余云娟

[摘? 要] 教材，一科之本，課堂教學應“以課本為本”.文章以“圓的標準方程”為例，通過教學設計中的教學片段和教學思考，闡述教學過程中教師注重教材，挖掘教材的重要性. 整體把握教材，善于發(fā)現(xiàn)教材中的教學資源，合理地利用，引導學生一起探究、發(fā)現(xiàn)、論證. 真正落實新課改教育理念，提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

[關鍵詞] 挖掘教材;數(shù)學核心素養(yǎng);數(shù)學運算;數(shù)學抽象

中學教材凝聚了幾代專家、學者的集體智慧和結(jié)晶，研究并充分挖掘其內(nèi)在功能的教育教學價值，是一線教師責無旁貸的任務，是提升教師教育教研水平的必由之路. 對于數(shù)學教師，我們在新課教學中需把握好兩個層面，教好教材與用好教材，用好教材的前提是深入理解教材. 而現(xiàn)實教學情況卻不容樂觀，由于現(xiàn)在教輔資料滿天飛，習題資料數(shù)不勝數(shù)，有些數(shù)學教師可能不會注重研讀教材，更不用說會深挖教材，通過教材的表面看到數(shù)學的本質(zhì). 本文通過《圓的標準方程》為例，闡述如何在新課教學過程中，研讀和深挖教材，采用多種途徑，落實新課程標準理念，提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

背景描述

《圓的標準方程》是人教A版《數(shù)學2》（必修）第四章“圓的方程”第一節(jié). 教學重點是圓的標準方程的推導過程及圓的標準方程特點的明確. 教學難點是進一步體驗曲線和方程的思想，會根據(jù)不同的已知條件求圓的標準方程. 前一章節(jié)我們學習了直線方程，知道在直角坐標系中，直線可以用方程表示，通過方程，可以研究直線間的位置關系、直線與直線的交點等問題. 通過類比直線方程，在這一節(jié)課的學習過程中讓學生進一步體會數(shù)形結(jié)合的思想，形成用代數(shù)方法解決幾何問題的能力.

圓的方程屬于解析幾何的基礎知識，是研究二次曲線的開始，對后續(xù)直線與圓的位置關系、圓錐曲線等內(nèi)容的學習，無論在知識上還是方法上都有著積極的意義，所以本節(jié)內(nèi)容在整個解析幾何中起著承前啟后的作用. 由于學生學習解析幾何的時間還不長、學習程度較淺，且對坐標法的運用還不夠熟練，在學習過程中難免會出現(xiàn)困難，故本節(jié)課通過教材中的閱讀材料引出數(shù)學家的唯美故事，引入新課，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣. 教師通過一題多解和多種變式，提升學生的數(shù)學抽象和數(shù)學運算核心素養(yǎng);通過學生自己嘗試編題，提高學生的發(fā)散思維和解決問題能力.

教學片段

片段1：通過教材中的閱讀材料，引入新課

問題1：同學們有看過“百歲山礦泉水廣告里的故事”嗎？

學生：好像是關于一個唯美的愛情故事. （班里只有這一位學生舉手，其他學生都面面相覷，并向他投來了驚訝的目光）

教師：這位同學回答得很正確，是關于我們一位偉大的數(shù)學家笛卡爾和瑞典公主的唯美愛情故事……，笛卡爾是解析幾何創(chuàng)始人之一，借助于坐標系，把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，溝通了數(shù)學內(nèi)部的數(shù)與形. 在我們的人教版數(shù)學必修2教材中，第111-112頁的閱讀材料中有介紹我們數(shù)學家笛卡爾，希望同學們課后去仔細閱讀，進一步了解.

