王思思 何棋

摘? 要：以具體的心形曲線面積和位置問題為載體，類比用函數(shù)定積分求面積的方法，對極坐標曲線所圍成圖形的面積展開深度學習，利用GeoGebra軟件動態(tài)展示極坐標曲線圍成圖形的面積的分割、近似、求和、取極限的形成過程. 通過綜合分析與討論，學生推導出極坐標曲線所圍成圖形的面積;再通過極坐標系中的極值和切線問題確定心形圖形的大小和位置. 課后反思提出：設計適合的問題情境，促進深度學習落實數(shù)學學科核心素養(yǎng);融合信息技術，培養(yǎng)數(shù)學學科核心素養(yǎng);回歸積分基本思想是“順應”極坐標曲線圍成圖形的面積的求法的關鍵.

關鍵詞：核心素養(yǎng);深度學習;極坐標;面積與切線;信息技術

北京市海淀區(qū)2019年國際課程學術論壇暨第二屆中外合作辦學項目課程展示會在中國人民大學附屬中學召開，研討會關注的焦點是核心素養(yǎng)導向下的國際課程深度學習研究. 本文是展示課“極坐標曲線圍成圖形的面積與切線”教學反思. 展示課時長為1個小時，學生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、探索解決問題的工具和方法、應用工具和方法解決問題的過程，真實展示了學生在深度學習中發(fā)展數(shù)學學科核心素養(yǎng)的過程.

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》（以下簡稱《標準》）中提出了數(shù)學學科核心素養(yǎng)包括數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算與數(shù)據(jù)分析. 新一輪數(shù)學課程改革的核心任務是提升學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)，并要落實在教育教學的各個環(huán)節(jié). 數(shù)學學科核心素養(yǎng)的形成是以數(shù)學知識為載體、以數(shù)學活動為路徑而逐步實現(xiàn)的，情境化是數(shù)學知識轉(zhuǎn)化為數(shù)學素養(yǎng)的重要途徑. 教學過程中要“示以學生思維之道”：明確研究對象、研究目標，以及達到目標的思路概要，使學生學會思考，從而用數(shù)學的方式認識和解決問題. 本節(jié)課是AP美國國際課程微積分BC中的一節(jié)綜合實踐課，以“極坐標曲線圍成圖形的面積與切線”為例來談談如何基于問題情境培養(yǎng)學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng).

一、教學要素分析與設計

1. 教學內(nèi)容

本章的主要內(nèi)容是極坐標系下曲線和方程的相關問題，包括極坐標系與直角坐標系的轉(zhuǎn)換，極坐標系下的曲線方程及其導數(shù)與積分的計算與相關應用等. 本節(jié)課是導數(shù)、積分、三角函數(shù)等內(nèi)容的綜合應用，主要通過實際問題抽象出數(shù)學問題，類比于直角坐標系下微積分的基本思想——分割、近似、求和、取極限，推導出極坐標曲線所圍成圖形的面積，進一步體會微積分的思想方法. 同時，將極坐標系轉(zhuǎn)化為直角坐標系，利用導數(shù)求極值以及求曲線的切線來確定心形曲線的大小與位置，從而解決實際問題. 極坐標曲線圍成圖形的面積是用定積分解決幾何問題的一個重要應用，同時也為之后解決極坐標系下弧長與表面積等問題打下了堅實的基礎.

2. 教學目標

（1）能類比直角坐標系中函數(shù)圖象與[x]軸所圍成圖形面積的探究過程，即分割、近似、求和、取極限，推導出極坐標曲線圍成圖形的面積公式，進一步體會微積分思想. 能利用導數(shù)求極值和切線方程，確定心形曲線的大小與位置.

（2）體會數(shù)學建模的過程與方法，發(fā)展數(shù)學抽象、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學運算等數(shù)學學科核心素養(yǎng).

