韋崇裕

摘 要：對高中數(shù)學(xué)開展深度學(xué)習(xí)的最基本價(jià)值體現(xiàn)在引導(dǎo)學(xué)生走出淺層學(xué)習(xí)，促使學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中更多關(guān)注思維向廣度和深度的延伸，而不僅是對數(shù)學(xué)知識的記憶和運(yùn)用。高中數(shù)學(xué)的深度學(xué)習(xí)是促使學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)進(jìn)行理解，不斷獲得數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)。深度學(xué)習(xí)的開展要巧妙運(yùn)用情境引入，進(jìn)行深度分析、設(shè)計(jì)、實(shí)踐和評價(jià)，同時(shí)還要注重批判教學(xué)，激發(fā)學(xué)生探究性學(xué)習(xí)的動(dòng)力，在教學(xué)過程中促使學(xué)生向深度學(xué)習(xí)方向不斷發(fā)展。

關(guān)鍵詞：深度學(xué)習(xí);高中數(shù)學(xué);教學(xué)設(shè)計(jì)

在當(dāng)前高中數(shù)學(xué)的教學(xué)研究中深度學(xué)習(xí)已經(jīng)成為一個(gè)極其熱門的詞語，對于如何實(shí)現(xiàn)高中數(shù)學(xué)教學(xué)的深度學(xué)習(xí)這一問題，許多一線教師做出很多研究并提出各自的觀點(diǎn)。通過對這些觀點(diǎn)進(jìn)行梳理發(fā)現(xiàn)，許多一線教師們對于深度學(xué)習(xí)的研究呈現(xiàn)碎片化，對于深度研究的體現(xiàn)不明顯，有的僅是提升研究的難度，通過對學(xué)生在進(jìn)行知識學(xué)習(xí)或者對習(xí)題進(jìn)行講解時(shí)的困難程度定義為學(xué)生的學(xué)習(xí)是有深度的。可見這對于深度學(xué)習(xí)的理解存在一定的誤區(qū)。當(dāng)數(shù)學(xué)教師對于深度學(xué)習(xí)構(gòu)建一個(gè)整體認(rèn)知時(shí)，才能在實(shí)際的教學(xué)過程中將高中數(shù)學(xué)的深度學(xué)習(xí)有效落實(shí)。

一、創(chuàng)設(shè)情境引入，激發(fā)深入思維

在進(jìn)行課堂教學(xué)的過程中，教師從學(xué)生的心理特征出發(fā)，以問題為主軸線，創(chuàng)設(shè)合理有趣的情境進(jìn)行引入，把握概念的本質(zhì)，自然而然的在情境教學(xué)中引入課題，激發(fā)學(xué)生的求知欲望，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。以生活中情境的引入，使學(xué)生將數(shù)學(xué)與生活相結(jié)合，學(xué)會用數(shù)學(xué)知識去解決生活中的問題，充分了解到學(xué)習(xí)新概念的意義和有趣性，自然過渡到概念學(xué)習(xí)的情境中，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)樂趣的同時(shí)也擴(kuò)展學(xué)生思維。

例如，在開始復(fù)習(xí)函數(shù)單調(diào)性的時(shí)候，我首先通過德國心理學(xué)家艾賓浩斯關(guān)于人類記憶周期規(guī)律的研究為情境引入，將記憶測試的數(shù)據(jù)以表格的方式進(jìn)行展示，如表1所示。緊接著為便于學(xué)生觀察，我又將艾賓浩斯遺忘曲線進(jìn)行展示，根據(jù)記憶遺忘曲線可以發(fā)現(xiàn)記憶保存量占比按天數(shù)不斷進(jìn)行變化，如圖1所示。在此向?qū)W生提問從圖1中可以發(fā)現(xiàn)什么，顯然該曲線從左向右一直呈下降趨勢，如何用數(shù)學(xué)的思維進(jìn)行解釋，自然而然引入函數(shù)的概念。同時(shí)讓學(xué)生思考遞增函數(shù)與該函數(shù)的共同特征是什么，進(jìn)而對函數(shù)單調(diào)性概念進(jìn)行了解。

通過對該情境的引入，可以使學(xué)生對函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行了解，同時(shí)明白函數(shù)的單調(diào)性必須在某個(gè)區(qū)間，受該情境的影響，有的同學(xué)思維獲得啟發(fā)，發(fā)現(xiàn)氣溫變化情況也可以用函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行解釋，從而真正讓學(xué)生對函數(shù)單調(diào)性的概念進(jìn)行掌握，達(dá)到拓展學(xué)生思維的教學(xué)效果以及有助于深度學(xué)習(xí)思維的廣泛性。

