成立問題，是一個較熟悉的數(shù)學情境. 處理函數(shù)問題的一般策略是有圖象不抽象.

角度1：借助技術直接畫出[fx]的圖象，設置參數(shù)[a]反映圖象的動態(tài)變化過程，如圖4和圖5所示，能直觀地獲得解題的思路和結(jié)果的猜想.

當[0<a<1]時，[f1=a+lna<1]，條件不滿足. 當[a≥1]時，由于[fx=aex-1-1x，x>0]，只需證明當[fx0=aex0-1-1x0=0]時，[fx0=aex0-1-lnx0+lna≥1]. 這是二元問題，可以采用減元法. 顯然[a=][1x0ex0-1≥1]，得到[0<x0ex0-1≤1]. 解得[0<x0≤1]. 則有[fx0=1x0-][x0-2lnx0+1≥f1=1].

角度2：若考慮到指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關系，將待證不等式進行變換，即[aex-1-lnx+lna≥1？][aex-1≥lnx-lna+1]. 構(gòu)造兩個函數(shù)[hx=aex-1]，[gx=][lnx-lna+1]，[a>0]，[x>0]，可以發(fā)現(xiàn)它們互為反函數(shù)，兩者的圖象都是單調(diào)上升且關于直線[y=x]對稱，結(jié)合圖6和圖7直覺判斷[lnx-lna+1≤x]恒成立，易求得[a≥1].

角度3：基于指數(shù)運算與對數(shù)運算的關系，可以將不等式兩邊化為同構(gòu)的函數(shù)，再利用函數(shù)單調(diào)性求解. 若[fx≥1]，則[elna+x-1-lnx+lna≥1]，即[elna+x-1+][lna+x-1≥elnx+lnx]. 設[gx=ex+x]，則[glna+x-1≥][glnx]. 考慮到[gx]是增函數(shù)，得[lna+x-1≥lnx]. 從對數(shù)曲線與直線的位置關系，可知[lna≥0]使不等式成立.

構(gòu)圖可以啟迪思路，但構(gòu)圖有難易，分析有繁簡，直覺更需理性. 直觀和想象都需要合理的選擇和變通，由此可知該題的解決水平可以用（S1，V3，I3）來表示，具有較高難度，屬于水平二.

2. 形與形的轉(zhuǎn)換

給定的圖形需要適當轉(zhuǎn)換才更能反映問題的本質(zhì). 例如，空間圖形及其三視圖、直觀圖、展開圖的轉(zhuǎn)換，圖形的整體與局部、高維與低維的轉(zhuǎn)換等.

例4 （全國新高考Ⅰ / Ⅱ卷·16）已知直四棱柱[ABCD-A1B1C1D1]的棱長均為2，[∠BAD=60°]. 以點[D1]為球心，[5]為半徑的球面與側(cè)面[BCC1B1]的交線長為???? .

問題研究的是直四棱柱側(cè)面與球的交線，是學生在立體幾何學習中所熟悉的情境，但對空間想象能力要求較高. 學生需要畫出符合條件的直四棱柱的直觀圖，再從這個圖中解構(gòu)出一個個基本圖. 例如，（1）根據(jù)平面[A1B1C1D1⊥BCC1B1]，作點[D1]在平面[BCC1B1]上的射影[F]，如圖8所示. 可得[D1F⊥]平面[BCC1B1];（2）平面[BCC1B1]與球相交的截面圓，如圖9所示，圓心為[F];（3）在平面[BCC1B1]上，側(cè)面[BCC1B1]與截面圓的交線[GH]，如圖10所示，通過計算得到其長為[22π]. 其水平層次可以用（S1，V3，I2）表示.

3. 物與形的聯(lián)結(jié)

借助空間形式認識事物的位置關系、形態(tài)變化與運動規(guī)律，是直觀想象的一個重要方面. 它融合了數(shù)學抽象和數(shù)學建模素養(yǎng)，在實際情境中最能體現(xiàn)對素養(yǎng)的考查.

例5 （全國Ⅰ卷·理5）某校一個課外學習小組為研究某作物種子的發(fā)芽率[y]和溫度[x]（單位：°C）的關系，在20個不同的溫度條件下進行種子發(fā)芽實驗，由實驗數(shù)據(jù)[xi，yi i=1，2，…，20]得到如圖11所示的散點圖.

由此散點圖，在10°C至40°C之間，下面四個回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率[y]和溫度[x]的回歸方程類型的是（??? ）.

（A）[y=a+bx]?????????????????? （B）[y=a+bx2]

（C）[y=a+bex]??????????????? （D）[y=a+blnx]

該題以學生課外學習小組研究種子發(fā)芽實驗為背景，涉及數(shù)據(jù)分析和各類函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于關聯(lián)情境. 要研究發(fā)芽率與溫度的關系，需要采集數(shù)據(jù)，并將數(shù)據(jù)畫成散點圖，直觀感知其形狀變化，再聯(lián)想到相應函數(shù)的變化規(guī)律，用函數(shù)來刻畫，即可以確定答案為選項D. 該題考查的本質(zhì)是對各種函數(shù)圖象形態(tài)的判斷，分析過程可以用水平（S2，V1，I1），總體屬于水平一.

