葉根福

摘 要：概念教學(xué)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)至關(guān)重要，教師從學(xué)生已有的認(rèn)知和經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)膯栴}情境，讓學(xué)生不斷參與、體驗(yàn)，是促進(jìn)核心素養(yǎng)落地的有效途徑。以重要概念“函數(shù)的零點(diǎn)”為例揭示概念教學(xué)的深刻性與豐富性。

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng);體驗(yàn)式;概念教學(xué)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》頒布后，如何在課堂教學(xué)中提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在課堂教學(xué)中落地、生根、發(fā)芽、開花、結(jié)果，成了廣大一線教師的熱門話題。概念教學(xué)過程中，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，教師創(chuàng)設(shè)合理的問題情境，讓學(xué)生經(jīng)歷深刻體驗(yàn)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程是使核心素養(yǎng)落地的有效途徑。

一、教學(xué)問題診斷分析

（一）具備的基礎(chǔ)

知識(shí)：①函數(shù)的概念與性質(zhì)，一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)。

②二次函數(shù)的零點(diǎn)與對(duì)應(yīng)的一元二次方程的解和對(duì)應(yīng)二次函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)的聯(lián)系。

能力：會(huì)畫簡(jiǎn)單函數(shù)的圖象，也會(huì)通過圖象去分析函數(shù)的性質(zhì)，具備初步的數(shù)形轉(zhuǎn)換能力。

（二）本課的目標(biāo)需求

知識(shí)：函數(shù)的概念與性質(zhì)，所學(xué)的基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)。

能力：①較強(qiáng)的綜合利用所學(xué)知識(shí)的能力。

②較強(qiáng)的動(dòng)手動(dòng)腦能力，較好的觀察分析圖象的能力，較高的抽象概括能力。

（三）可能存在的問題與障礙

由于目標(biāo)需求中的能力需求是剛?cè)敫咧胁痪玫母咭粚W(xué)生比較欠缺的，因此學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中可能會(huì)遇到一些問題和障礙。

問題1：由于字面意思，學(xué)生可能會(huì)錯(cuò)誤地把函數(shù)的零點(diǎn)理解為“點(diǎn)”。

問題2：學(xué)生能粗淺地理解三個(gè)等價(jià)關(guān)系，但在解決具體問題的過程中，難以加以應(yīng)用。

問題3：如何得出函數(shù)零點(diǎn)存在的判定條件對(duì)多數(shù)學(xué)生會(huì)有困難。

問題4：初學(xué)函數(shù)零點(diǎn)存在性判定定理后，如何加以正確應(yīng)用會(huì)遇到困難。

（四）應(yīng)對(duì)策略（過程、方法）

策略1：概括出零點(diǎn)的定義后，教師馬上提問：我們可不可以這么理解，零點(diǎn)，就是使函數(shù)值為零的點(diǎn)？強(qiáng)調(diào)函數(shù)的零點(diǎn)是一個(gè)實(shí)數(shù)。在典型例題求函數(shù)零點(diǎn)的環(huán)節(jié)，教師呈現(xiàn)學(xué)生的解答過程，對(duì)出現(xiàn)把零點(diǎn)錯(cuò)誤地寫成“點(diǎn)”的學(xué)生及時(shí)加以指正，使學(xué)生在親身體驗(yàn)中對(duì)零點(diǎn)概念的掌握更加深刻。

策略2：在典型例題求函數(shù)零點(diǎn)的環(huán)節(jié)教師再次強(qiáng)調(diào)利用等價(jià)關(guān)系得到求函數(shù)零點(diǎn)的兩種基本方法：（1）解相應(yīng)方程f（x）=0;（2）畫函數(shù)f（x）的簡(jiǎn)圖，圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為所求。在求函數(shù)f（x）=lnx+2x-6的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生利用等價(jià)關(guān)系把問題轉(zhuǎn)化為方程lnx+2x-6=0，即方程lnx=6-2x解的個(gè)數(shù)，再轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)y=lnx與6-2x的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。在具體問題的解決中讓學(xué)生體驗(yàn)三個(gè)等價(jià)關(guān)系，使學(xué)生的理解更加深刻。

策略3：教師多次用多媒體播放函數(shù)圖象穿過軸的動(dòng)畫，激發(fā)學(xué)生的探究興趣，并引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)當(dāng)函數(shù)圖象穿過x軸時(shí)，函數(shù)符號(hào)改變，從而自己得出函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]內(nèi)存在零點(diǎn)的條件，讓學(xué)生體驗(yàn)從幾何直觀到代數(shù)表達(dá)的抽象過程。

策略4：教師通過多個(gè)問題（詳見教學(xué)過程設(shè)計(jì)）讓學(xué)生自主探究，在黑板上舉出各種反例，通過具體問題——求函數(shù)f（x）=lnx+2x-6的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的解決，讓學(xué)生對(duì)定理理解得更加深刻。

二、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

（一）讀數(shù)學(xué)史，引入新課

在人類用智慧架設(shè)的無數(shù)座從未知通向已知的金橋中，方程的求解是其中璀璨的一座，今天的我們可以從教科書中查到各式各樣方程的解法，但這一切經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的歲月。在這個(gè)過程中，我國歷朝歷代的數(shù)學(xué)家們做出了巨大的貢獻(xiàn)。