3. 學情分析

高二選修AP Calculus BC的學生具有很強的計算能力和邏輯推理能力，善于獨立思考，也善于溝通交流和討論. 內(nèi)容上，他們已經(jīng)能夠深刻理解導數(shù)的概念，熟練掌握求導的方法，并能夠應用導數(shù)求解相應的問題，也理解積分的概念，掌握積分的技巧，會利用定積分求曲線與[x]軸所圍成的面積. 因此，設計涉及導數(shù)、積分、三角函數(shù)等內(nèi)容的綜合實踐課. 希望學生能夠從具體的實際問題出發(fā)，確定問題涉及的變量及其關系，并且進行數(shù)學抽象，建立數(shù)學模型，利用微積分的原理和方法進行求解或證明，最終解決實際問題.

4. 教學重點和難點

教學重點：如何將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題;理解求極坐標曲線圍成圖形面積的思想方法及簡單應用;會求極坐標曲線的切線方程與極值問題.

教學難點：對極坐標曲線圍成圖形的分割和近似;對極坐標曲線的切線相關問題中三角方程的求解.

5. 教學情境及策略設計

本節(jié)課為導數(shù)、積分、三角函數(shù)等內(nèi)容的綜合實踐課. 引入實際問題情境，學生通過小組討論抽象出兩個核心數(shù)學問題：心形圖形的面積，心形圖形的位置和大小. 然后，通過微積分的思想方法，類比直角坐標系下微積分的基本思想——分割、近似、求和、取極限，推導出極坐標曲線所圍成圖形的面積，并通過數(shù)學軟件展現(xiàn)其動態(tài)過程，加強了學生對微積分思想的理解. 同時，將極坐標系轉(zhuǎn)化為直角坐標系，利用導數(shù)求極值和曲線的切線來確定心形曲線的大小與位置，從而解決實際問題，并反思優(yōu)化問題. 在整個教學過程中，學生通過小組合作討論的形式共同探索解決問題的方案，發(fā)展學生數(shù)學抽象、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學運算等數(shù)學學科核心素養(yǎng)，如圖1所示.

二、教學片斷

1. 問題導入及數(shù)學建模

我們已經(jīng)學習了幾類極坐標曲線，為了感謝老師對我們的諄諄教誨，宣傳部計劃制作感恩條幅，需要在[0.5×0.5 m]的正方形白紙板上畫100個紅色心形圖案. 已知：1管21毫升的英國溫莎牛頓染料大約能用[0.5 m2].

問題1：假設心形圖案豎直放置在矩形白紙上，而且盡可能大，問大約需要多少管染料？

問題2：在正方形中，能否找到更大的心形曲線？

2. 問題1的解決過程

學生通過小組討論將這個實際問題轉(zhuǎn)化成兩個核心的數(shù)學問題進行探究：心形圖形面積的計算;心形曲線位置和大小的確定.

在教學過程中，學生通過實際問題情境進行數(shù)學抽象，充分利用所學知識，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型解決問題. 以“情境”為主線來組織和調(diào)控起始課教學，能充分調(diào)動學生學習的主體性，培養(yǎng)學生的探究能力. 同時，小組成員合作評價，培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力. 此過程中，培養(yǎng)了學生用數(shù)學眼光觀察世界，發(fā)展了學生的數(shù)學抽象、直觀想象和數(shù)學建模等素養(yǎng).

（1）針對心形圖形面積的計算.

師：回顧一下，在直角坐標系中如何求曲線與[x]軸所圍成圖形的面積？

生1：對函數(shù)求定積分可得面積.

師：對心形曲線[rθ=1-sinθ]能不能這樣做呢？

生2：可以.

生3：不可以，因為原來的函數(shù)是在直角坐標系下，求面積是對自變量[x]求定積分，而現(xiàn)在是在極坐標系下，自變量是[θ]，意義不同，因此直接這樣求定積分應該是有問題的.

師：非常好！既然不能直接用，那我們能不能利用積分的基本思想方法來解決呢？用定積分求面積的基本思想方法是什么？

生4：通過分割（Partition）、近似（Approximate）、求和（Sum Up）、取極限（Find the limit）四個步驟求面積.

師：通過小組討論的方式，詳細分析如何進行分割、近似、求和、取極限.

