摘? 要：在梳理概念結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的形成、發(fā)展、更新的基本特征的基礎(chǔ)上，進行針對性教學設(shè)計，以幫助學生形成概念結(jié)構(gòu)，培育數(shù)學抽象素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：余弦定理;正弦定理;概念結(jié)構(gòu);數(shù)學抽象

一、背景

數(shù)學抽象是數(shù)學最基本的思維方式，通常要經(jīng)歷感知與識別、分類與概括、想象與建構(gòu)、定義與表征、系統(tǒng)化與結(jié)構(gòu)化五個階段. 其中，數(shù)學抽象的前兩步分別是感知與識別、分類與概括. 第一階段是感性抽象或經(jīng)驗性抽象;第二階段是理性抽象或反思性抽象. 相應(yīng)地，數(shù)學教學應(yīng)該在明確研究對象的基礎(chǔ)上，強化學生的觀察、直觀感知（包括動手操作和思維實驗），強化學生對抽象對象相似性的識別，讓學生更深入、更充分地感知抽象對象，熟悉它們的形象，感受它們的內(nèi)涵與本質(zhì)，夯實抽象的基礎(chǔ). 也就是說，從具體事例的相似性識別開始應(yīng)當是數(shù)學抽象教學的一條基本原則;由真實事物出發(fā)，給學生的思維插上想象的翅膀，幫助他們清楚新、舊抽象概念之間的邏輯相關(guān)性，是數(shù)學抽象的基本做法.

如前所述，數(shù)學抽象是具有階段性和層次性的，同時，各階段、層次之間具備一定的相似性. 這與概念的形成與發(fā)展具有類似的特征. 語言學中形成概念的方式主要是“共時性”抽象概括和“歷時性”抽象概括. 其中，“共時性”抽象概括是指在一定階段里，在事物的特征沒有明顯變化的情況下，以抽取該事物不同時空表現(xiàn)形式的感性形象中的共有屬性來加以概括以形成概念的方式.“歷時性”抽象概括是把握事物演變歷史以形成概念的方式. 一個事物的變化總是在一定時空里的連續(xù)變化，而且表現(xiàn)出階段性，反映到人腦里則是變化著的并具有階段性的感性形象的序列. 隨著時間的推移，該事物一些舊的特征逐漸消失，并被一些新的特征所代替，那么消失了的特征也在概念形象里隱退，它只保留在先行階段的概括里;而新的特征逐漸成為新一階段的共有特征，并上升到概念形象中來，逐漸形成新一階段的概念形象，建構(gòu)出新一階段的概念. 這樣，就在漸變的沿革中，實現(xiàn)了概念形象的更替和概念金字塔體系的與時推移，其結(jié)果是一個階梯式的概念結(jié)構(gòu)系統(tǒng).

我們嘗試在日常的概念教學中主動關(guān)注并梳理如上所述的概念結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，并據(jù)此進行更具有針對性的微觀教學設(shè)計. 一方面，梳理的過程能促使教師更好地把握教學體系的脈絡(luò)，并依據(jù)不同階段的概念（及其相似性）進行針對性的概念教學設(shè)計;另一方面，結(jié)合具體問題，可以提供較為有力的抓手，以展現(xiàn)或識別不同階段的數(shù)學抽象素養(yǎng)水平.

針對解三角形問題，在不同階段可以運用不同的概念來解決. 新階段概念的形成、發(fā)展與更新意味著概念結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的發(fā)展與更新. 同時，相應(yīng)的數(shù)學抽象素養(yǎng)也得到更高層次的表現(xiàn)，從而形成如圖1所示的概念結(jié)構(gòu)系統(tǒng).

二、正弦定理、余弦定理中的“歷時性”和“共時性”

圖1較清晰地展現(xiàn)了“解三角形”概念結(jié)構(gòu)系統(tǒng)發(fā)展過程中的“共時性”與“歷時性”. 其中，正弦定理和余弦定理作為重要的節(jié)點，對該概念結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的發(fā)展與更新具有承上啟下的作用. 我們試圖通過研究正弦定理和余弦定理這一關(guān)鍵節(jié)點中蘊含的“共時性”和“歷時性”來闡釋概念結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的形成、發(fā)展和更新，即從較為微觀的層面來說明概念結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的基本特征.

1. 余弦定理中的“共時性”

余弦定理的論證可運用如圖2所示的概念結(jié)構(gòu)系統(tǒng)表達. 事實上，“共時性”類似我們所熟悉的一題多解形式. 同時，我們也應(yīng)該關(guān)注“多解”之間的聯(lián)系.

其中，解析法的關(guān)鍵在于將三角形的一個頂點放在原點，如圖3所示，可得[CbcosA，bsinA]，[Bc，0].借助距離公式可得[a2=bcosA-c2+bsinA2]，化簡后得到余弦定理.

2. 余弦定理中的“歷時性”

余弦定理的達成過程（即圖1中的概念結(jié)構(gòu)系統(tǒng)階段1）是充分考慮到學生已經(jīng)掌握的直角三角形中的邊角關(guān)系（概念與概念之間的相似性），進而完成斜三角形中的邊角關(guān)系，即[a，b，c]與[cosA]，[cosB]，[cosC]之間的等量關(guān)系，如圖4所示，下文簡稱為“階段1”.

通過運用向量數(shù)量積的運算規(guī)律，上述概念結(jié)構(gòu)系統(tǒng)還可以繼續(xù)發(fā)展，即圖1中的概念結(jié)構(gòu)系統(tǒng)階段2，如圖5所示，以下簡稱為“階段2”.

3. 余弦定理與正弦定理中的“共時性”

事實上，正弦定理的論證可以依據(jù)余弦定理概念結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中的階段1和階段2來解決，反之亦然，如圖6所示.

