彭亮 徐文彬

【編者按】接著2019年第8期、第11期、第12期，本期《熱點透視》欄目繼續(xù)呈現(xiàn)南京師范大學(xué)徐文彬教授團隊對小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的研究成果。

摘要：在世界范圍的數(shù)學(xué)教育改革中，各個國家和地區(qū)都在強調(diào)“數(shù)據(jù)分析”對學(xué)生的意義和價值，相應(yīng)地，統(tǒng)計和概率內(nèi)容也越來越受到重視。因此，需進一步明晰“數(shù)據(jù)分析”在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的相關(guān)問題：《可能性》一課的教學(xué)要體現(xiàn)統(tǒng)計（數(shù)據(jù)分析）的價值與意義;小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)據(jù)分析”素養(yǎng)的培養(yǎng)要注意明確數(shù)據(jù)分析的必要性，掌握數(shù)據(jù)分析的方法，融入價值觀和態(tài)度。

關(guān)鍵詞：數(shù)據(jù)分析 小學(xué)數(shù)學(xué) 《可能性》

我們今天生活在充斥著數(shù)據(jù)的社會中，“數(shù)據(jù)分析”成為身處現(xiàn)代社會的人所必備的素養(yǎng)。在世界范圍的數(shù)學(xué)教育改革中，各個國家和地區(qū)也都在強調(diào)“數(shù)據(jù)分析”對學(xué)生的意義和價值，相應(yīng)地，統(tǒng)計和概率內(nèi)容也越來越受到重視。因此，需進一步明晰“數(shù)據(jù)分析”在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的相關(guān)問題。

一、“數(shù)據(jù)分析”培養(yǎng)的一個案例

本文選取的案例是《可能性》一課。

（一）教學(xué)問題

“可能性”是蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級上冊中的重要內(nèi)容，其教學(xué)目的在于通過隨機事件的發(fā)生情況感知隨機事件發(fā)生的可能性，進而學(xué)會判斷隨機事件發(fā)生的可能性。這一內(nèi)容與后續(xù)概率的學(xué)習(xí)密切相關(guān)。此外，這一內(nèi)容所具有的游戲化、活動化教學(xué)形式使其經(jīng)常出現(xiàn)在公開課或展示課中。

筆者有幸聆聽了幾節(jié)《可能性》的公開課，這些公開課大都設(shè)計了摸球活動：首先，讓學(xué)生看一下不透明袋子中有哪些顏色的球（大小、質(zhì)地相同）、每種顏色的球各有多少個;然后，讓學(xué)生猜測摸到某一種顏色的球的可能性;接著，讓學(xué)生通過小組合作的方式收集、記錄數(shù)據(jù)來驗證猜測;最后，進行總結(jié)，從而讓學(xué)生學(xué)會判斷事件發(fā)生的可能性大小。一般來說，只要教師把控得當(dāng)，學(xué)生會有很高的課堂參與度，整個課堂氛圍較好，這也是很多教師選擇這一節(jié)課開設(shè)公開課的原因——能較好地體現(xiàn)當(dāng)下教育教學(xué)的很多理念。然而，僅就“統(tǒng)計”這一內(nèi)容而言，這樣的教學(xué)設(shè)計可能與“統(tǒng)計”所具有的數(shù)學(xué)意味有所背離。

嚴格而言，“可能性”在小學(xué)階段的學(xué)習(xí)主要與統(tǒng)計相關(guān)（后續(xù)的學(xué)習(xí)主要與概率相關(guān)）。這從教材的編排也可以看出來，比如蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材《可能性》一課中的例1和例2（如圖1、圖2）。這兩道例題，學(xué)生都需通過“摸”，即數(shù)據(jù)的收集，才能判斷事件發(fā)生的可能性。這與從純數(shù)學(xué)的角度來計算事件發(fā)生的概率有很大的區(qū)別，而與統(tǒng)計（數(shù)據(jù)分析）更為相關(guān)。

