王禮祥 蔡書(shū) 李東陽(yáng)

(西南民族大學(xué)預(yù)科教育學(xué)院 四川 成都 610041)

1 引言

在“普通物理”教學(xué)中，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生在理解沖量概念時(shí)總是停留在高中物理水平上,認(rèn)為沖量的方向總是跟外力的方向一致或沖量的方向由外力的方向確定.再加上一些“普通物理”教材也存在部分誤導(dǎo)，如對(duì)沖量定義式

解釋說(shuō)“由于力是矢量，時(shí)間是標(biāo)量，所以力的沖量也是矢量，其方向與力的方向相同.”[1].以致不能正確理解力的沖量反映的是力在一段時(shí)間內(nèi)的時(shí)間積累作用，特別是不能突破變力的沖量方向性的教學(xué)難點(diǎn).因此，我們做了以下關(guān)于變力沖量的教學(xué)研究，供參考.

2 沖量的定義

沖量是描述力對(duì)時(shí)間的積累作用的物理量，是矢量，而且是一個(gè)過(guò)程量[2].

2.1 恒力的沖量定義

當(dāng)物體所受外力為恒力F(單個(gè)恒力或多個(gè)恒力的合力)時(shí)，恒力F在作用時(shí)間Δt=t2-t1內(nèi)的沖量I等于恒力與力的作用時(shí)間Δt的乘積，即

I=FΔt=F(t2-t1)

(1)

式(1)表明當(dāng)F恒定(大小和方向都不變)時(shí)，它的沖量I的方向與恒力F的方向一致,即恒力的沖量方向就是恒力F的方向.沖量的這個(gè)定義說(shuō)明：

(1)沖量是過(guò)程量,它由外力和力的作用時(shí)間共同決定，力的沖量總是對(duì)時(shí)間或過(guò)程來(lái)討論的.

(2)沖量跟參考系選擇和受力物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)無(wú)關(guān),因?yàn)橥饬妥饔脮r(shí)間都與參考系和物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)無(wú)關(guān).

(3)沖量是矢量[3],既有大小又有方向，疊加合成滿足平行四邊形法則.外力為恒力條件下，沖量的大小等于恒力的大小與恒力的作用時(shí)間乘積，方向與外力的方向一致；對(duì)于可簡(jiǎn)化為質(zhì)點(diǎn)的物體而言，合力的沖量等于分力的沖量矢量和.即

(2)

(4)沖量的作用效果是改變物體的動(dòng)量.

2.2 微元沖量的概念

微元沖量是指不管物體所受的是恒力還是變力，取一段極短的時(shí)間dt作為研究過(guò)程;用數(shù)學(xué)極限表示為

則dt極短到趨于零的時(shí)間內(nèi)恒力與變力都可視為瞬時(shí)不變量，于是恒力的沖量定義適用，即

dI=Fdt=F(t)dt

(3)

式(3)表明微元沖量的方向始終與外力的瞬時(shí)方向一致.

2.3 變力沖量定義式及分量式意義詮釋

一段有限時(shí)間間隔內(nèi)的變力的沖量，原則上可由微元沖量的矢量疊加合成得到.也就是在變力F(t)對(duì)物體的作用時(shí)間Δt=t2-t1內(nèi)，將Δt時(shí)間間隔平均分成n等分，并計(jì)算n個(gè)微元沖量矢量的疊加合成，再取n→∞的求和極限計(jì)算，即

(4)

式(4)的矢量疊加合成如圖1(以二維平面變力為例)所示.

圖1

式(4)的分量式可寫(xiě)成如下幾種分量形式.

(1)三維直角坐標(biāo)系分量式

I=Ixi+Iyj+Izk=

(5)

直角坐標(biāo)系分量式(5)的特殊之處表現(xiàn)為沿x軸、y軸和z軸正向的單位矢量i，j，k都是恒定不隨時(shí)間變化的矢量,所以三維變力矢量的沖量直角坐標(biāo)系分量式計(jì)算可類似于方向不變而大小隨時(shí)間不斷變化的力的沖量計(jì)算一樣處理，即

(6)

圖2

對(duì)式(6)采用SI制然后作無(wú)量綱化處理：設(shè)沖量為I、時(shí)間為t、頻率為ν、力為F，則I，t，ν，F(xiàn)都不帶量綱僅為數(shù)學(xué)意義的純數(shù).直觀沖量圖示為函數(shù)F(t)圖線與t軸在(t2-t1)段上所圍的幾何面積，就是數(shù)學(xué)意義的定積分.圖2為受迫振動(dòng)驅(qū)動(dòng)力(策動(dòng)力)