設計意圖：《圓的標準方程》可以通過直線方程的類比，復習提問，直接引入新課;也可以通過生活中需要解決有關圓的實際問題，引入新課. 但這兩種引入都覺得不夠新穎，備課過程中可以說在引入的問題中思考了很久，后來通過翻閱教材，筆者發(fā)現(xiàn)教材中在直線方程章節(jié)結(jié)束處配有“閱讀與思考”材料《笛卡爾與解析幾何》. 筆者覺得用此知識點引入最佳，于是，就用一個非常唯美的故事——“百歲山廣告里的愛情故事”引出笛卡爾直角坐標系，把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來研究，揭露數(shù)學的本質(zhì)——數(shù)與形的結(jié)合. 這向?qū)W生普及了數(shù)學史，同時在新課引入上顯得生動、新穎，調(diào)動學生學習數(shù)學的積極性，感受數(shù)學的美. 接下來，筆者水到渠成地通過類比直線方程，提問和推導出圓的標準方程.

片段2：通過一題多解，提高學生數(shù)學運算核心素養(yǎng)，挖掘數(shù)學本質(zhì)

問題2：已知△ABC的三個頂點的坐標分別是A（5，1），B（7，-3），C（2，-8），求它的外接圓的方程.

學生1：可以設圓的標準方程，用待定系數(shù)法求出a，b，r，從而求得圓的標準方程.

老師：這位學生回答得很好，那么還有其他的方法嗎？

學生2：還可以先通過求出任意兩條中垂線的交點來求得圓心坐標，再利用圓心到圓上的點的距離來求出半徑.

老師：這位同學用了初中學過的圓的定義，利用幾何法來求得圓的標準方程. 那么接下來我們分組分別用這兩種不同的方法來求出圓的方程.第1、2大組用第一種代數(shù)法求解，第3、4大組用第2種幾何法求解.

學生動筆快速解題，教師在教室來回走動巡視，必要時給予學生指導. 等大部分學生都已求解出答案后，教師選擇兩種不同方法的范本進行投影.

老師：同學們，這兩位同學的解法過程和答案都正確嗎？

學生：都正確.

老師：他們不但是正確的，而且寫得很詳細，非常好. 那么同學們，你們再仔細看看這兩種方法的過程，還有其他的發(fā)現(xiàn)嗎？

學生3：我發(fā)現(xiàn)第1種代數(shù)方法三元方程組化簡后得到的二元方程和第2種方法中垂線的方程是一樣的. 好神秘哦！

老師：這位同學觀察得很仔細，很好.有誰能幫他解釋一下嗎？

學生4：我覺得在化簡三元方程組的時候，用A點帶入的方程與B點帶入的方程相互作差，它的幾何意義就是到A點的距離等于到B點的距離，我們初中已學習過滿足這樣條件的直線就是AB兩點的中垂線. 同理用B點帶入的方程與C點帶入的方程相互作差，得到的就是BC直線的中垂線方程了. （其他學生都示意點頭，恍然大悟，原來如此.）

老師：這位同學很愛動腦子，回答得非常到位.

設計意圖：教材中此例題只用了第1種待定系數(shù)解法，沒有引進第2種幾何方法，筆者覺得教師在研讀教材的時候，還要敢于適“度”地二次開發(fā)教材. 在新課的講解上，教師應該引導學生多動筆，多計算，多思考，學生先行，教師斷后. 這樣既能提升學生數(shù)學運算核心素養(yǎng)，又能真正體現(xiàn)數(shù)學的思維性. 教學中我們追求一題多解，更要追求多解歸一，聯(lián)系是普遍的，我們要做的就是將這種隱含的內(nèi)在聯(lián)系挖掘出來，從而殊途同歸，揭示數(shù)學的本質(zhì). 教師要幫助學生真正經(jīng)歷如下過程：將幾何問題代數(shù)化，用代數(shù)的語言描述幾何要素及其關系，進而將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題;處理代數(shù)問題;分析代數(shù)結(jié)果的幾何含義，最終解決幾何問題.教師有義務幫助學生不斷體會“數(shù)形結(jié)合”的思想方法.

片段3：通過教材中例題的多種變式，培養(yǎng)學生數(shù)學抽象核心素養(yǎng)

變式1：已知圓心為C的圓經(jīng)過點A（5，1），B（7，-3），且圓心在直線l：x-y-5=0上，求圓心為C的圓的標準方程.

