丁益民，吳星星，秦鳳玲

(湖北大學(xué) 物理與電子科學(xué)學(xué)院,湖北 武漢 430062)

恒力作用的動(dòng)量定理的驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)比較容易進(jìn)行[1-3]，但是對(duì)于變力作用下的動(dòng)量定理的驗(yàn)證則較為困難，其原因是在變力作用下力對(duì)時(shí)間的累積即沖量用傳統(tǒng)的方法難以測(cè)量，雖然利用數(shù)字化實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)DISlab的傳感器可以實(shí)現(xiàn)對(duì)變力作用下的動(dòng)量定理驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)[4-7]，但是這些實(shí)驗(yàn)設(shè)備在中學(xué)甚至大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)室并不常見. 所以，目前這種方法還無法推廣. 本文在文獻(xiàn)[8]的基礎(chǔ)上，將對(duì)沖量的測(cè)量轉(zhuǎn)化成對(duì)時(shí)間與速度的測(cè)量，再使用Tracker的追蹤功能，記錄物體任意時(shí)刻的瞬時(shí)速度，從而實(shí)現(xiàn)了變力作用下動(dòng)量定理的驗(yàn)證. 該方法克服了使用光電門測(cè)瞬時(shí)速度不準(zhǔn)確的缺點(diǎn)，同時(shí)簡化了實(shí)驗(yàn)裝置，也提高了驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)的精確度.

1 實(shí)驗(yàn)原理

如圖1所示,豎直懸掛的彈簧處于自然狀態(tài)時(shí),下端在P點(diǎn),掛上小球,此時(shí)彈簧長度為L′,小球靜止在O點(diǎn)，以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立一維坐標(biāo)系，豎直向下為正方向. 將小球向下拉到P′點(diǎn)后釋放,小球在重力和彈力的作用下,在豎直方向上下振動(dòng). 忽略小球受到的空氣阻力,則小球受到的合外力為

F=-kx+mg,

(1)

式中,k為彈簧的勁度系數(shù),x為彈簧形變量,kx為彈簧的彈力,負(fù)號(hào)表示彈簧所產(chǎn)生的彈力與其伸長(或壓縮)的方向相反,mg為小球的重力.根據(jù)牛頓第二定律微分形式

(2)

把式(2)代入式(1),得

(3)

其通解為

(4)

對(duì)式(4)求一階導(dǎo)數(shù), 得

(5)

圖1 懸掛的小球

對(duì)式(4)求二階導(dǎo)數(shù), 得

(6)

當(dāng)小球在P′點(diǎn)釋放,可以通過Tracker分析得到的運(yùn)動(dòng)表格來任意選取豎直方向加速度為0的點(diǎn)作為起始點(diǎn)開始計(jì)時(shí),即t=0,速度為v=v0,加速度a=0,代入式(5)和式(6),得

(7)

解得

(8)

把式(8)代人式(4),得

(9)

動(dòng)量定理是指作用于物體的合外力F在時(shí)間t1到t2內(nèi)產(chǎn)生的沖量等于物體在這一過程中動(dòng)量的改變量, 數(shù)學(xué)積分形式為

(10)

其中，積分結(jié)果為t1到t2時(shí)間內(nèi)的沖量大小，其方向與動(dòng)量的變化量方向一致. 把式(9)代入式(10)右邊,并積分得

(11)

式(11)右邊指物體的沖量，左邊指物體的動(dòng)量的改變量. 可以通過Tracker分析表格直接讀出來的物理量有速度v1和v2及時(shí)間t1和t2，再測(cè)出彈簧勁度系數(shù)k，將速度v0，v1，v2和質(zhì)量m, 代入式(11)左邊,可求出物體的動(dòng)量的改變量;將彈簧勁度系數(shù)k、小球速度v0、時(shí)間t1和t2,代入式(11)右邊可求出物體的沖量，最后比較動(dòng)量的改變量和外力的沖量是否相等，驗(yàn)證動(dòng)量定理.

2 實(shí)驗(yàn)裝置和實(shí)驗(yàn)過程

2.1 彈簧勁度系數(shù)的測(cè)量

圖2 測(cè)量彈簧勁度系數(shù)裝置

如圖2所示，將彈簧掛在約利彈簧秤的支架上，在彈簧下端掛上托盤，調(diào)節(jié)支架的底腳使彈簧豎直向下.在托盤上加2 g砝碼，調(diào)節(jié)旋鈕，使稱盤底部與水平支柱在同一水平面上，從標(biāo)尺上讀出L的值，以后每加2 g砝碼測(cè)1次L，直至加到16 g后再逐次減砝碼，測(cè)量結(jié)果記錄在表1中.

表1 彈簧勁度系數(shù)的測(cè)量數(shù)據(jù)

用軟件將數(shù)據(jù)處理成L-G圖像，可以求出彈簧勁度系數(shù)k值，結(jié)果為k=1.085 N/m.

圖3 L-G圖像

2.2 速度和時(shí)間的測(cè)量

將圖2中的托盤替換成質(zhì)量為0.05 kg的小球，固定好智能手機(jī)，如圖4所示，打開智能手機(jī)錄像功能后，豎直向下拉動(dòng)彈簧一段距離后松手. 待視頻錄取完成后導(dǎo)入Tracker軟件中分析，得到時(shí)間、速度和加速度如表2所示.

圖4 測(cè)量時(shí)間與速度裝置

表2 小球運(yùn)動(dòng)時(shí)間、速度與加速度

3 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理與分析

選取t0=0時(shí)為運(yùn)動(dòng)起始點(diǎn)(此時(shí)小球的豎直加速度為ay=0)，可以直接在表1中讀出v0=1.237 m/s，再在表1中任意選取2個(gè)時(shí)間點(diǎn)的速度v1和v2，以及對(duì)應(yīng)的時(shí)間t1和t2(此時(shí)的t1和t2應(yīng)為表1中對(duì)應(yīng)的時(shí)間減去t0)，將v0，v1，v2，t1及t2、彈簧勁度系數(shù)k、質(zhì)量m代入式(11)驗(yàn)證動(dòng)量定理.

從表3可以看出，動(dòng)量的改變量與沖量的最小偏差和最大偏差分別約為0.42%和2.05%，平均誤差約為1.17%.而就是因?yàn)楸敬螌?shí)驗(yàn)使用的是Tracker自動(dòng)分析測(cè)速的方法，極大地簡化了裝置，消除了許多不必要的摩擦阻力，才使得該方案更方便并且結(jié)果更精確.

表3 動(dòng)量的改變量與沖量

4 結(jié)束語

在文獻(xiàn)[8]的基礎(chǔ)上，將對(duì)變力沖量的測(cè)量轉(zhuǎn)化為對(duì)時(shí)間的積分，又充分地利用Tracker軟件的追蹤功能，記錄并分析出小球運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度與加速度，不僅簡化了實(shí)驗(yàn)裝置，還提高了實(shí)驗(yàn)的精度，適用于中學(xué)物理教學(xué).