陳旭旋

【摘要】? 數(shù)學(xué)應(yīng)用題難教、學(xué)生難學(xué)的現(xiàn)象一直困擾著我們教師和學(xué)生，在實際教學(xué)中教師都清楚“如何準確找到等量關(guān)系列方程”是教學(xué)的難點，教師們也做了各種教學(xué)研究，想方設(shè)法引導(dǎo)學(xué)生突破這個難點，但實際教學(xué)效果一般，學(xué)生大多還是不會找，另外，學(xué)生一見實際問題就“一個頭兩個大”，要么直接放棄，要么做了半天依舊不知如何下手。

【關(guān)鍵詞】? 初中數(shù)學(xué) 列方程解應(yīng)用題 有效教學(xué)實踐

【中圖分類號】? G633.6? ?? ? ? ? ?【文獻標識碼】? A ? ? 【文章編號】? 1992-7711（2020）23-080-02

筆者在近年的“實際問題”教學(xué)實踐中，借助四個問題追問法引導(dǎo)學(xué)生尋找等量關(guān)系，取得很好的效果，尤其對于七年級剛接觸列方程解一元一次方程的學(xué)生，效果更加明顯，應(yīng)用題的測試成績高于其他班級的2倍以上。下面筆者就2019年12月參加教學(xué)能力大賽的獲得第一名的《一元一次方程與實際問題》這節(jié)課進行部分課堂實錄整理，談?wù)勅绾斡谩八膯柗ā庇行岣邔W(xué)生準確列方程解應(yīng)用題的教學(xué)效果，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，與同行們共勉。

一、情境引入，引出課題

【情境1】

教師：孩子們，你們從圖片看到了什么？

學(xué)生：春運

教師：春運又讓你想到什么？

學(xué)生1：想回家過年

學(xué)生2：買票難

……

教師：嗯，有句歌詞：“有錢沒錢，回家過年……”但是票卻不容易購買，現(xiàn)在大多可以網(wǎng)上提前購票，2020年的春運（春運指當(dāng)年的臘月十五或十六開始到第二年的正月廿五結(jié)束。）從雙十二那天開始也拉開了搶票的序幕。下面請同學(xué)們看大屏幕上的兩張火車票：

【情境2】以下是兩張不同類型火車的車票：（“D×××次”表示動車，“G×××次”表示高鐵）：

已知該動車和高鐵的平均速度分別為200km/h，300km/h，如果兩車均按車票信息準時出發(fā)，且同時到達終點，求A，B兩地之間的距離。

教師：請同學(xué)們獨立完成情境問題。

學(xué)生獨立完成，教師巡視。

二、例題剖析，提煉方法

以【情境2】作為例題

教師：請同學(xué)們停下來，從剛剛巡視發(fā)現(xiàn)大部分同學(xué)無法動筆，能談?wù)勀悴粫龅脑蚴鞘裁磫幔?/p>

學(xué)生1：看不懂題目，不會找已知量、未知量（原因：閱讀理解能力差）

學(xué)生2：不知道已知量和未知量有什么聯(lián)系，好亂，完全無思路，不知從何下手（原因：數(shù)量關(guān)系復(fù)雜，有隱蔽的數(shù)量關(guān)系，路程=速度×?xí)r間，還有題目中顯性的復(fù)雜數(shù)量關(guān)系，學(xué)生思維無序）

學(xué)生3：不知怎么設(shè)未知數(shù)（原因：多個未知數(shù)，未知數(shù)選擇的靈活性）……

教師：好，大家說的正是我們列方程解應(yīng)用題“因何而難”的原因：（1）題目文字多，一看就怕;（2）數(shù)量關(guān)系復(fù)雜：既有隱藏的數(shù)量關(guān)系如行程問題中的路程、速度、時間三者的關(guān)系，如利潤問題涉及進價、售價、標價、利潤率等之間的數(shù)量關(guān)系;又有題目所給的各種顯性數(shù)量關(guān)系;（3）用代數(shù)式表示數(shù)量關(guān)系能力差，如何用代數(shù)式來表示各個已知量和未知量呢，無從下手（4）題目中未知量往往有多個，不知選擇哪個來設(shè)未知數(shù)。