例6 （全國新高考Ⅰ / Ⅱ卷·4）日晷是中國古代用來測定時間的儀器（如圖12），利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測定時

間. 把地球看成一個球（球心記為[O]），地球上一點[A]的緯度是指[OA]與地球赤道所在平面所成角，點[A]處的水平面是指過點[A]且與[OA]垂直的平面. 在點[A]處放置一個日晷，若晷面與赤道所在平面平行，點[A]處的緯度為北緯40°，則晷針與點[A]處的水平面所成角為（??? ）.

（A）20°?? （B）40°?? （C）50°?? （D）90°

日晷是中國古代最經(jīng)典和傳統(tǒng)的天文觀測儀器. 該題以地球與日晷的位置關系為研究對象，通過數(shù)學的抽象，歸結(jié)為球、平面、直線等數(shù)學對象的位置關系，在想象空間結(jié)構(gòu)（如圖13）的基礎上，以半徑[OA]和晷針[AB]所在平面作截面構(gòu)造平面圖形（如圖14）進行分析，從而將三維空間問題轉(zhuǎn)化為二維平面問題. 此題的情境較為復雜，但由于題目條件已經(jīng)對實際對象進行了數(shù)學抽象，所以解題的關鍵是需要學生具備一定的構(gòu)圖能力，并能借助空間角的平面角的定義進行轉(zhuǎn)化，其水平層次可表示為（S3，V2，I2），屬于水平二.

三、對教學的啟示

以全國Ⅰ卷理科試題為例，全卷可以借助直觀想象處理的問題分值占75%以上，內(nèi)容涉及數(shù)學的方方面面，考查水平集中在水平一和水平二. 對直觀想象素養(yǎng)不同水平層次的研究，有助于在教學中根據(jù)其水平層次對學生進行系統(tǒng)而有步驟的培養(yǎng). 在平時的教學中充分挖掘直觀想象素養(yǎng)的教學材料，并進行有效的組織實施，顯得尤為重要.

1. 重視數(shù)學概念的多元表示

一個數(shù)學概念，如集合、函數(shù)、向量等，往往都有三種語言的表示方式，即自然語言、符號語言和圖形語言. 熟練掌握數(shù)學概念中語言的互譯是發(fā)展直觀想象素養(yǎng)的基礎. 掌握語言的關鍵途徑是運用，因此需要在教學的各個環(huán)節(jié)鼓勵學生養(yǎng)成用數(shù)學的語言從多個角度對問題進行描述的習慣.

2. 重視對數(shù)學本質(zhì)的感悟

數(shù)學本質(zhì)就是精簡實用、平易近人，根源往往自然且富有直觀內(nèi)涵. 借助圖形可以得到直觀的感悟. 例如，全國Ⅲ卷理科第3題考查不同統(tǒng)計樣本中的標準差的大小比較，學生往往會用公式進行直接運算，而忽視了其背后的數(shù)學意義和實際意義. 如果借用圖形來表示，樣本的均值與樣本點的重心相關，樣本的標準差則體現(xiàn)了樣本點與重心的離散程度（距離的和），依據(jù)這一意義可以進行直觀判斷，這是素養(yǎng)水平更深一層的體現(xiàn).

3. 重視教學中問題情境的設置

數(shù)學是有用的，數(shù)學素養(yǎng)主要體現(xiàn)為在不同的情境中能熟練地使用數(shù)學知識. 為此，教學中有必要注重情境的設置，特別是通過關聯(lián)情境和綜合情境，鼓勵學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，能用圖表等直觀的工具認識問題，進而感悟數(shù)學知識的意義和價值.

4. 直觀想象與其他素養(yǎng)是一個整體

從分析問題的過程來看，直觀想象可以啟迪思維，但眼見不一定為實. 對問題的深入研究還需要數(shù)學運算、邏輯推理的持續(xù)跟進. 同時，要實現(xiàn)高質(zhì)量的直觀想象，也需要在分析問題的過程中，在策略性的指導下進行數(shù)學抽象、數(shù)學建模、數(shù)學運算，再選擇合適的構(gòu)圖. 要在教學中實現(xiàn)綜合素質(zhì)的整體提升，在課堂上要充分重視學生的主體地位，只有給學生機會，讓學生表現(xiàn)、交流，才有課堂的活力和學生能力素養(yǎng)的真正提升.

參考文獻：

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[3]凱·斯泰西，羅斯·特納. 數(shù)學素養(yǎng)的測評：走進PISA測試[M]. 曹一鳴，譯. 北京：教育科學出版社，2017.

收稿日期：2020-08-04

作者簡介：李柏青（1972— ），男，正高級教師，浙江省特級教師，主要從事中學數(shù)學教學研究.