統(tǒng)計（數(shù)據(jù)分析）的重要價值和意義在于能將人們無法全面認識的現(xiàn)象，通過統(tǒng)計手段變得可以認識或者可以推斷。比如，心臟檢查，從醫(yī)學(xué)的角度來說，醫(yī)生是不能將一個活人的心臟進行解剖，然后化驗、分析，最后給檢查者一個報告的。因而，醫(yī)學(xué)上采用的思路是通過心臟表現(xiàn)出的或通過技術(shù)手段讓其表現(xiàn)出的現(xiàn)象（心電圖等），推斷心臟可能的情況。從這個角度出發(fā)，上述《可能性》一課的教學(xué)設(shè)計并沒有凸顯統(tǒng)計（數(shù)據(jù)分析）本身的價值與意義——學(xué)生已知結(jié)果，然后去猜測、驗證，后續(xù)的學(xué)習(xí)行為都太刻意和人為化。

（二）教學(xué)改進

為了體現(xiàn)統(tǒng)計（數(shù)據(jù)分析）的價值與意義，《可能性》一課教學(xué)可以做以下改進：

以摸球為例，一開始向?qū)W生呈現(xiàn)學(xué)具——一袋球（袋子里的具體情況教師也不知道），讓學(xué)生猜測袋子中可能的情況（袋子中可能有不同顏色的球，不同顏色球的個數(shù)可能不一樣，摸到某種顏色球的可能性更大，等等）。然后，讓學(xué)生以小組合作的方式探索和驗證這些猜測。

如此，才能更好地體現(xiàn)統(tǒng)計（數(shù)據(jù)分析）的價值與意義，也能更好地幫助學(xué)生理解可能性。比如，當(dāng)學(xué)生通過20次摸球發(fā)現(xiàn)摸到某種顏色球的次數(shù)更多時，學(xué)生會認為摸到這種顏色球的可能性更大。此時，教師質(zhì)疑：一定是這樣嗎？我們都不知道袋子里的具體情況，你是怎么知道的？引發(fā)學(xué)生進一步思考可能性與摸球次數(shù)的關(guān)聯(lián)。如果增加摸球的次數(shù)，我們就能更加確定袋子中球的情況以及摸到某種顏色球的可能性;但是即使次數(shù)無限增加，我們都不能完全確定袋子中球的情況，除非打開袋子一看究竟。這就是統(tǒng)計（數(shù)據(jù)分析）與概率的最大差別，也是概率對于統(tǒng)計（數(shù)據(jù)分析）的必要性和價值所在。

（三）改進意圖

這一改進設(shè)計實則體現(xiàn)了小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)據(jù)分析”素養(yǎng)的培養(yǎng)思路。改進的核心在于通過《可能性》一課的教學(xué)，幫助學(xué)生明白數(shù)據(jù)收集、數(shù)據(jù)分析以及判斷與決策的價值和意義。換言之，就我們對“數(shù)據(jù)分析”素養(yǎng)的理解而言，其應(yīng)包括數(shù)據(jù)收集、數(shù)據(jù)整理與表達、數(shù)據(jù)分析與解釋以及判斷與決策。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，可能囿于“數(shù)據(jù)分析”的表達，將“數(shù)據(jù)分析”僅僅局限在數(shù)據(jù)分析的方式和方法上，忽視了“數(shù)據(jù)分析”的判斷與決策。

二、“數(shù)據(jù)分析”培養(yǎng)的注意事項

就“數(shù)據(jù)分析”在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的落實而言，其最為核心的是在明晰整個小學(xué)數(shù)學(xué)“統(tǒng)計與概率”內(nèi)容的基礎(chǔ)上，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析的意識。僅就小學(xué)數(shù)學(xué)“統(tǒng)計與概率”內(nèi)容而言，其基本結(jié)構(gòu)如圖3所示?？梢钥闯觯皵?shù)據(jù)分析”主要關(guān)涉從數(shù)據(jù)收集到判斷與決策的整個過程。具體而言，小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)據(jù)分析”素養(yǎng)的培養(yǎng)需要注意以下問題：

（一）明確數(shù)據(jù)分析的必要性

數(shù)據(jù)分析的前提是有必要通過數(shù)據(jù)來解釋或解決人們所遇到的問題。如果沒有必要，抑或人為地虛造必要，則學(xué)生對數(shù)據(jù)分析的價值和意義的感知不會太深。因而，“數(shù)據(jù)分析”培養(yǎng)的首要條件是創(chuàng)設(shè)真實的、需要用數(shù)據(jù)予以解釋或解決的問題情境。