生5類比直角坐標系得到如下步驟.

第一，分割極角（Directed Angle）.

第二，用扇形面積或者三角形面積近似，扇形面積[Si=12ri2Δθi]，三角形面積[Si=12ri2sinΔθi].

第三，求和[i=1nSi].

第四，取極限[limn→+∞i=1nSi=αβ12r2θdθ].

利用圖形計算器的軌跡功能，可以得到角度的范圍為[0，2π].

接下來，教師結合GeoGebra軟件動態(tài)展示形成過程，如圖2和圖3所示.

此時，選取[θ=270°]，[Sn′]表示以分割小角為扇形邊長近似，[Sn″]表示以分割中點為扇形邊長近似，[Sn？]表示以分割大角為扇形邊長近似. 圖中為[n=16]和[n=100]時三種近似與實際面積的對比情況.

教師通過類比對照直角坐標系和極坐標曲線圍成圖形面積的形成過程，在黑板上進行板書.

師：在[θ∈0，2π]時，心形曲線[rθ=1-sinθ]圍成圖形的面積是多少？

生6給出解答過程如下.

[02π121-sinθ2dθ? ]

[=1202π1-2sinθ+sin2θdθ???????????????? ]

[=1202π1-2sinθ+1-cos2θ2dθ]

[=1232θ+2cosθ-14sin2θ2π0]

[=1232 · 2π+2-2]

[=32π].

教師最終總結呈現(xiàn)定理內(nèi)容，強調(diào)被積函數(shù)的條件，以及角的范圍.

（2）針對心形曲線位置和大小的確定.

學生在最初討論中，考慮心形曲線豎直放置最大情況，就需要解決心形曲線是豎直相切還是水平相切. 那么，就轉(zhuǎn)化成先計算基本圖形[rθ=1-sinθ]的水平和豎直距離，至于心形圖形的大小再等比例縮放即可.

師：針對心形圖形[rθ=1-sinθ]，如何計算水平和豎直距離？滿足什么條件？

生7：首先，將極坐標轉(zhuǎn)化為直角坐標;然后，計算水平距離，即計算[x]軸方向的極值，通過[dxdθ=0]計算求解;計算豎直距離，即計算[y]軸方向的極值，通過[dydθ=0]計算求解.

生7的具體過程如下.

將其轉(zhuǎn)化為直角坐標[x=1-sinθcosθ，y=1-sinθsinθ.]

求[x]軸方向的極值，令[dxdθ=2sin2θ-sinθ-1=0]，

得[θ=11π6]（極值點），[θ=7π6]（極值點），或[θ=π2]（非極值點）.

所以[xmax=334].

則水平距離為[332]，近似值為2.598.

求[y]軸方向的極值，令[dydθ=cosθ1-2sinθ=0].

得[θ=π2]（非極值點），[θ=3π2]（極小值點），[θ=π6]（極大值點）或[θ=5π6]（極大值點）.

所以[ymin=-2，ymax=14].

所以豎直距離為2.25.

因此，正方形的邊長以水平距離為標準.

師：在[0.5×0.5 m2]的正方形內(nèi)，心形圖形是怎樣的？

生8：在[0.5×0.5 m2]的正方形內(nèi)，心形圖形曲線為[rθ=a1-sinθ]. 利用比例關系確定參數(shù)[a]，由[3321=][0.5a]，得 [a=39]. 因此在[0.5×0.5 m2]的正方形內(nèi)，心形圖形為[rθ=391-sinθ].

師：[0.5×0.5 m2]的正方形內(nèi)的心形圖形的面積是多少？需要多少管染料？

生9給出[0.5×0.5 m2]的正方形內(nèi)的心形圖形的面積：[02π12a1-sinθ2dθ=a202π121-sinθ2dθ=392 · 32π=][π18]（[m2]）. 因此，通過計算，需要約35管染料.

