牟 平

(白銀市平川中學(xué) 甘肅 白銀 730913)

橡皮筋串并聯(lián)勁度系數(shù)的變化規(guī)律

牟 平

(白銀市平川中學(xué) 甘肅 白銀 730913)

就一道關(guān)于橡皮筋長(zhǎng)度問(wèn)題的檢測(cè)題的解答正確與否，教師們有分歧和爭(zhēng)論，由此就橡皮筋的勁度系數(shù)變化規(guī)律做了歸納總結(jié)，指出了原題解答的錯(cuò)誤所在.

檢測(cè)題 錯(cuò)解 橡皮筋 勁度系數(shù)

在一次集體備課時(shí)，就《當(dāng)代中學(xué)生報(bào)》上的一道物理單元檢測(cè)題的解答對(duì)錯(cuò)與否，幾位教師見(jiàn)解不一，展開(kāi)了熱烈的爭(zhēng)論，原題及解答如下.

【題目】如圖1所示，一橡皮筋原長(zhǎng)L0=10 cm，其下端懸掛質(zhì)量m=1 kg的重物后，長(zhǎng)度變?yōu)長(zhǎng)=14 cm，已知在彈性限度內(nèi)，此橡皮筋的彈力與形變量符合胡克定律，取g=10 m/s2.

圖1 題目的題圖

(1)求橡皮筋的勁度系數(shù).

(2)若將橡皮筋繞過(guò)一小定滑輪后，兩端均固定于天花板上，再將重物懸掛于定滑輪下，不計(jì)定滑輪的大小、重量與摩擦，兩端橡皮筋豎直，求此時(shí)橡皮筋的總長(zhǎng)度L′.

解：

(1)根據(jù)胡克定律有

F=κx

而

F=mgx=L-L0

解得

κ=250 N/m

(2)此時(shí)每段橡皮筋上的彈力為

每段橡皮筋的伸長(zhǎng)量為

橡皮筋的總長(zhǎng)度為

L′=L0+2x′=14 cm

那么，上述解答是否正確呢？要回答這個(gè)問(wèn)題，先要弄清楚以下有關(guān)橡皮筋勁度系數(shù)變化的幾種情形.

1 橡皮筋截短后的勁度系數(shù)

如橡皮筋的原長(zhǎng)為L(zhǎng)0，勁度系數(shù)為κ，則彈力F與伸長(zhǎng)量x遵從胡克定律，即

F=κx

(1)

(2)

設(shè)其勁度系數(shù)變?yōu)棣?，則

F=κ1x1

(3)

由以上式(1)、(2)、(3)可得

如果選取

則

κ1=2κ

可見(jiàn)橡皮筋截短后，勁度系數(shù)變大.

2 橡皮筋串起來(lái)后的勁度系數(shù)

設(shè)兩條橡皮筋的原長(zhǎng)分別為L(zhǎng)1和L2,勁度系數(shù)分別為κ1和κ2，串起來(lái)后的勁度系數(shù)為κ，則當(dāng)用力F拉橡皮筋時(shí)，兩條中的彈力均為F，故其伸長(zhǎng)量分別為

總伸長(zhǎng)量

所以整體的勁度系數(shù)

同理，如勁度系數(shù)分別為κ1，κ2和κ3的3條橡皮筋串起來(lái)，則其總的勁度系數(shù)為

3 兩條橡皮筋并起來(lái)后的勁度系數(shù)

設(shè)兩條橡皮筋的勁度系數(shù)分別為κ1和κ2，如兩條橡皮筋原長(zhǎng)相等，則可直接并起來(lái)．而如果原長(zhǎng)不相等，就需要用細(xì)線將短的一條加長(zhǎng)后再和長(zhǎng)的并起來(lái)使用，如圖2所示．

圖2 并起來(lái)的兩條橡皮筋

此時(shí)如果用力F拉橡皮筋，則兩條中的彈力不相同，設(shè)分別為F1和F2，則總彈力F=F1+F2，而每條橡皮筋的伸長(zhǎng)量和總伸長(zhǎng)量均為x，故勁度系數(shù)

同理，如勁度系數(shù)分別為κ1，κ2和κ3的3條橡皮筋并起來(lái)，則其總的勁度系數(shù)κ=κ1+κ2+κ3．如3條勁度系數(shù)均為κ的橡皮筋串起來(lái)，則其勁度系數(shù)變?yōu)?κ．

可見(jiàn)，橡皮筋并聯(lián)起來(lái)，其等效勁度系數(shù)變大.

4 應(yīng)用討論的結(jié)果求解題

弄清楚橡皮筋勁度系數(shù)的變化規(guī)律后，再看文章開(kāi)頭的題目．

第一種思路是橡皮筋相當(dāng)于先被截為等長(zhǎng)的兩段再并起來(lái)，如圖3所示.

圖3 第一種思路解題

每段的勁度系數(shù)均變?yōu)?κ,兩段并起來(lái)后總的勁度系數(shù)變?yōu)?κ,所以有mg=4κx，則

故總長(zhǎng)度

L′=L0+2x=12 cm

圖4 第二種思路解題

故總長(zhǎng)度

L′=L0+x=12 cm

原題解答錯(cuò)在認(rèn)為將重物用滑輪按圖3方式掛起來(lái)后兩段的勁度系數(shù)仍然為κ.實(shí)際每段的勁度系數(shù)已變?yōu)?κ,而兩段的伸長(zhǎng)量相等，均為

故總長(zhǎng)度仍為L(zhǎng)′=L0+2x=12 cm

這應(yīng)該是第三種思路.

2016-11-30)