例如，上述《可能性》一課的改進教學(xué)設(shè)計，雖然摸球這一問題可能不是日常生活中會遇到的，但在不告知袋子中球信息的情況下，學(xué)生就有了后續(xù)摸球、記錄等數(shù)據(jù)收集、整理，進而進行分析的必要。

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，讓學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)收集以及數(shù)據(jù)整理與表達時，可以讓學(xué)生收集與其生活、學(xué)習(xí)密切相關(guān)的數(shù)據(jù)，如全班同學(xué)的生日、到校時間、起床時間等等。這樣，學(xué)生會更有興趣參與數(shù)據(jù)分析的整個過程，更深刻地感受到數(shù)據(jù)與其生活、學(xué)習(xí)息息相關(guān)。

當(dāng)然，倘若要求更高一點，可以設(shè)置一些綜合性問題，讓學(xué)生學(xué)習(xí)用數(shù)據(jù)來解決。如：南京人十分喜歡吃鴨子，你能想辦法知道南京人一天吃多少只鴨子嗎？這與數(shù)學(xué)上的費米問題（通常包括對于限定信息可能數(shù)量的猜想、驗證，如通過紐約和洛杉磯的距離和時差推算地球的周長）較為類似，這一問題看似很難解決，但通過變換條件，通過數(shù)據(jù)收集，也可以得到解決。進一步而言，這一圖3創(chuàng)造真實的、需要用數(shù)據(jù)予以解釋或解決的問題情境，實則在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)收集的意識。擁有數(shù)據(jù)收集意識的人，不僅懂得通過收集數(shù)據(jù)來解釋或解決問題，還能夠根據(jù)問題的不同，知道收集哪些數(shù)據(jù)來解釋或解決問題。

（二）掌握數(shù)據(jù)分析的方法

數(shù)據(jù)分析的方法，一般包括兩個方面：一是數(shù)據(jù)的整理與表達，二是數(shù)據(jù)的分析與解釋。其中，數(shù)據(jù)的整理與表達是通過統(tǒng)計表或統(tǒng)計圖的形式對所收集的數(shù)據(jù)進行整理，其核心在于分類思想。分類是小學(xué)數(shù)學(xué)中重要的思想方法之一，其要義在于確立合適的標(biāo)準(zhǔn)，不重不漏地對對象進行區(qū)分。為了讓學(xué)生建立分類的方法與思想，教學(xué)中需要給學(xué)生創(chuàng)造自由表達、自主分類的機會，并引導(dǎo)學(xué)生說出分類的理由及其合理性。當(dāng)然，分類不僅僅是統(tǒng)計中需要學(xué)習(xí)的思想方法，其在小學(xué)數(shù)學(xué)中有諸多體現(xiàn)，例如，將自然數(shù)分為奇數(shù)和偶數(shù)或質(zhì)數(shù)和合數(shù)，將三角形按邊分類或按角分類，等等。而在統(tǒng)計的教學(xué)中，分類標(biāo)準(zhǔn)的建立最好能與問題結(jié)合起來，這樣才能明晰分類背后的意圖所在。

例如，張奠宙教授曾舉過這樣一個例子：

某企業(yè)有5個股東，100名工人，年底公布經(jīng)營業(yè)績，如表1所示。

完全一樣的數(shù)據(jù)，股東、工會主席以及工人所繪的統(tǒng)計圖分別如圖4—圖6。三幅圖的橫坐標(biāo)的分類都是年份，但縱坐標(biāo)的分類就明顯不同了——反映了不同繪制者不同的意圖。

當(dāng)然，就數(shù)學(xué)問題來說，分類一定是與其所要解釋或解決的問題相關(guān)的。從某種程度上說，統(tǒng)計圖表只是數(shù)據(jù)直觀表現(xiàn)的手段，其內(nèi)核在于分類。因此，在小學(xué)統(tǒng)計圖表的教學(xué)中，有意識地培養(yǎng)學(xué)生分類的意識，讓學(xué)生掌握不同的分類方法，是其更好地掌握統(tǒng)計圖表的關(guān)鍵。