首先，在這部分的教學過程中，利用類比方法，通過分割、近似、求和、取極限的具體過程，學生推導出計算極坐標曲線所圍成圖形面積的過程，同時，教師在課堂上熟練巧妙地使用畫圖軟件展現(xiàn)其動態(tài)過程，學生可以進一步體會微積分的思想方法. 其次，學生通過邏輯推理與運算求解，利用導數(shù)求極值的方法，計算心形曲線的水平距離和豎直距離，從而確定心形圖形的大小與位置. 最后，通過運算解決實際問題. 這個過程培養(yǎng)了學生用數(shù)學的思維分析世界的能力，發(fā)展了他們的邏輯推理、數(shù)學運算等素養(yǎng).

3. 問題2的解決過程

師：在正方形中，能否找到更大的心形曲線？

生10：由于圖形的對稱性，可以傾斜放置心形，如圖4所示.

師：如何說明這個心形更大？

生11：針對正方形內(nèi)的心形圖形[rθ=1-sinθ]，只需要計算外接正方形的邊長. 與水平距離比較，如果更小，那么說明這個心形圖形更大. 由于對稱性，將正方形的邊長轉(zhuǎn)化成計算兩條斜率為1（或者-1）的平行切線之間的距離即可.

生11的具體求解過程如下.

因為曲線[r=1-sinθ]上的任意一點的直角坐標為[x=1-sinθcosθ，y=1-sinθsinθ，]

所以由參數(shù)方程的求導公式，得

[dydx=dydθdxdθ=-2sinθcosθ+cosθ-cos2θ-sinθ+sin2θ=1.]

整理，得

[sin2θ-cos2θ+2sinθcosθ-cosθ-sinθ=0，sin2θ+cos2θ=1.]

相加，得2[cos2θ+cosθ-1=2cosθ-1sinθ]，

即[2cosθ-1cosθ-sinθ+1=0].

解得[cosθ=12]，或[sinθ-cosθ=2sinθ-π4=1.]

解得[sinθ=32，cosθ=12] 或[sinθ=-32，cosθ=12] 或[sinθ=0，cosθ=-1] 或[sinθ=1，cosθ=0.]

檢驗：將[sinθ=1，cosθ=0] 代回[dydx]，分子分母為0，舍去.

根據(jù)點的坐標，得到切線的方程為[l1：y=x-][121+32-321+32]，即[y=x-54-334]，和[l2：y=][x+1].

則平行直線的距離為[-334-942=323+38≈2.510].

因為切線的斜率是1，所以將心形曲線的對稱軸與正方形對角線重合放置心形曲線更大.

通過引導學生參與改變心形圖形的位置的探索活動，逐步使他們認識到心形曲線應該與正方形相切，從而將最大曲線位置轉(zhuǎn)化為求曲線平行切線的距離的最大值問題. 然后通過極坐標轉(zhuǎn)化為直角坐標，通過推導dy/dx來計算切線斜率，從而求出切線，得到較大的正方形邊長，體現(xiàn)了對導數(shù)概念的理解和應用，培養(yǎng)了學生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學運算等數(shù)學學科核心素養(yǎng).

三、教學反思

1. 設計適合的問題情境，促進深度學習，落實數(shù)學學科核心素養(yǎng)

相對于淺層機械學習，深度學習是一種基于理解的學習，它有三個特點：深度學習是有意義的學習，它不是單純的接受，而是在發(fā)現(xiàn)基礎上的同化;深度學習是基于深度理解的學習，它強調(diào)深度體驗、深度思考、深度探究、深度整合，發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，達成對學科本質(zhì)和知識意義的深度理解;深度學習是批判與質(zhì)疑的高階思維學習，它強調(diào)了學習階梯性和思維進階性，強調(diào)了知識的普遍聯(lián)系與綜合應用. 本節(jié)綜合實踐課，從一個實際問題出發(fā)，循序漸進地引導學生開展深度學習，不僅是對導數(shù)、積分、三角函數(shù)的綜合復習與應用，也是學生在解決問題的過程中深度體驗實際問題數(shù)學化的過程，深度思考解決核心數(shù)學問題的方法，深度探究更優(yōu)方案，突出培養(yǎng)了學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng).