變式2：已知圓心為C（2，-3），且截得直線x-y-10=0的弦長為5，求圓心為C的圓的標準方程.

變式3：已知圓心為C（2，-3），并且與直線3x-4y+7=0相切，求圓心為C的圓的標準方程.

設計意圖：《圓的標準方程》第一課時，教材上安排了3個例題，例題1是已知圓心和半徑，求圓的標準方程，并會判斷某點是否在圓上，使學生更好地體驗了“曲線與方程”的思想，加深了對圓的標準方程的理解. 例2是已知三點，求圓的標準方程，例3是已知兩點和切線，求圓的標準方程. 這三個例題的講解是為了讓學生掌握圓的標準方程（x-a）2+（y-b）2=r2含有三個參數(shù)a，b，r，因此必須具備三個獨立條件才能確定一個圓，并會求圓的標準方程，突出重點. 而且教材中例1和例2中的圓的標準方程相同，例3的圓心不同，但半徑與例1、例2相同.考慮到教材的這一安排，筆者就設計了用同一個圓的標準方程但變動不同條件的案例，變式1中線與圓相交，且圓心在線上;變式2中線與圓相交，引進弦長;變式3中圓與線相切.通過例題的變式，使學生在變量中能抓住本質(zhì)，總結(jié)出求圓的標準方程的方法. 同時，可以引進多媒體技術(shù)，利用幾何畫板進行展示，讓學生通過直觀感知，培養(yǎng)學生從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)的數(shù)學抽象能力.

片段4：通過課堂上嘗試編題，發(fā)散提問，鞏固新知

問題3：同學們，你們會編寫求圓的標準方程的題目嗎？我們也嘗試著給周圍的同學出幾道題做一做？

學生1：圓心在C（4，3），且經(jīng)過原點，求圓的標準方程.

學生2：圓心在y軸上，并且過點A（-1，1）和B（1，3），求圓的標準方程.

學生3：邊長為4的正方形，求其外接圓的標準方程.

老師：這三位同學的題都編得很好，我想第1和第2位同學的題大家基本上都會解答，但第3位同學編的題怎么解答呢？

學生4：我覺得這道題中圓的半徑是2，圓心是正方形的中心，要寫出外接圓的標準方程就得確定圓心坐標.

老師：這位同學思考得很對，怎么確定圓心坐標呢？

學生5：建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，如果坐標系建得不一樣，圓心坐標就不一樣，其外接圓的標準方程也就不一樣了. 我覺得這道題最好是以正方形的中心為原點，兩條對角線分別為x軸和y軸. 建立直角坐標系，其外接圓的標準方程是x2+y2=8.

老師：這位同學解答得非常正確.對于純幾何沒有坐標的題目，首先我們要建立直角坐標系引進坐標，接著才可以用坐標法來解決.

設計意圖：本節(jié)課的重點是掌握求圓的標準方程. 通過前面例題的講解和變式題的應用，相信不少學生會模仿編題，甚至有部分學生會編出高質(zhì)量的試題.筆者覺得教師完全可以拓展教材，大膽地發(fā)散提問，嘗試讓學生自己編題自己做的環(huán)節(jié). 一方面，學生通過自己出題，更好地體驗了三個獨立變量確定一個圓，會選擇運用代數(shù)法或者幾何法求圓的標準方程;另一方面，可以培養(yǎng)學生上課積極提問，發(fā)散思維，發(fā)展學生的數(shù)學思維能力，培養(yǎng)學生的探索創(chuàng)新能力.