教師：下面老師帶領(lǐng)大家用“四步追問法”克服這些困難，輕松建立一元一次方程（數(shù)學(xué)模型）解決實際問題。

教師：首先，我們一起來看看，你能從兩張火車票獲取什么信息？

學(xué)生4：路程相同，都是從A地到B地。

學(xué)生5：出發(fā)時間不同，動車是20：00，高鐵是21：00，晚一個小時。

學(xué)生6：兩張票都是從A地購買，價格不同。

……

教師：票面信息可真多呀，但是有些是題目中有用的信息，有些是非數(shù)學(xué)元素的干擾信息，我們需要剔除掉，下面請同學(xué)思考：

問題1：例題中共有幾個量？哪些是已知量？哪些是未知量？需要求什么？請同學(xué)們一句一句閱讀題目，用圈劃方法獲取信息。

學(xué)生：已知量有動車的平均速度200km/h，高鐵的平均速度300km/h，動車和高鐵出發(fā)的時間。

學(xué)生：未知量有A地到B地的路程，動車行駛的時間，高鐵行駛的時間。

教師根據(jù)學(xué)生的回答進行板書如下：

問題2：問題1中各個量之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？（一隱性二顯性關(guān)系）

教師：路程、時間、速度有什么數(shù)量關(guān)系？

學(xué)生：路程=速度*時間①（可變形）

教師板書并提問：這個數(shù)量關(guān)系是題目告訴我們的嗎？

學(xué)生：不是，是行程問題中的公式。

教師：很好，這類公式如行程問題中路程=速度*時間，工程問題中工作量=工作效率*工作時間等屬于應(yīng)用題中的隱性數(shù)量關(guān)系，需要我們平時掌握的。

教師：題目中明確告訴我們的，有哪些數(shù)量關(guān)系？

學(xué)生7：動車從A到B地所用的時間比高鐵從A到B地所用的時間多1小時

學(xué)生8：動車行駛的路程和高鐵行駛的路程相同，都是從A地到B地。

教師根據(jù)學(xué)生的回答進行如下右邊的板書：

問題3：如何選擇未知量設(shè)未知數(shù)？其他各量又怎樣表示？

教師：現(xiàn)在題目中有四個未知量，選擇哪個未知量設(shè)未知數(shù)呢？一般我們習(xí)慣問什么設(shè)什么，所以我們設(shè)A、B兩地間的距離為xkm，那其他未知量如何用未知數(shù)x來表示呢？

教師根據(jù)學(xué)生回答進行如下板書：

問題4：你能用表格的形式對以上分析進行直觀化展示嗎？

教師：對于剛才我們的分析板書看起來有些凌亂，你能否利用表格將這些量進行分析并列出方程？哪位同學(xué)嘗試以下。

學(xué)生9展示如下：

教師：你怎么想到的？

學(xué)生9：剛才數(shù)量關(guān)系①③都用來表示各個未知量了，所以只能選擇數(shù)量關(guān)系②時間差作為等量關(guān)系列出方程。

教師：分析很到位，一個應(yīng)用題中有多個數(shù)量關(guān)系時，如果你選擇其他的數(shù)量關(guān)系來表示未知量，那么就不能再作為等量關(guān)系來列方程了，否則就會解不出來，課后同學(xué)們可以嘗試一下就明白了。這也是老師為什么要求同學(xué)們一定要先找到所有的數(shù)量關(guān)系，然后再根據(jù)這些數(shù)量關(guān)系來設(shè)未知數(shù)列方程，可以將我們無序的思維有序化，這樣解應(yīng)用題時就能清晰知道用哪個等量關(guān)系來列方程了。明白了嗎？