三、概念結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的重要作用

下面舉例說明概念結(jié)構(gòu)系統(tǒng)對微觀教學設(shè)計及培育和識別數(shù)學抽象素養(yǎng)水平的重要作用.

例? 已知[△ABC]的三個頂點的坐標為[A2，1]，[B4，1]，[C3，2]，解這個三角形.

1. 有利于進行針對性的微觀教學設(shè)計

事實上，教師在進行微觀教學設(shè)計之前，都會對知識體系脈絡(luò)進行梳理，如文獻[4]. 而關(guān)注概念結(jié)構(gòu)系統(tǒng)能夠為我們提供一個新的視角來嘗試理清微觀設(shè)計中的核心問題（或核心工具），并且依據(jù)概念的相似性幫助教師在應(yīng)對“新概念”教學的切入點時找到相對有效的路徑，并據(jù)此進行相關(guān)問題的設(shè)計. 例如，在學生閱讀完教材上關(guān)于向量數(shù)量積的內(nèi)容后，上述例題可以作為引例提出. 在學生提出運用向量數(shù)量積的概念后，教師可以順勢引導學生回答向量數(shù)量積這一核心概念中的基本問題，如為什么要引入“投影”？為什么要特別關(guān)注向量數(shù)量積中的分配律這一運算規(guī)律？這樣，就有一個有利的抓手幫助教師形成更有針對性并且更有張力的課堂. 當然，教學過程中，面對數(shù)學抽象素養(yǎng)水平較高的學生，不妨推薦他們閱讀文獻[5].

2. 有利于識別數(shù)學抽象素養(yǎng)

事實上，在學習向量的數(shù)量積之前，學生會采用余弦定理、點到直線的距離來解答上述例題. 學生解題的過程，就是在“歷時性”和“共時性”兩個方面展現(xiàn)自己的概念結(jié)構(gòu)系統(tǒng). 在引導學生運用向量更新概念結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的過程中，應(yīng)該專注于向量法與余弦定理，以及解析法的聯(lián)系與區(qū)別（概念的相似性）. 這樣，能夠讓學生體會到向量法是一種更為高級（抽象）的解法. 而作為教師，亦能通過該問題了解學生的數(shù)學抽象素養(yǎng)發(fā)展階段，并適時地引導學生完善他們的概念結(jié)構(gòu)系統(tǒng).

3. 有利于形成教學（學習）網(wǎng)絡(luò)

一方面，通過對概念結(jié)構(gòu)的把握，幫助學生自省自身的概念結(jié)構(gòu)來解決問題，同時引導學生利用新的工具去更新概念結(jié)構(gòu)解決問題;另一方面，依據(jù)學生特定的概念結(jié)構(gòu)，教師可以把握好引導（或探究）的度，課堂也會更加具有彈性.

4. 有利于進行針對性命題

從命題的角度來說，依據(jù)概念結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的“歷時性”“共時性”，我們可以進行更有針對性的命題工作. 同時，通過針對性的命題，區(qū)分學生的概念結(jié)構(gòu)系統(tǒng)或數(shù)學抽象素養(yǎng)水平.

四、小結(jié)

1. 關(guān)注工具對概念結(jié)構(gòu)（系統(tǒng)）發(fā)展、更新的重要影響

通過上文的論述，概念結(jié)構(gòu)的發(fā)展和更新在于不同階段運用恰當?shù)母拍睿üぞ撸?，如“分類”以及直角三角形的基本結(jié)論、單位圓、向量等. 在更新概念結(jié)構(gòu)的教學過程中，教師應(yīng)該積極思考如何在概念相似性的基礎(chǔ)上運用新工具、（思維）方法有效幫助學生更新原有的概念結(jié)構(gòu)系統(tǒng).

2. 關(guān)注概念結(jié)構(gòu)形成、發(fā)展和更新的過程

事實上，從解決問題的角度來看，概念結(jié)構(gòu)并無優(yōu)劣之分. 選擇任何階段的概念結(jié)構(gòu)系統(tǒng)來解決問題都是值得肯定的. 但是我們應(yīng)該關(guān)注同一問題下的概念結(jié)構(gòu)系統(tǒng)是否存在優(yōu)化（或遷移）的可能. 例如，在處理余弦定理時，相對于階段1來說，階段2在論述上更為簡潔;處理余弦定理的兩個階段同時也能適用于正弦定理等. 事實上，在關(guān)注概念結(jié)構(gòu)系統(tǒng)更新的同時，在一定程度上，就是在關(guān)注數(shù)學抽象素養(yǎng)水平的發(fā)展.

參考文獻：

[1]李昌官. 數(shù)學抽象及其教學[J]. 數(shù)學教育學報，2017，26（4）：61-64.

[2]鄭正亞. 數(shù)學抽象概念教學隨筆[J]. 數(shù)學教育學報，1999，8（1）：75-78.

[3]王春華. 概念的結(jié)構(gòu)[J]. 學術(shù)論壇，2006（1）：35-38.

[4]曾榮. 遷移經(jīng)驗，提高“四能”：“正弦定理”（第一課時）教學設(shè)計與思考[J]. 教育研究與評論，2019（4）：49-52.

[5]張曜光. 對平面向量數(shù)量積發(fā)生發(fā)展之思考[J]. 數(shù)學通報，2017，56（5）：15-17.

[6]袁震東等. 上海市高級中學數(shù)學教學參考資料[M]. 上海：上海教育出版社，2017.

收稿日期：2020-07-07

作者簡介：袁液（1985— ），男，中學二級教師，主要從事高中數(shù)學概念教學研究.