培養(yǎng)學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)要從選擇“好問題”開始，在經(jīng)歷“感知感悟—知識建構”的過程中，注重過程思維，理解數(shù)學本質(zhì)，尋找可行方法，從而解決實際問題. 通過數(shù)學抽象，學生將這個實際問題的情境轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型來解決，這也是培養(yǎng)學生深度體驗與深度思考的過程. 以“情境”為主線來創(chuàng)設合理的教學情境，可以充分調(diào)動學生學習的主體性，鼓勵學生去思考探究，激發(fā)學生提出核心問題. 本節(jié)課將紅心染料的實際問題，通過豎直放置的假設后，轉(zhuǎn)化為求心形圖形的面積、心形圖形的大小與位置兩個核心問題. 顯然這兩個問題也并不簡單，于是再將核心問題轉(zhuǎn)化為具體可解的子問題，形成具有邏輯關系的問題鏈，有利于學生深度思考和深度探究. 在思考與提出問題的過程中，學生可以通過小組成員之間的合作、討論、評價，真實地展現(xiàn)他們的數(shù)學思維過程，促進了學生用數(shù)學眼光觀察世界，落實了對數(shù)學抽象、直觀想象和數(shù)學建模等素養(yǎng)的培養(yǎng).

在解決心形圖形面積、極值問題、優(yōu)化后切線問題的過程中，融入了深度學習的設計思想，在落實數(shù)學學科核心素養(yǎng)的同時，更讓學生擁有了深刻的思維品質(zhì)和持久的學習力，并在深度學習的過程中培養(yǎng)了學生批判與質(zhì)疑的高階思維能力. 具體地說，心形圖形面積的計算是本節(jié)課的一個重點和難點，這個過程也是培養(yǎng)學生深度思考和深入探究的學習過程. 課堂上采用從特殊到一般的數(shù)學方法，先分析特殊情況下的心形圖形[rθ=1-sinθ]的面積求解. 于是，類比直角坐標系下微積分的基本思想——分割、近似、求和、取極限，思考極坐標曲線所圍成圖形的面積計算. 針對有思維深度的新問題，通過蘇格拉底提問的方式，引導學生進一步體會微積分的思想方法，并大膽嘗試猜想極坐標系中如何進行分割、近似、求和、取極限的過程，并最終得出極坐標曲線圍成圖形的面積計算方法. 在積極探索、反思、總結、創(chuàng)造的過程中，學生把握了知識間的聯(lián)系和解決問題的思想方法，并通過知識遷移應用到新的問題之中，這體現(xiàn)了深度學習所強調(diào)的學習階梯性與思維進階性. 此外，針對心形圖形的大小與位置問題，學生則將其轉(zhuǎn)化為導數(shù)求極值的問題. 極坐標切線方程的計算也是本節(jié)課的一個重點，要求學生對導數(shù)的本質(zhì)與幾何意義有十分深刻的認識，這也是深度學習中要注重的綜合應用. 另外，類比直角坐標系中的定積分問題，學生在課后可以探究極坐標系下弧長和表面積的計算問題，為學有余力的學生打開深度學習的大門，促進他們實踐能力和創(chuàng)新意識的發(fā)展，從而更好地感悟數(shù)學的科學價值與應用價值，并培養(yǎng)學生自主參與到深度探究中，完成對數(shù)學本質(zhì)和知識意義的深度理解.

2. 融合信息技術，培養(yǎng)數(shù)學學科核心素養(yǎng)