對于數(shù)據(jù)的分析與解釋而言，需要結(jié)合現(xiàn)實情境合理地使用數(shù)據(jù)分析的手段，進而依據(jù)所得結(jié)果進行解釋。其中，數(shù)據(jù)分析手段的意義明晰是關(guān)鍵。

例如，“平均數(shù)”的教學(xué)中，平均數(shù)的計算對學(xué)生而言不是難點，但理解平均數(shù)的實際意義對學(xué)生來說可能比較困難，而這是合理運用平均數(shù)的關(guān)鍵。因而，特級教師俞正強通過“小明跑60米通常需要（）秒”這一問題來幫助學(xué)生建立平均數(shù)與日常生活的聯(lián)系，進而學(xué)會運用平均數(shù)，而不是僅僅計算平均數(shù)。

（三）融入價值觀和態(tài)度

數(shù)據(jù)分析的最終目的是為了對遇到的問題進行解釋和解決，但與一般的數(shù)學(xué)解釋和解決的不同之處在于，它需要通過數(shù)據(jù)分析所獲得的信息來對問題進行判斷與決策。判斷與決策就涉及判斷（決策）者的價值觀和態(tài)度。在教學(xué)過程中，有必要將價值觀和態(tài)度融合在數(shù)據(jù)分析的判斷與決策之中。

例如，一位教師提供了兩組數(shù)據(jù)——一組數(shù)據(jù)是7個人每人拍球的數(shù)量，另一組數(shù)據(jù)是8個人每人拍球的數(shù)量，然后提出問題：你覺得哪個小組拍得好？教師的本意是讓學(xué)生學(xué)會用平均數(shù)來解決問題，但學(xué)生卻想出了很多方法，如比較每組中拍得最多的人所拍的數(shù)量，哪個多，哪組就好。這一案例典型地體現(xiàn)了數(shù)據(jù)分析中價值觀和態(tài)度因素的作用。僅就題目而言，平均數(shù)的方法和學(xué)生的方法都是可以的，都可以用來判斷哪一組拍得好。二者的差別在于一個是從群體的角度來判斷好與壞，一個是從個體的角度來判斷的。正如史寧中教授所言，如果為了反映全民健身的情況，則平均數(shù)無疑更恰當(dāng)一些;如果為了選拔尖子生，則學(xué)生的方法無疑更為恰當(dāng)。

實際教學(xué)中，為了體現(xiàn)和強化價值觀和態(tài)度，教師可以設(shè)置以下問題：

9組學(xué)生已經(jīng)比完，還需要選擇一名學(xué)生參加最后一組比賽，有甲、乙兩名同學(xué)可供選擇，他們平時的訓(xùn)練成績?nèi)缦拢?/p>

甲：50、23、45、21、48、17;

乙：28、30、31、35、24、19。

如果是你，你會選擇哪位同學(xué)？

這里的選擇就需基于某種目的（根據(jù)前面9組學(xué)生的賽果），如穩(wěn)定性、超常發(fā)揮等。以此來幫助學(xué)生認識和理解判斷與決策中價值觀和態(tài)度的重要性，進而培養(yǎng)學(xué)生完善的數(shù)據(jù)分析觀念。

本文系江蘇省社會科學(xué)基金項目“互聯(lián)網(wǎng)時代下基礎(chǔ)教育教師教學(xué)觀念的轉(zhuǎn)變與實踐研究”（編號：18JYC001）的階段性研究成果。

參考文獻：

[1] 張奠宙，戴再平.中學(xué)數(shù)學(xué)問題問題集[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，1996.

[2] 俞正強.學(xué)習(xí)從哪里開始？——以“平均數(shù)的認識”為例[J].中國教師，2015（1）.

[3] 史寧中，張丹，趙迪.“數(shù)據(jù)分析觀念”的內(nèi)涵及教學(xué)建議——數(shù)學(xué)教育熱點問題系列訪談之五[J].課程·教材·教法，2008（6）.