宋東娟

摘 要：2018年12月29日梁豐高中三個(gè)數(shù)學(xué)名師工作室開展了工作室成立以后的第一次活動(dòng)--同課異構(gòu)《兩角和與差的余弦》，筆者作為顧云良名師工作室成員代表開設(shè)了這一課，這節(jié)內(nèi)容是教材必修4的第三章《三角恒等變換》第一節(jié)，作為三角函數(shù)線，誘導(dǎo)公式的延伸內(nèi)容，它是高考的重點(diǎn)考點(diǎn)，歷年高考必考內(nèi)容，為后繼內(nèi)容---二倍角公式、和差化積、積化和差等的內(nèi)容的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)！

關(guān)鍵詞：學(xué)習(xí)障礙;思維導(dǎo)引;潛能;價(jià)值

在準(zhǔn)備這節(jié)課之前，我們名師工作室全體成員一起對(duì)這一節(jié)課進(jìn)行了深入探討，探討主要圍繞著（1）學(xué)生在“兩角和差的三角公式”這一主題的學(xué)習(xí)中有哪些學(xué)習(xí)障礙？（2）如何教授“兩角差的余弦公式”這節(jié)課的？如何突破以上提到的學(xué)習(xí)障礙？這兩個(gè)問題展開。經(jīng)過一番查閱資料，決定從多維角度思維導(dǎo)引，來突破其中的某些障礙！

1.教學(xué)設(shè)計(jì)

1.1復(fù)習(xí)導(dǎo)引，培養(yǎng)學(xué)生思維能力的延續(xù)性

1.2 問題導(dǎo)引，培養(yǎng)學(xué)生思維能力的聚焦性

問1.你能分別求出45°，30°，405°，15°的正余弦值嗎？

設(shè)計(jì)意圖：筆者考慮再三，還是選擇了這個(gè)直截了當(dāng)?shù)姆绞角腥?，拋出一個(gè)與舊知密切相關(guān)的新知，激發(fā)起學(xué)生的求知欲，經(jīng)過與前兩個(gè)特殊角的聯(lián)系對(duì)比，學(xué)生很自然就聯(lián)想到15°=45°-30°，于是要求15°的正余弦值是否可以轉(zhuǎn)化為特殊角45°和30°的正余弦值（以研究余弦為例）？激發(fā)學(xué)生從舊知識(shí)邁向新知識(shí)的探索過程中！

問2.余弦作為一種運(yùn)算，它是否和前面我們學(xué)習(xí)過的乘法分配律a（b-c）=ac-bc一樣，滿足呢？

設(shè)計(jì)意圖：對(duì)于這個(gè)新公式，學(xué)生顯然沒有辦法直接給出證明，但是對(duì)于猜想，檢驗(yàn)這兩個(gè)科學(xué)研究的重要手段老師一定要在授課過程中加以灌輸，于是鼓勵(lì)學(xué)生大膽類比猜想，有了猜想，學(xué)生們自然會(huì)想到用特殊值加以檢驗(yàn)，只需利用即可得兩角差的余弦不滿足分配律，既消除了學(xué)生對(duì)于公式的誤解，又可以激發(fā)學(xué)生對(duì)于新公式的渴求予和探索欲！

問3.你能在平面直角坐標(biāo)系中表示15°=45°-30°這三個(gè)角的關(guān)系嗎？

設(shè)計(jì)意圖：在一開始的教學(xué)設(shè)計(jì)中，并未設(shè)置這一問題，但是試上下來的感覺是，雖然有前面復(fù)習(xí)導(dǎo)引的鋪墊，但是學(xué)生還沉浸在對(duì)于新公式的迷茫中，要立刻聯(lián)想到向量法來證明還是強(qiáng)人所難，于是增加這一環(huán)節(jié)，適時(shí)點(diǎn)撥，降低難度。

問4.回顧前面所學(xué)的任意角的三角函數(shù)的定義，利用終邊如何求出45°和30°的正余弦值？

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生聯(lián)想舊知，順利與終邊上的點(diǎn)產(chǎn)生聯(lián)系，將其特殊化，進(jìn)一步得到終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)即為和，于是聯(lián)系前面的復(fù)習(xí)導(dǎo)引，學(xué)生自然會(huì)過度到用向量的辦法來解決這一問題，得出結(jié)論：