二、聯(lián)系舊知識，引發(fā)新知識

建構(gòu)主義主張，學(xué)習(xí)的過程是一個(gè)不斷由舊知識經(jīng)驗(yàn)與新知識經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行交流、重新組合的過程。對于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程，需要以學(xué)生已有知識經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展，引導(dǎo)學(xué)生自主探究學(xué)習(xí)，通過交流合作，對概念進(jìn)行準(zhǔn)確理解?？v觀新概念的形成過程，可以發(fā)現(xiàn)新概念與舊概念之間存在一種邏輯關(guān)系，即從特殊到一般，從具體到抽象不斷生成的過程。教師在進(jìn)行教學(xué)過程中需要將新舊知識相關(guān)聯(lián)，以此對概念的本質(zhì)進(jìn)行探尋，引導(dǎo)學(xué)生形成一種初步的概念建構(gòu)。

例如，對直線傾斜角的概念教學(xué)。以直線方程為切入點(diǎn)，提出過（ 1 ， 0 ）點(diǎn)做出很多條直線，如圖2所示，以傾斜程度的不同引出傾斜角的概念，此外根據(jù)圖2也可以引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)過一點(diǎn)同時(shí)還必須有相對于軸的傾斜程度即斜率可以確定一條直線。對于傾斜程度的描述除了角還有“斜率”，學(xué)生在未進(jìn)行預(yù)習(xí)的情況下可以聯(lián)系到直線方程中的值。對于該圖的引入，有助于學(xué)生對傾斜角發(fā)展的過程進(jìn)行了解，從而對直線傾斜角的定義了解更加透徹，鍛煉學(xué)生思維能力的同時(shí)可以實(shí)現(xiàn)直線傾斜角概念與直線方程相結(jié)合。有助于學(xué)生形成自己的概念知識建構(gòu)，以舊知識引出新知識，加深對新知識的理解，構(gòu)建關(guān)于直線傾斜角的整體架構(gòu)，引導(dǎo)學(xué)生不斷探究學(xué)習(xí)，達(dá)到深入學(xué)習(xí)的目的。

通過對圖2的旋轉(zhuǎn)演示，以軸為基準(zhǔn)線，直線沿軸向上的方向與軸正向方向之間所形成的夾角是直線的傾斜角，同時(shí)通過中間垂直于軸情況，可以考慮到直線傾斜角的范圍為，不僅可以幫助學(xué)生理解直線傾斜角的概念，同時(shí)對直線傾斜角的變化范圍也進(jìn)行了了解和掌握，可以輕松解答對直線傾斜角進(jìn)行考察的選擇題。由直線方程引出直線傾斜角的概念，可以促使學(xué)生構(gòu)建自己的知識框架，避免傳統(tǒng)的孤立學(xué)習(xí)，實(shí)現(xiàn)在概念掌握層面的深度學(xué)習(xí)。

三、引導(dǎo)問題設(shè)置，激發(fā)學(xué)生深入探究

考驗(yàn)學(xué)生對于所學(xué)基礎(chǔ)知識、數(shù)學(xué)技能的掌握程度，需通過解題來衡量。因此，解題一定程度上體現(xiàn)對學(xué)生綜合素質(zhì)的考量。面對學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的復(fù)雜性以及學(xué)生對于新事物的了解需要一個(gè)過程，在設(shè)置問題時(shí)需要將知識點(diǎn)整體納入，讓學(xué)生對于所學(xué)知識所形成的思維有一個(gè)形象了解，化解知識的復(fù)雜性，在尊重學(xué)生學(xué)習(xí)和認(rèn)知規(guī)律的前提下設(shè)置問題。

如針對直線傾斜角，以及直線傾斜角為鈍角時(shí)，對直線傾斜角與斜率的變換進(jìn)行考察。

例1 已知一條直線的傾斜角為，另一條直線的傾斜角為，分別求這兩條直線的斜率值。

例2 已知直線方程，求該直線的傾斜角。

例3 已知直線方程，求該直線的傾斜角。

通過這三道題可以幫助學(xué)生對直線傾斜角與斜率之間的轉(zhuǎn)換進(jìn)行學(xué)習(xí)和掌握，例1由于兩個(gè)是特殊角，可以直接根據(jù)角的特殊值得出直線的斜率，對于120°需要考慮到該角處于第二象限，斜率應(yīng)為負(fù)值，該題在于對角的特殊值進(jìn)行掌握時(shí)需熟記。例2與例3分別是給出直線方程的斜率，根據(jù)斜率的正負(fù)值、傾斜角的范圍可以求出直線傾斜角，這兩道題都屬于基礎(chǔ)題，在于幫助學(xué)生初步理解和應(yīng)用。但通過學(xué)習(xí)可以發(fā)現(xiàn)有兩種特殊情形并未納入該考察范圍，忽略和兩種特殊情況，對于這兩種情況可以在上述兩題的基礎(chǔ)之上，啟發(fā)學(xué)生以點(diǎn)代入，對直線的傾斜角以及斜率進(jìn)行計(jì)算。為方便學(xué)生進(jìn)一步掌握，可以引導(dǎo)學(xué)生以表格的方式將傾斜角與斜率的關(guān)系更加形象展現(xiàn)，如表2所示。從而以優(yōu)化問題設(shè)置的方式，促使學(xué)生對概念知識進(jìn)行應(yīng)用和掌握。