《標準》指出，要充分考慮信息技術對數(shù)學學習內(nèi)容和方式的影響，把現(xiàn)代信息技術作為學生學習數(shù)學和解決數(shù)學問題的強有力工具. 在數(shù)學課堂上，適當使用軟件輔助數(shù)學教學，可以將無形化有形，直觀形象地展現(xiàn)知識形成的過程，增強學生對知識本質(zhì)的理解. 本節(jié)課中，利用微積分思想，類比直角坐標系中曲線與[x]軸圍成圖形的面積的計算過程，推導極坐標曲線圍成圖形面積的計算公式. 為了論證學生的猜想，教師在課堂上使用GeoGebra軟件進行有限段的分割、近似、求和，通過計算功能與動畫演示，學生可以具體、直觀地體驗圖形無限逼近真實圖形的動態(tài)過程，在面積數(shù)值上也可以觀察到逼近極限的過程. 此外，對于三種近似方法也可以縱向?qū)Ρ?，隨著分割數(shù)目的增加，最終都會趨近于統(tǒng)一的極限值. 總之，信息技術軟件不僅可以幫助學生將抽象的數(shù)學概念與數(shù)學方法直觀化，檢驗他們的邏輯推理與數(shù)學運算，也可以培養(yǎng)學生的直觀想象和數(shù)學抽象素養(yǎng)，激發(fā)學生自主探究、合作學習的熱情.

3. 回歸積分基本思想是“順應”極坐標曲線圍成圖形面積的求法的關鍵，更是體現(xiàn)數(shù)學學科核心素養(yǎng)的載體

在求極坐標系中心形面積的過程中，學生課上很快提出像直角坐標系一樣，直接求定積分就可以求面積，試圖用函數(shù)求定積分求面積的方法來“同化”求極坐標曲線圍成圖形的面積. 在教師的啟發(fā)引導下，通過回顧直角坐標系中曲線與[x]軸圍成圖形面積的求解過程，學生將分割、近似、求和、取極限平行到極坐標系中的具體過程，將極坐標曲線當作一般的直角坐標函數(shù)求定積分，通過數(shù)學軟件畫圖驗證了直接求定積分求得的面積與心形面積不一致，學生認識到存在的錯誤. 表明原來通過函數(shù)求定積分求面積不能“同化”極坐標曲線圍成圖形的面積的求法，需要尋求新的方法來“順應”極坐標曲線圍成圖形的面積的求法. 但是這兩者都是求面積，既然不能直接遷移，那就回歸到積分基本思想來分析和判斷，最終得出新的方法. 這樣的不斷猜想與驗證、改進和論證，往往是培養(yǎng)學生數(shù)學思維的關鍵，不僅使學生對微積分思想有更加深刻的理解，還培養(yǎng)了學生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學運算等素養(yǎng). 此外，小組討論探究的過程，激發(fā)了學生對數(shù)學學習的濃厚興趣，培養(yǎng)了學生敢于探究、勇于實踐、善于合作的科研熱情.

總之，在數(shù)學深度學習活動中，要將知識作為教學的載體，借助問題的轉(zhuǎn)化，數(shù)學問題的發(fā)生、發(fā)現(xiàn)等過程，有目的、有步驟地引導學生體驗和感悟知識中蘊涵的數(shù)學思想和研究方法，引導學生思考、理解和應用，從而培養(yǎng)學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)，提高學生解決實際問題的能力. 教師應該更加關注如何引導學生在深度學習中提出問題和發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題，教師要促進學生學會學習，這是數(shù)學學科核心素養(yǎng)形成的有效途徑. 此外，教學過程中創(chuàng)設合適的情境，有利于激發(fā)學生的學習興趣，并學會用數(shù)學眼光觀察、分析世界，感悟數(shù)學的魅力，發(fā)現(xiàn)數(shù)學之美.

參考文獻：

[1]核心素養(yǎng)研究課題組. 中國學生發(fā)展核心素養(yǎng)[J]. 中國教育學刊，2016（10）：1-3.

[2]中華人民共和國教育部制定. 普通高中數(shù)學 課程標準（2017年版）[M]. 北京：人民教育出社，2018.

[3]章建躍. 核心素養(yǎng)統(tǒng)領下的數(shù)學教育變革[J]. 數(shù)學通報，2017，56（4）：1-4.

[4]張金良. 構建深度學習課堂促進數(shù)學核心素養(yǎng)的養(yǎng)成[J]. 中學教研（數(shù)學），2019（11）：1-5.

收稿日期：2020-07-14

作者簡介：王思思（1989— ），女，中學一級教師，海淀區(qū)骨干教師，主要從事高中國際數(shù)學課程教育和比較研究. 何棋系本文通訊作者.