教學思考

1. 重視教材中的閱讀材料，積極引導學生去閱讀

現(xiàn)在的學生平時很少翻閱教科書，可以說基本上不看，覺得書上沒什么好看的，知識點少，例題簡單，更不用說課后的閱讀材料了. 教師在平時的教學過程中也不夠重視，很少給予學生這方面的指導. 教材是由專家和富有實踐經(jīng)驗的教師根據(jù)課程標準的要求、學科知識本身的規(guī)律，以及中學生的認知規(guī)律、心理發(fā)展水平精心編制而成的. 筆者覺得教師不僅自己備課的時候，要認真研讀和挖掘教材，還要有意識地設置幾個簡單的問題，引導學生去閱讀教材，特別是教材中的“閱讀與思考”部分. 在《圓的方程》前后就有兩處閱讀材料，前面是《笛卡爾與解析幾何》，后面是《坐標法與機器證明》，這兩處閱讀材料都很值得去讀. 通過閱讀，學生就能更好地了解數(shù)學史的發(fā)展，對偉大的數(shù)學家也會有更進一步的了解. 這既能豐富學生的數(shù)學文化史，又能激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣.

2. 挖掘教材，適當變式例題，促進思維發(fā)展

眾所周知，教材中的例題都比較經(jīng)典，教學過程中教師不應該僅僅照搬照抄教材中的例題，而是要認真研究每道例題，結(jié)合“探究”內(nèi)容，可以挖掘不同內(nèi)容之間潛藏著的有機聯(lián)系，適當?shù)剡M行鋪墊、整合和變式. 通過例題的變式，學生能更好地運用已學知識來構(gòu)建新知，從而讓學生在數(shù)學學習過程中慢慢學會歸納數(shù)學方法，抽象數(shù)學問題本質(zhì).真正促進學生思維的深度發(fā)展，提升數(shù)學抽象素養(yǎng).

3. 重視教材中的習題，善于挖掘教學資源

教材中的習題是數(shù)學教材核心內(nèi)容程序化后的展現(xiàn)，具有針對性、典型性和示范性，既可以幫助學生理解所學知識，又有助于學生掌握數(shù)學思想方法. 教材中的習題表面上看很簡單，但看似簡單的內(nèi)容背后卻存在很多有價值的東西.現(xiàn)在有些高考題，就是由教材中的習題改編而成的，有些拓展性的知識在教材中也能找到影子. 如本節(jié)《圓的方程》第124頁B組習題中有“已知點M與兩個定點O（0，0），A（3，0）的距離的比為，求點M的軌跡方程.”我們發(fā)現(xiàn)原來在這里有阿波羅尼斯圓的影子，教師完全可以在上完這節(jié)內(nèi)容之后，從這道題引出和拓展阿波羅尼斯圓的知識“若動點M與兩個定點A，B的距離之比為常數(shù)k（且k≠1），則點M的軌跡是圓，簡稱為阿氏圓”. 所以在習題、資料滿天飛的時代，數(shù)學教師首先還是得注重教材，平時多翻閱、研讀教材，善于在教材中發(fā)現(xiàn)“意外”教學資源，加以巧妙、合理地利用，引導學生一起探究、發(fā)現(xiàn)、論證，促進師生共同成長.

結(jié)束語

教材的教學價值需要教師用心去挖掘. 新課程理念下，希望每一位數(shù)學教師認真研讀教材，深入挖掘教材中真實而鮮活的隱性內(nèi)容. 我們應該“以尊重的態(tài)度、欣賞的眼光、腳踏實地的精神，去親近、理解、鉆研教材，唯有如此，哪怕是一個概念、公式、定理，或者是一個旁注、思考題、習題等等，都能解讀出別樣的東西，感覺如品醇酒，回味無窮.”在備課過程中，不僅要把握教材的編寫意圖、編排體系，以及每個內(nèi)容的具體教學要求，還要能夠走進教材，反復揣摩教材中的每一道例題，每一個“探究”，每一個習題，甚至每一句話背后所蘊含著的豐富內(nèi)涵，力爭達到讀透教材. 從而在教學過程中能整體把握和挖掘教材，通過整合和精心備課，實現(xiàn)學生探究和教師引導相結(jié)合，充分調(diào)動各方面的積極因素參與課程教學，真正落實“樹立以發(fā)展學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)為導向的教學意識，將數(shù)學學科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)貫穿于教學活動的全過程”.