F(t)=F0cos2πνt

在無(wú)量綱化處理下，取F0=10，ν=1繪制出的t1=1到t2=2.6間隔內(nèi)變力沖量大小的直觀幾何面積，如圖2陰影所示.此面積可正可負(fù)，其正說(shuō)明沖量方向與規(guī)定正方向相同，負(fù)為相反.變力沖量的三維分量Ix,Iy,Iz也可正可負(fù)，它們表明沖量分量與x軸、y軸和z軸正向相同或相反.

(2)平面曲線運(yùn)動(dòng)自然坐標(biāo)系中的分量式

平面自然坐標(biāo)系的特點(diǎn)是切向單位矢量τ和法向單位矢量n是隨時(shí)間變化的.所以平面自然坐標(biāo)系中變力沖量的分量式為

(7)

注意n(t)和τ(t)不能提到積分號(hào)外.

平面極坐標(biāo)系中的變力沖量分量式類似于平面自然坐標(biāo)系的情形，也是徑向單位矢量er和極向單位矢量eθ隨時(shí)間變化，故在變力沖量的積分表達(dá)式中不能把單位矢量提到積分號(hào)外，即

(8)

除非把自然坐標(biāo)系中的單位矢量分解為用直角坐標(biāo)系單位矢量來(lái)表示，方能回到直角坐標(biāo)系中簡(jiǎn)單積分計(jì)算變力沖量的分量式.

(3)三維圓柱坐標(biāo)系中的分量式

三維圓柱坐標(biāo)系由平面極坐標(biāo)和與之垂直的z軸構(gòu)成，所以在三維圓柱坐標(biāo)系中變力沖量的分量表達(dá)式是

(9)

式(9)中只有Iz分量可以直接積分計(jì)算.

(4)三維球坐標(biāo)系中的分量式

三維球坐標(biāo)系中單位矢量也是隨時(shí)不斷變化的，所以其分量表達(dá)式也只是形式上，除非單位矢量的時(shí)間函數(shù)是三維直角坐標(biāo)系單位矢量的顯式.球坐標(biāo)系中的變力沖量分量式是

(10)

3 幾個(gè)變力沖量的算例

3.1 一維變力沖量

【例1】已知質(zhì)量為m=10 kg的物體位于坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)的初速度為v0=1 m/s，之后物體受到隨x坐標(biāo)變化的力F(x)=10(x+1)(SI)作用而由原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到x=10 m處.求此過(guò)程中該變力的沖量.

解析：采取無(wú)量綱化處理.由沖量定義，此運(yùn)動(dòng)過(guò)程中變力的沖量為

式中t1是物體位于原點(diǎn)x=0處的時(shí)刻，t2是物體運(yùn)動(dòng)到x=10處的時(shí)刻.但x與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系是隱含形式的，不能直接解算，還必須找出x與t的函數(shù)關(guān)系式.x與t的函數(shù)關(guān)系可由牛頓第二定律與加速度、速度和位移的關(guān)系導(dǎo)出.

根據(jù)牛頓第二定律有

(11)

(12)

(13)

對(duì)(13)式兩邊積分,并代入初始條件，有

得到

即

v2=x2+2x+1

又因x>0，故可得

v=x+1

上式進(jìn)行分離變量變?yōu)?/p>

(14)

ln(x+1)=t

即

x=et-1

可見(jiàn)，當(dāng)x=0時(shí)，t1=0；而x=10時(shí)，t2=ln11.所以

|10et|ln110 =100

故得到變力的沖量

I=100 N·s

3.2 二維變力沖量

【例2】已知做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體所受向心力[4]為F(t)=-10sin(πt)i-10cos(πt)j(SI)，求

0～1 s和0～2 s的沖量.

解法1：無(wú)量綱化處理.采用直有坐標(biāo)系沖量定義式

矢量合成如圖3和圖4.

圖3 圖4

解法2：采用自然坐標(biāo)系沖量為

可見(jiàn)，其他坐標(biāo)系中的沖量分量表達(dá)式最終都可回到直角坐標(biāo)系中進(jìn)行計(jì)算，因?yàn)橹挥兄苯亲鴺?biāo)上的單位矢量是恒矢量，積分時(shí)單位矢量可以先提到積分號(hào)外去.