（1）我國古代數(shù)學(xué)家于公元50～100年合力編成的《九章算術(shù)》，系統(tǒng)地給出了一次方程、二次方程的解法。

（2）11世紀(jì)，北宋數(shù)學(xué)家賈憲給出了三次方程的解法。

（3）13世紀(jì)，南宋數(shù)學(xué)家秦九韶給出了高次方程正根的解法。

（4）19世紀(jì)挪威數(shù)學(xué)家阿貝爾證明了五次及五次以上的方程沒有一般形式的代數(shù)解。

方程的解，我們?cè)诔踔幸呀?jīng)學(xué)習(xí)過了，主要是以代數(shù)計(jì)算的方式進(jìn)行求解，側(cè)重“數(shù)”的方面的研究。這節(jié)課不僅要從“數(shù)”，還要從“形”的方面去研究“方程的解”。（教師板書《函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解》）

設(shè)計(jì)意圖：通過恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)史知識(shí)引入，不僅能傳播數(shù)學(xué)文化，還能激起學(xué)生的好奇心，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)文化和人文素養(yǎng)。

（二）復(fù)習(xí)鞏固，類比等價(jià)關(guān)系

問題：通過之前的學(xué)習(xí)，你能說說二次函數(shù)y=ax2+bx+c的零點(diǎn)與一元二次方程ax2+bx+c=0的解之間的關(guān)系嗎？

引導(dǎo)學(xué)生得出：（1）一元二次方程解的個(gè)數(shù)就是對(duì)應(yīng)二次函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

（2）一元二次方程的實(shí)數(shù)根就是對(duì)應(yīng)二次函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)二次函數(shù)的零點(diǎn)與對(duì)應(yīng)一元二次方程的根之間的關(guān)系，為推廣到更一般的函數(shù)零點(diǎn)與方程的解的關(guān)系做好鋪墊。

教師概括定義：與二次函數(shù)的零點(diǎn)一樣，對(duì)函數(shù)y=f（x），我們把使f（x）=0的實(shí)數(shù)叫作函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)。

問題：我們可不可以這么理解，零點(diǎn)，就是使函數(shù)值為零的點(diǎn)？

設(shè)計(jì)意圖：通過師生對(duì)話再次強(qiáng)調(diào)，零點(diǎn)不是一個(gè)點(diǎn)而是一個(gè)實(shí)數(shù)。

通過對(duì)二次函數(shù)的學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生歸納等價(jià)關(guān)系：

函數(shù)y=f（x）有零點(diǎn)？圳方程f（x）=0有實(shí)數(shù)解？圳函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸有交點(diǎn)。

師生共同小結(jié)：這個(gè)關(guān)系告訴我們，函數(shù)f（x）有零點(diǎn)，從“數(shù)”的角度理解，就是方程f（x）=0有實(shí)數(shù)解，從“形”的角度理解，就是函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸有交點(diǎn)。這個(gè)關(guān)系體現(xiàn)了數(shù)學(xué)結(jié)合的重要思想。不僅如此，它為我們今后函數(shù)問題與方程問題的相互轉(zhuǎn)化提供了有力的依據(jù)。

設(shè)計(jì)意圖：由于學(xué)生對(duì)二次函數(shù)的零點(diǎn)、對(duì)應(yīng)一元二次方程的根、二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)之間的關(guān)系已經(jīng)掌握清楚，因此可以引導(dǎo)學(xué)生用類比推理的方法得到一般的關(guān)系，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)。

（三）典型例題，鞏固提高

例：求下列函數(shù)的零點(diǎn)。

設(shè)計(jì)說明：先讓學(xué)生獨(dú)立完成，然后用實(shí)物投影儀展示學(xué)生的解答過程，然后教師點(diǎn)評(píng)，對(duì)學(xué)生的各種錯(cuò)誤及時(shí)糾正。踐行“學(xué)生先行，交流呈現(xiàn)，教師斷后”的教學(xué)理念，同時(shí)通過典型例題的“做”培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。

師生共同歸納：根據(jù)同學(xué)們的解答，我們不難得出，求函數(shù)零點(diǎn)的兩種基本方法：我們可以解對(duì)應(yīng)的方程f（x）=0，方程的解就是函數(shù)的零點(diǎn);也可以畫出函數(shù)y=f（x）的圖象，圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是函數(shù)零點(diǎn)。

（四）合作探究，揭示定理

問題：是不是所有函數(shù)都有零點(diǎn)？如何判定一個(gè)函數(shù)在什么情況下存在零點(diǎn)呢？

教師引導(dǎo)：不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)函數(shù)圖象穿過軸時(shí)，圖象就與軸產(chǎn)生了交點(diǎn)，這個(gè)時(shí)候函數(shù)必存在零點(diǎn)。圖象穿過軸是一種幾何現(xiàn)象，如何把這種現(xiàn)象用代數(shù)語言表述出來呢？請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)觀察，并認(rèn)真思考。