四、知識變式拓展，加深新知識的理解

對學(xué)生開展階梯式的教學(xué)是深度學(xué)習(xí)的本質(zhì)，通過對學(xué)生的知識進(jìn)一步拓展，逐步培養(yǎng)和構(gòu)建學(xué)生的高階思維，最終形成數(shù)學(xué)素養(yǎng)，對學(xué)生后期的學(xué)習(xí)發(fā)展過程產(chǎn)生影響。在具體的教學(xué)過程中，以問題為導(dǎo)向的任務(wù)驅(qū)動(dòng)，問題的逐步加深和拓展，加強(qiáng)對知識點(diǎn)進(jìn)行變式拓展，不斷加大探究性學(xué)習(xí)的力度，促使學(xué)生養(yǎng)成深度思考的習(xí)慣，將數(shù)學(xué)知識的概念構(gòu)建與學(xué)生有意識的學(xué)習(xí)相結(jié)合，對學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)進(jìn)行培養(yǎng)和發(fā)展。

例如，在對雙曲線函數(shù)和圖像知識進(jìn)行教學(xué)的過程中，首先以課本例題為切入點(diǎn)，然后對例題進(jìn)行變式和延伸。課本例題為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，雙曲線上點(diǎn)有，試表示該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

變式1：若動(dòng)點(diǎn)與雙曲線兩焦點(diǎn)之間的距離滿足，則動(dòng)點(diǎn)的移動(dòng)軌跡是什么？滿足時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡又是什么？

變式2：在△中，為動(dòng)點(diǎn)，，，且滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是什么？

變式3：同時(shí)與 兩圓都外切，求中圓心的移動(dòng)軌跡方程。

通過對該例題的變式拓展設(shè)計(jì)，將雙曲線方程中基礎(chǔ)知識點(diǎn)與三角形、圓等幾何圖形相結(jié)合，通過把握學(xué)生對知識點(diǎn)的理解和運(yùn)用程度的基礎(chǔ)上，對雙曲線知識點(diǎn)進(jìn)行深入挖掘研究，進(jìn)一步與三角形正弦定理，圓的一般方程、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程相結(jié)合，并將與圓相切的知識點(diǎn)融入進(jìn)去，有助于加深學(xué)生對雙曲線函數(shù)相關(guān)知識點(diǎn)的理解，同時(shí)還能拓展學(xué)生看待雙曲線方程的角度，形成學(xué)生對于雙曲線函數(shù)概念運(yùn)用的知識體系，對該部分內(nèi)容綜合掌握，便于學(xué)生考試時(shí)可以靈活發(fā)揮。通過變式運(yùn)用可以拓展學(xué)生思維的廣度和深度，是深度教學(xué)過程中的一種體驗(yàn)。

五、批判質(zhì)疑教學(xué)，產(chǎn)生深度學(xué)習(xí)動(dòng)力

批判性的獲取認(rèn)知是深度學(xué)習(xí)定義中所強(qiáng)調(diào)的內(nèi)容。在深度學(xué)習(xí)的背景下學(xué)生應(yīng)該圍繞具有挑戰(zhàn)性的課題去積極主動(dòng)學(xué)習(xí)，敢于質(zhì)疑老師的觀點(diǎn)。質(zhì)疑是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中重要的品質(zhì)，教師應(yīng)改變傳統(tǒng)的單純授課思維，積極鼓勵(lì)學(xué)生，尊重學(xué)生所表達(dá)的觀點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生的分析和論證能力。數(shù)學(xué)講究邏輯思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，教師在面對學(xué)生出錯(cuò)時(shí)，應(yīng)先允許其表達(dá)自己的想法，然后將忽略的邏輯部分進(jìn)行指點(diǎn)，不僅有助于加深學(xué)生對知識的理解，還能激發(fā)學(xué)生探究性學(xué)習(xí)的動(dòng)力。

例如，以雙曲線方程為例，在對該部分知識點(diǎn)的運(yùn)用進(jìn)行講解時(shí)，我會首先讓學(xué)生積極討論表達(dá)自己的想法，然后針對學(xué)生存在的誤區(qū)進(jìn)行指導(dǎo)。

已知圓，圓 都內(nèi)切于動(dòng)圓，求動(dòng)圓圓心的運(yùn)動(dòng)軌跡方程。

針對該問題學(xué)生討論會出現(xiàn)一種錯(cuò)解，即在設(shè)所求動(dòng)圓圓心的坐標(biāo)為，半徑為，將誤認(rèn)為，動(dòng)圓圓心的軌跡為雙曲線，事實(shí)上表示動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)，的距離差為常數(shù)3，且，表示點(diǎn)的軌跡為雙曲線的右支，故圓心軌跡方程為.