4 動(dòng)量定理

沖量由外力和力的作用時(shí)間共同確定，與物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和參考系的選擇無(wú)關(guān).沖量是過(guò)程量，它與具體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程或運(yùn)動(dòng)時(shí)間相聯(lián)系；講沖量必須指明是什么過(guò)程或具體指定的時(shí)間內(nèi)的沖量.那么，沖量的物理意義是什么呢？下面談這個(gè)問(wèn)題.

4.1 動(dòng)量定理的微分形式

dI=Fdt=dp

(15)

由式(15)知道微元沖量或者沖量元是迫使物體動(dòng)量改變的原因.沖量為零時(shí)動(dòng)量不變，由過(guò)程量(沖量)作用導(dǎo)致物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)量(動(dòng)量)的改變,它揭示了外力的瞬時(shí)方向與微元沖量的方向或動(dòng)量的改變方向始終相同.

4.2 動(dòng)量定理的積分形式

動(dòng)量定理的微分形式說(shuō)明在微元過(guò)程中外力的微元沖量與物體動(dòng)量改變之間的關(guān)系，同時(shí)指明了微元沖量的方向總是與力的瞬時(shí)方向一致.對(duì)于一個(gè)有限的運(yùn)動(dòng)過(guò)程或一段有限運(yùn)動(dòng)時(shí)間來(lái)說(shuō)，外力的總沖量(合力的沖量或分力的沖量矢量和)與物體在此過(guò)程始末狀態(tài)時(shí)的動(dòng)量增量之間的關(guān)系，即是積分形式的動(dòng)量定理

(16)

式(16)表明,不論外力是恒力還是變力或變力與恒力的矢量和，它們的總沖量總是等于由于沖量作用而使物體動(dòng)量改變的增量.

4.3 物體系或質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)量定理

動(dòng)量定理的微分形式或積分形式都只針對(duì)以單個(gè)物體為研究對(duì)象.當(dāng)把研究對(duì)象擴(kuò)展到物體系或質(zhì)點(diǎn)組時(shí)，系統(tǒng)整體的外力沖量與系統(tǒng)總動(dòng)量的改變量關(guān)系稱為物體系的動(dòng)量定理.它是由單個(gè)物體的動(dòng)量定理引出的.設(shè)物體系共有n個(gè)物體并對(duì)物體編號(hào)為1，2，3，…，n，且假設(shè)第1個(gè)物體所受全部外力的和為F1，全部?jī)?nèi)力的和為f1；第2個(gè)物體所受全部外力的和為F2，全部?jī)?nèi)力的和為f2；……第i個(gè)物體所受全部外力的和為Fi，全部?jī)?nèi)力的和為fi；……第n個(gè)物體所受全部外力的和為Fn，全部?jī)?nèi)力的和為fn，則由單個(gè)物體的動(dòng)量定理有

?

?

(17)

式(17)即是物體系或質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)量定理.它說(shuō)明系統(tǒng)的總動(dòng)量改變?nèi)峭饬_量作用的結(jié)果，系統(tǒng)內(nèi)力成對(duì)出現(xiàn)其沖量互相抵消，內(nèi)力不改變系統(tǒng)總動(dòng)量.

應(yīng)用動(dòng)量定理可以轉(zhuǎn)換研究對(duì)象，改用物體動(dòng)量改變?cè)隽坑?jì)算力的沖量.比如對(duì)例1和例2來(lái)說(shuō)有下面的另解.

例1另解：先由動(dòng)能定理求末速度，再由動(dòng)量定理求沖量.由

結(jié)合動(dòng)能定理有

代入數(shù)據(jù)得

A=600 J

可解出

v=11 m/s

所以依動(dòng)量定理得

I=mv-mv0=100 N·s

I2=p1-p2=0

1 蔡保平 ，杜乃珍.普通物理學(xué). 北京：化學(xué)工業(yè)出版社，2007.17～20

2 馬冠中, 胡炳元 ,武荷嵐. 中美教材中沖量概念比較研究.物理教學(xué)，2009(6)：64～65

3 門(mén)云閣.沖量方向的剖析.河北師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),1996(1):84～68

4 闞少玲.計(jì)算向心力沖量的系列方法.冀東學(xué)刊,1995(5)：9～12