學(xué)生：明白了。

教師：那老師來考考你們。例題中若選擇動車的時間這個未知量來設(shè)未知數(shù)x，你會用含x的代數(shù)式表示其他未知量并列出方程嗎？請同學(xué)動手嘗試一下。

學(xué)生獨立完成，教師巡視

學(xué)生展示如下：

教師：很棒，我們來對比這兩種設(shè)法列方程的優(yōu)缺點？談?wù)勀愀矚g哪一種？

學(xué)生：……

教師：很好，通過剛才例題的學(xué)習(xí)，我們回過頭來總結(jié)一下，我們是怎么找到等量關(guān)系列出方程的？

師生共同完成：先讀題找已知量未知量，找全數(shù)量關(guān)系，再用含未知數(shù)的代數(shù)式表示各個未知量，用表格直觀化根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出方程了。

教師：老師把這個過程稱之為“四步追問法”，簡稱“四問法”，也就是我們在解應(yīng)用題的時候不要急于設(shè)未知數(shù)，直接就列方程，而是先進行自我四問，在草稿紙上分析數(shù)量關(guān)系，這對于我們剛學(xué)應(yīng)用題時至關(guān)重要，可以避免審題時遺漏條件，弄錯數(shù)量關(guān)系列出方程。另外，我們在借助表格對數(shù)量關(guān)系進行分析時，我們習(xí)慣把各個考查對象放表格豎列，把各個數(shù)量放在橫列。

……

“問題1”是一個去情境化實現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象的過程，從復(fù)雜的實際情境中剔除無效信息的干擾，提取有效信息，將學(xué)生的思維引向?qū)Α耙阎俊薄拔粗俊钡姆治?，明確問題目標，為進一步分析數(shù)量關(guān)系奠定基礎(chǔ);

“問題2”是通過問題引導(dǎo)，完成隱性的數(shù)量關(guān)系顯性化、并找到情境中的顯性的所有數(shù)量關(guān)系的程序，為將各量關(guān)系從文字語言向符號語言轉(zhuǎn)換奠定基礎(chǔ);

“問題3”既是為了避免學(xué)生在將文字語言轉(zhuǎn)化符號語言的過程中往往會因為思維的隨意性而漏掉重要的數(shù)學(xué)條件，所以通過問題引領(lǐng)的方式，讓學(xué)生將無序思維有序化又是為了在設(shè)未知數(shù)x并用含x的代數(shù)式表示其他各個未知量的過程中，緊緊抓住各量之間的數(shù)量關(guān)系，讓學(xué)生深刻體會關(guān)系的橋梁作用;

“問題4”是在分析了各個量以及其中的各種數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)上，再去利用表格進行分析，再次強化對各量之間關(guān)系的分析，使得各種抽象關(guān)系直觀化。表格或圖是隨著數(shù)量關(guān)系的分析自然生成的，這是一種加深學(xué)生理解數(shù)量關(guān)系的輔助手段，和以往直接呈現(xiàn)表格分析數(shù)量關(guān)系的邏輯思維是相反的。通過這四個問題的引導(dǎo)，學(xué)生在建立數(shù)學(xué)模型解決實際問題過程中，能將無序思維有序化，又將數(shù)量關(guān)系可視化，再通過一題多設(shè)、一題多列的比較，更有利于學(xué)生加深對數(shù)量關(guān)系分析的理解，積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗，并強化按照步驟分析解決問題的思維方式和能力。

“四問法”建立數(shù)學(xué)模型解決實際問題，在筆者實際教學(xué)實踐中，尤其七年級學(xué)生剛剛接觸一元一次方程解實際問題，能準確列出方程的效果明顯提高，學(xué)生也對應(yīng)用題的心理障礙大大減少，對后續(xù)實際問題的繼續(xù)學(xué)習(xí)起到至關(guān)重要的作用。