通過對該題進(jìn)行討論、解答的過程中，當(dāng)學(xué)生表達(dá)完自己的想法之后，會指出該題的錯(cuò)誤點(diǎn)在于對雙曲線的概念把握不透徹，并引導(dǎo)學(xué)生對雙曲線的概念再次熟悉，真正幫助學(xué)生參透雙曲線的概念，激發(fā)學(xué)生探究學(xué)習(xí)的樂趣，同時(shí)集體交流討論更有助于學(xué)生對知識的理解，實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)中教學(xué)階梯式發(fā)展的關(guān)鍵一步。

六、總結(jié)經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，注重反思能力培養(yǎng)

一節(jié)課結(jié)束之后很多學(xué)生認(rèn)為自己對知識點(diǎn)已經(jīng)掌握，但經(jīng)過一段時(shí)間之后會發(fā)現(xiàn)仍存在很多疑惑點(diǎn)，原因在于缺少對問題的總結(jié)和反思。教師在教學(xué)過程中對學(xué)生反思能力的培養(yǎng)是一個(gè)長期的過程，首先應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生如何進(jìn)行反思，在了解初步反思模式之后進(jìn)一步養(yǎng)成勤反思的習(xí)慣。在此基礎(chǔ)之上巧妙利用錯(cuò)題整理本，對每日的學(xué)習(xí)內(nèi)容經(jīng)過反思有一個(gè)再認(rèn)知的過程。通過對經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)進(jìn)行總結(jié)，學(xué)生會將收集、整理的數(shù)學(xué)方法來豐富自己的解題經(jīng)驗(yàn)，并通過與老師的不斷交流調(diào)整學(xué)習(xí)策略，實(shí)現(xiàn)深層次的思考，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)潛能。

例如，在對排列組合題進(jìn)行練習(xí)時(shí)，有一道錯(cuò)誤率較高的題，教師要將5本不同的課本全部分發(fā)給4位同學(xué)，且保證每位同學(xué)至少要有一本課本，求有多少種不同的分法。

在做這道題時(shí)，學(xué)生會存在錯(cuò)解認(rèn)為從5本課本中選出4本，有種情況，再分給4個(gè)同學(xué)，有種不同的分法，再將最后一本課本分給任意一位同學(xué)，即錯(cuò)誤的公式為：種不同的分法，題目的一種正確解法為先從5本課本當(dāng)中，將2本課本綁在一起，形成4組書，有種不同的分法，再將4組書隨機(jī)分發(fā)給4位同學(xué)，有種不同的分法，最后結(jié)果為種不同的分類方法。

第二種正解方法為：先從4位同學(xué)中隨機(jī)選擇一位學(xué)生，有種方法，然后再將5本課本中選擇2本課本，保證每位同學(xué)至少有一本課本，這時(shí)有種不同的分法，剩下的3位同學(xué)再將剩下的3本課本進(jìn)行分發(fā)，最后結(jié)果為種不同的分類方法。通過對錯(cuò)題進(jìn)行總結(jié)發(fā)現(xiàn)學(xué)生的錯(cuò)誤原因在于將擁有2本課本的同學(xué)不考慮他們先擁有哪本課本的順序，所以再求解的過程中重復(fù)計(jì)算一次。究其根本原因則在于學(xué)生思考不周密，將無序問題進(jìn)行有序化處理，造成情況重復(fù)計(jì)算。

通過對該題的總結(jié)反思，可以使學(xué)生明白排列組合題的關(guān)鍵在于先組合后進(jìn)行排列，要按照對象逐一進(jìn)行分類，同時(shí)結(jié)合排列的公式加深學(xué)生對排列組合題的理解，，（其中），實(shí)現(xiàn)將抽象概念的具體運(yùn)用，經(jīng)過不斷反思，形成成熟的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)。

綜上所述，通過對深度學(xué)習(xí)的研究發(fā)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)的關(guān)鍵在于注重對知識的深層次理解，構(gòu)建知識架構(gòu)，實(shí)現(xiàn)知識遷移，同時(shí)通過對學(xué)生反思能力的培養(yǎng)可以實(shí)現(xiàn)學(xué)生深層次的思考，激發(fā)學(xué)生探究學(xué)習(xí)的能力，最終形成數(shù)學(xué)素養(yǎng)并對學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)以及發(fā)展產(chǎn)生深遠(yuǎn)影響，實(shí)現(xiàn)深度教學(xué)的目的。

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