設(shè)計(jì)說明：零點(diǎn)存在性定理的探究是本節(jié)課的一個(gè)難點(diǎn)，如果完全放手讓學(xué)生探究，很可能導(dǎo)致學(xué)生無從下手，因此在學(xué)生經(jīng)歷一定時(shí)間的思考、想象后，教師加以適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)非常重要。引導(dǎo)學(xué)生把幾何現(xiàn)象用代數(shù)語言表述出來，實(shí)現(xiàn)將直觀想象與數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)在課堂上落地。

學(xué)生探究：當(dāng)函數(shù)圖象穿過x軸時(shí)，函數(shù)值由負(fù)變正（圖1）或由正變負(fù)（圖2）?？偠灾?，當(dāng)函數(shù)圖象穿過x軸時(shí)，函數(shù)符號(hào)改變。

教師活動(dòng)：不經(jīng)意間，同學(xué)們說出了數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要定理——函數(shù)零點(diǎn)存在性判定定理。

討論交流：

判斷下列說法是否正確，若正確，請(qǐng)說明理由。若不正確，請(qǐng)舉出反例。

（1）已知函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且f（a）f（b）>0，則f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)沒有零點(diǎn)。（? ）

（2）已知函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且f（a）f（b）<0，則f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)。（）

學(xué)生活動(dòng)：

設(shè)計(jì)說明：兩個(gè)問題的探究有助于讓學(xué)生更加深刻地理解定理，對(duì)定理的條件與結(jié)論更加清楚，意義重大。同時(shí)通過具體事例的思考，再次發(fā)展學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)。

問題：那加個(gè)什么條件可以判定函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)呢？

學(xué)生活動(dòng)：函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上具有單調(diào)性。

（五）問題解決，首尾呼應(yīng)

例：求函數(shù)f（x）=lnx+2x-6的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。

設(shè)計(jì)說明：這里應(yīng)用了本節(jié)課的重點(diǎn)與難點(diǎn)——零點(diǎn)存在性判定定理解決了上課時(shí)提出的問題，既達(dá)到了首尾呼應(yīng)的目的，又達(dá)到了應(yīng)用新知解決問題的目的。

（六）挑戰(zhàn)自我，能力提升

1.已知f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，在（0，+∞）上是增函數(shù)，且圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，若f（1）=-2，f（2）=3，則f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（? ）

A.3個(gè) B.2個(gè) C.1個(gè) D.不能確定

2.若函數(shù)f（x）=x2-4x-a至少有三個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是________。

三、教學(xué)評(píng)價(jià)

教學(xué)評(píng)價(jià)的及時(shí)有效能調(diào)動(dòng)課堂的氣氛、感染學(xué)生的情緒，對(duì)課堂教學(xué)發(fā)揮著積極的推動(dòng)作用，因此，教師要將教學(xué)評(píng)價(jià)貫穿于每個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中。如回答問題時(shí)的肯定性評(píng)價(jià)、得出函數(shù)零點(diǎn)概念的歸納評(píng)價(jià)、作圖時(shí)的準(zhǔn)確性與規(guī)范性評(píng)價(jià)、解題時(shí)的科學(xué)性與規(guī)范性評(píng)價(jià)、小結(jié)時(shí)的表述性評(píng)價(jià)等。在學(xué)生交流、討論、探究等環(huán)節(jié)注意啟發(fā)學(xué)生完成知識(shí)互評(píng)、能力互評(píng)，通過多種評(píng)價(jià)方式讓更多的學(xué)生獲得學(xué)習(xí)的自信，在輕松融洽的課堂評(píng)價(jià)氛圍中完成本節(jié)課的教學(xué)和學(xué)習(xí)任務(wù)。當(dāng)然，通過對(duì)學(xué)生作業(yè)的批改可以更全面地對(duì)學(xué)生的知識(shí)掌握情況進(jìn)行評(píng)價(jià)和課堂效果進(jìn)行反思，并在后續(xù)的時(shí)間里修訂課堂設(shè)計(jì)方案，達(dá)到預(yù)期的教學(xué)效果，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)成功落地開花的結(jié)果。

四、教學(xué)反思

正如李邦河院士所說：“數(shù)學(xué)玩的就是概念。”教學(xué)中對(duì)概念教學(xué)怎么重視都不為過。通過現(xiàn)實(shí)問題情境、數(shù)學(xué)史、復(fù)習(xí)類比等方法引出概念，看似浪費(fèi)了不少時(shí)間，但真正實(shí)現(xiàn)了讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生發(fā)展，能讓學(xué)生對(duì)新學(xué)數(shù)學(xué)概念理解得更加深刻。同樣的，讓學(xué)生在課堂中探究公式、定理的發(fā)現(xiàn)過程，教師要“耐得住寂寞”，讓學(xué)生有充分的時(shí)間思考，靜待花開，通過指導(dǎo)學(xué)生在知識(shí)的形成過程中發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)?？傊瑪?shù)學(xué)核心素養(yǎng)提升的主體是學(xué)生，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基本渠道是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程，在教學(xué)中不斷讓學(xué)生體驗(yàn)、參與，是促進(jìn)核心素養(yǎng)落地的有效途徑。

編輯 溫雪蓮