問5由你能推廣到對(duì)任意的兩個(gè)角都成立嗎？

師：如何利用單位圓和向量的數(shù)量積證明？

1.3 文化導(dǎo)引，感受數(shù)學(xué)史的文化力量！

師：前面我們運(yùn)用近代的數(shù)學(xué)元素-向量，助推了任意兩角差的余弦公式，在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史長(zhǎng)河中，差角公式推導(dǎo)、論證的素材也是豐富多彩的，下面讓我們一起來欣賞期中的一例！

素材賞析：在古代信息技術(shù)知識(shí)尚未如此發(fā)達(dá)的日子里，航海家和天文學(xué)家為了不斷完善自己領(lǐng)域的相關(guān)理論，對(duì)三角形進(jìn)行了充分的挖掘，形成了三角學(xué)這一數(shù)學(xué)領(lǐng)域。其中較為流行的是古希臘數(shù)學(xué)家托勒密和帕普斯，他們用幾何方法從平面幾何圖形的角度來研究三角運(yùn)算及幾何學(xué)。托勒密為了預(yù)測(cè)行星的位置，要制作一張精確度較高的弦表，在研究的過程中，他發(fā)現(xiàn)了偉大的托勒密定理：已知：圓內(nèi)接四邊形ABCD，AC·BD=AB·CD+AD·BC.

源于托勒密定理證明兩角差的余弦：

師：由圖1可以推導(dǎo)出兩角差的余弦，若∠ABC=α，∠CBD=β，則可以得出什么公式？

師：這種證明方式數(shù)學(xué)家們稱其為無字證明，當(dāng)然無字證明還有其它的方式，比如圖2，無字證明采用的是幾何法，優(yōu)點(diǎn)是形象直觀，但缺點(diǎn)是具有局限性，只適合于銳角的范圍，所以推導(dǎo)差角公式的腳步從沒有停止過，直到出現(xiàn)了同時(shí)具有代數(shù)性質(zhì)和幾何特征的向量這一工具，才完美的論證了差角公式！

2.教學(xué)感悟

2.1復(fù)習(xí)導(dǎo)引，培養(yǎng)學(xué)生思維能力的聚焦性

復(fù)習(xí)導(dǎo)入，顧名思義，就是通過提問、課堂小練習(xí)、復(fù)述等方式復(fù)習(xí)前一課，前一章節(jié)所學(xué)內(nèi)容，來導(dǎo)入新課。復(fù)習(xí)是架起新舊知識(shí)的橋梁。課堂教學(xué)藝術(shù)是一個(gè)整體，采用復(fù)習(xí)導(dǎo)入，具有承上啟下、溫故知新的作用，以達(dá)到教學(xué)預(yù)期效果！

2.2問題導(dǎo)引，培養(yǎng)學(xué)生思維能力的延續(xù)性

教師要善于創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境，結(jié)合設(shè)置好的情境設(shè)計(jì)一些有一定思維價(jià)值，能夠抓住學(xué)生眼球，激起他們濃烈興趣并愿意主動(dòng)加入探索研究的問題，有效刺激學(xué)生的好奇心和求知欲。設(shè)計(jì)時(shí)要注意過度的自然性，培養(yǎng)學(xué)生思維能力延續(xù)性。

2.3文化導(dǎo)引，培養(yǎng)學(xué)生思維能力的拓展性

本節(jié)課設(shè)計(jì)的文化導(dǎo)引中，筆者從大家耳熟能詳?shù)臄?shù)學(xué)家托勒密引入，簡(jiǎn)單介紹了他的事跡和偉大貢獻(xiàn)，他和怕普斯用幾何方法從平面幾何圖形的角度來研究三角運(yùn)算及幾何學(xué)。托勒密為了預(yù)測(cè)行星的位置，要制作一張精確度較高的弦表，在研究的過程中，他發(fā)現(xiàn)了偉大的托勒密定理：即圓內(nèi)接四邊形中，對(duì)角線的乘積等于它兩組對(duì)邊的乘積之和，此定理的發(fā)現(xiàn)，不僅讓他完成了弦表的制作，還得到了諸多三角恒等式，其中就包括兩角和與差的余弦公式。通過這樣的設(shè)計(jì)，讓學(xué)生體會(huì)古代數(shù)學(xué)家們追求真理的探究精神，進(jìn)一步感受數(shù)學(xué)文化的深厚底蘊(yùn)，以期達(dá)到調(diào)動(dòng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)造能力！

參考文獻(xiàn)

[1]李玉強(qiáng).重視教學(xué)細(xì)節(jié)[J].當(dāng)代教育科學(xué)，2007（z2）：123-124.

[2]佚名.如何幫助孩子突破學(xué)習(xí)障礙[M].2011.